книги / Практические задания по сопротивлению материалов

2. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ

Задача 2.1. Определить из условия прочности по допускаемым напряжениям размеры и подобрать стандартный профиль для изготовления статически определимой сварной стержневой конструкции.

Предел текучести σТ и модуль продольной упругости Е материала конструкции принять в соответствии с таблицей физикомеханических свойств материалов (см. прил. 1). Допускаемый коэффициент запаса статической прочности [n] выбрать самостоятельно (в данной задаче принимаем [n] = 1,2…2,5). Весом стержней пренебречь.

Данные для расчета представлены в табл. 2.1. Схемы стержневой системы приведены в табл. 2.2. Размеры стандартных профилей приведены в приложениях:

–труба стальная сварная прямошовная D b (ГОСТ 10704–91) – см. прил. 3;

–труба стальная квадратная A s (ГОСТ 8639–82) – см. прил. 4;

–уголок стальной равнополочный b b t (ГОСТ 8509–93) – см. прил. 5.

Порядок выполнения

1.Начертить схему стержневой системы в масштабе с указани-

ем числовых значений размеров и приложенных сил.

2.Узел, равновесие которого должно быть рассмотрено, освободить от связей, заменив их реакциями в стержнях. Изобразить заданные силы и реакции на схеме.

3.Выбрать систему координат, составить уравнения равновесия и определить усилия в стержнях. По известным направлениям усилий в стержнях определить вид деформации каждого стержня (растяжение или сжатие).

15

4. Определить допускаемое напряжение для материала стержней [σ]р и подобрать из условия прочности по площади поперечного сечения размеры стандартного профиля для каждого стержня. Выписать данные выбранных профилей.

Указания к выполнению

Растяжением (сжатием) называют вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает один внутренний силовой фактор – продольная сила N.

Вид деформации определяется по направлению продольной силы (реакции связи). Стержень растягивается, если продольная сила направлена в сторону связи (препятствует растяжению), и, соответственно, сжимается, если продольная сила направлена от связи к свободному концу.

Для определения величины и направления реакций связей системы сил, сходящихся в одной точке, достаточно двух условий равновесия:

X 0,

Y 0. .

Систему координат желательно выбирать так, чтобы хотя бы одна из неизвестных сил была перпендикулярна одной из координатных осей, тогда уравнения равновесия будут более простыми. Направление реакций связей выбирается произвольно. Если направление было выбрано неверно, при расчете величина соответствующей реакции получится отрицательной.

Под действием продольной силы N в поперечном сечении стержня возникает напряжение:

i Ni ,

Ai

где σi – нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении i-го стержня; Ni – внутренняя продольная сила в стержне; Аi – площадь поперечного сечения стержня.

16

Условие прочности стержня имеет вид

|σi| ≤ [σ]р,

где [σ]р – допускаемое напряжение растяжения (сжатия) для материала стержня.

Допускаемые напряжения для пластичных материалов находятся по формуле

[σ]р = σТ/[n],

где [n] – допускаемый коэффициент запаса статической прочности; σТ – предел текучести материала стержня (является справочной величиной).

Соответственно, минимальная необходимая площадь поперечного сечения стержня изусловия прочностиопределяетсяпо формуле

Аi ≥ |Ni|/[σ]р.

Исходя из величины минимальной площади, необходимо подобрать номер (размеры) стандартного профиля для каждого стержня согласно ГОСТ.

Пример решения задачи 2.1

Дано: cтержневая система (рис. 2.1, а) сварена из угол-

ка ГОСТ 8509–93.

Материал уголка – сталь Ст3. Согласно прил. 1 σТ = 200 МПа;

Е = 2·105 МПа.

F1 = 20 кН; F2 = 40 кН; l1 = 1,2 м; l2 = 1,8 м; α = 20º; = 50º.

Найти:

а) размеры сечений стержней из условия прочности; б) подобратьстандартныйуголокдля изготовленияконструкции.

Решение:

1. Определяем внутренние усилия в стержнях. Отбрасываем связи, заменяя их внутренними усилиями в стержнях N1 и N2. (направление внутренних сил выбираем произвольно). Получаем плоскую систему сходящихся сил (рис. 2.1, б). Выбираем систему координат с началом в узле В. Составляем уравнения равновесия полученной системы сил:

17

X N1 F2sin( ) N2sin 0,

Y F1 F2cos( ) N2cos 0.

Рис. 2.1

Решаем полученные уравнения равновесия:

N1 F2 sin( ) N2 sin 40 sin 70° 35,08 sin20° 25,59 кН.

Стержень 1 растягивается, так как внутреннее усилие направлено в сторону опоры (препятствует растяжению). Стержень 2 сжимается.

2. Определяем требуемые площади поперечных сечений стержней из условия прочности на растяжение (сжатие):

Аi ≥ |Ni|/[σ]р.

Принимаем [n] = 1,5.

Определяем величину допускаемого напряжения: [σ]р = σТ/[n] = 200/1,5 = 133,3 МПа.

Соответственно,

А1 ≥ |N1| / [σ]р = 25,59·103/133,3·106 = 1,92·10–4 м2 = 1,92 см2; А2 ≥ |N2| / [σ]р = 35,8·103/133,3·106 = 2,69·10–4 м2 = 2,69 см2.

18

В соответствии с ГОСТ 8509–93 (см. прил. 5) выбираем уголок стальной равнополочный для стержня 1: № 3,5 А1 = 2,04 см2; для стержня 2: № 5 А2 = 2,96 см2.

Таблица 2 . 1

19

20