книги / Практические задания по сопротивлению материалов
..pdf
151
Таблица 9 . 1
Номер варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Схема стойки |
02 |
04 |
05 |
07 |
06 |
02 |
01 |
08 |
06 |
01 |
|
(см. табл. 9.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Форма сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
a a |
d b |
b t |
№ |
№ |
d |
a a |
d b |
b t |
|
Размер сечения, мм |
50 |
60 |
10 1 |
32 4 |
№ 10 |
№ 5 |
200 |
100 |
219 5 |
110 8 |
|
Материал стойки |
Сталь |
Сталь |
Сталь |
Ст5 |
Ст2 |
Ст4 |
Сталь |
Сталь |
Сталь |
Ст2 |
|
30 |
20 |
30 |
40 |
30 |
45 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длина стойки l, м |
12 |
10 |
2 |
3 |
2 |
8 |
14 |
18 |
10 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер варианта |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
Схема стойки |
07 |
03 |
07 |
10 |
01 |
08 |
08 |
04 |
03 |
02 |
|
(см. табл. 9.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Форма сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
№ |
d |
a a |
d b |
b t |
№ |
№ |
d |
a a |
|
Размер сечения, мм |
№ 20 |
№ 10 |
0,15 |
80 |
32 2 |
40 5 |
№ 30 |
№ 18 |
0,3 |
40 |
|
Материал стойки |
Ст4 |
Ст5 |
Сталь |
Сталь |
Ст.3 |
Ст4 |
Ст5 |
Ст2 |
Ст.3 |
Сталь |
|
30 |
40 |
45 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длина стойки l, м |
9 |
3 |
16 |
22 |
4 |
6 |
17 |
13 |
20 |
8 |
151
152
Номер варианта |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
Схема стойки |
03 |
09 |
09 |
05 |
06 |
09 |
04 |
10 |
10 |
01 |
|
(см. табл. 9.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Форма сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d b |
b t |
№ |
№ |
d |
a a |
d b |
b t |
№ |
№ |
|
Размер сечения, мм |
70 4 |
75 5 |
№ 40 |
№ 24 |
0,25 |
30 |
40 3 |
80 6 |
№ 50 |
№ 14 |
|
Материал стойки |
Сталь |
Ст2 |
Ст4 |
Ст5 |
Сталь |
Сталь |
Сталь |
Ст4 |
Ст2 |
Ст5 |
|
30 |
40 |
45 |
20 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длина стойки l, м |
6 |
4 |
7 |
18 |
10 |
2 |
8 |
12 |
30 |
5 |
Примечание: труба ГОСТ 10704–91 см. прил. 3; уголок ГОСТ 8509–93 см. прил. 5; двутавр ГОСТ 8239–89 см. прил. 6; швеллерГОСТ8240–97 см. прил. 7.
152
|
|
|
|
Таблица 9 . 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения коэффициента μ |
|
|
||
|
|
Номер варианта |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
μ = 1 |
μ = 0,33 |
μ = 1,35 |
μ = 0,5 |
|
μ = 0,5 |
|
|
Номер варианта |
|
|
|
6 |
7 |
8 |
9 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
μ = 2 |
μ = 0,7 |
μ = 0,44 |
μ = 1,26 |
|
μ = 0,35 |
Задача 9.2. Подобрать размер сечения стойки, выполненной из стандартного профиля, с использованием коэффициента продольного изгиба . Определить величину критической силы Fкр и действительный коэффициент запаса устойчивости nу выбранной стойки. Рекомендуемый коэффициент запаса устойчивости для сталей [n]у = 1,8…3,0. Схема стойки иданныедля расчетаприведены в табл. 9.3.
Порядок выполнения
1.Начертить схему стойки с указанием числовых значений размеров и приложенных сил.
2.Определить размеры поперечного сечения стойки по упро-
щенной формуле расчета на устойчивость, принимая 1 = 0,5.
3.Определить гибкостьλ икоэффициент ′1 принятого сечения.
4.Определить значение 2 во 2-м приближении, присвоив ему
среднее значение между 1 и ′1. Определить размеры поперечного сечения стойки по упрощенной формуле.
153
5.Повторить действия 3–5. Вычисления необходимо продолжать, пока не будет найдено экономически рациональное сечение, удовлетворяющее условию устойчивости. Обычно для этого бывает достаточно 2–3 итераций.
6.По формулам Эйлера или Ясинского определить величину критической силы.
7.Определить действительный коэффициент запаса устойчивости стойки.
Указания к выполнению
При практических расчетах на устойчивость пользуются, как правило, упрощенной формулой, заменяя расчет на продольный изгиб расчетом на сжатие по пониженным допускаемым напряжениям:
FA cж ,
где F – продольная сжимающая сила; A – площадь поперечного сечения стойки»; [σ]сж – допускаемые напряжения на сжатие; – коэффициент снижения допускаемых напряжений (коэффициент продольного изгиба), зависит от материала и гибкости стержня, является справочной величиной (см. прил. 12).
Определение размеров поперечного сечения сжатого стержня из условия устойчивости является статически неопределимой задачей, поэтому она решается методом последовательных приближений.
Задача считается решенной, если перегруз не превышает 5 %, а недогруз – 15 % от допускаемой нагрузки: –5 % ≤ i ≤ 15 %.
i |
|
y |
|
|
i |
|
100 % , |
|
|
||||||
|
|
||||||
y |
|
||||||
|
|
|
|
||||
где i F – напряжения сжатия в стержне, найденные на i-м шаге
Ai
приближения; Ai – площадь поперечного сечения стержня на i-м шаге приближения; у i cж – допускаемые напряжения материала
стержня при расчете на устойчивость на i-м шаге приближения.
154
Пример решения задачи 9.2 |
|
Дано: стойка изготовлена из равнополоч- |
|
ного уголка (ГОСТ 8509-93) длиной l = 3 м, |
|
находится под действием сжимающей силы |
|
F = 20 кН (рис. 9.4). Материал стойки – |
|
сталь 20: σТ = 240 МПа; Е = 2·105 МПа. |
|
Найти: |
|
а) размеры сечения стойки (b t); |
Рис. 9.4 |
б) силу, при которой произойдет потеря |
|
устойчивости; |
|
в) действительный коэффициент запаса устойчивости nу. Решение: сортамент стандартных профилей представлен конеч-
ным рядом их типоразмеров, определяемых соответствующим ГОСТом. Это нередко делает затруднительным точный подбор экономически рационального сечения. Задача в большинстве случаев считается решенной при нахождении ближайшего большего типоразмера, даже если он не является рациональным.
1. Согласно табл. 9.2, коэффициент приведения длины заданной стойки = 1.
Примем коэффициент запаса устойчивости [n]у = 2. Допускаемые напряжения на сжатие:
[σ]сж = σТ / [n]у = 240 / 2 = 120 МПа.
Принимая 1 = 0,5, находим размеры поперечного сечения стойки по упрощенной формуле расчета на устойчивость
A |
|
F |
|
20 103 |
3,3 10 4 |
м2 . |
|
1 |
|
0,5 120 106 |
|||||
1 |
|
|
|
||||
|
|
сж |
|
|
|
|
Согласно ГОСТ 8509–93 (см. прил. 5) выбираем размер уголка. В сортаменте может быть несколько уголков с примерно одинаковой площадью. Выбирать следует более тонкие уголки, так как при одинаковой площади радиус инерции у них больше, следовательно, гибкость такой стойки будет меньше, а устойчивость, соответственно, выше.
155
Выбираем уголок 45 4 с площадью А1 = 3,48 см2, минимальным радиусом инерции imin1 = 0,89 см.
Определяем гибкость стойки: |
|
l |
|
1 3 |
337 . |
|
i |
0,89 10-2 |
|||||
1 |
|
|
|
|||
|
|
min1 |
|
|
|
Определяем коэффициент продольного изгиба ′1 методом линейной интерполяции (см. прил. 12). (Определение коэффициента ′ методом линейной интерполяции подробно рассмотрено на 4-м шаге приближения данной задачи). Так как λ значительно больше 200, принимаем ′1 = 0,1 (см. примечание к прил.12).
Условие устойчивости стойки ( i |
|
|
F |
|
|
|
i |
): |
|||||||||||||||
|
Ai |
у |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cж |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F |
|
|
20 103 |
|
57 10 |
6 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
A |
|
3,48 10 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 МПа |
|
|
0,1 120 12МПа. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Условие устойчивости не выполняется. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Делаем 2-е приближение, принимая |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
0,5 |
0,1 |
0,3. |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
F |
|
|
|
|
20 103 |
|
|
|
5,56 10 4 м2 . |
|||||||||||||
2 |
|
0,3 120 106 |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбираем уголок 63 5: А2 = 6,13 см2, imin2 = 1,25 см. |
|||||||||||||||||||||||
Определяем гибкость стойки: |
|
|
|
l |
|
|
|
|
1 3 |
240 . |
|||||||||||||
2 |
|
1,25 10-2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определяем ′2: так как λ значительно больше 200, принимаем
′2 = 0,15.
|
2 |
|
F |
|
|
20 103 |
32,6 10 |
6 |
|
||||
A |
6,13 |
10 4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32,6 МПа 2 |
|
0,15 |
120 |
18МПа. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
156
Условие устойчивости не выполняется.Делаем 3-е приближение, принимая
3 |
|
2 2 |
|
0,3 0,15 |
0, 23 . |
|
|
2 |
|
2 |
|
A |
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
20 103 |
|
7,2 10 4 м2 . |
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
0,23 120 |
106 |
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбираем уголок 75 5: А3 = 7,39 см2, imin3 = 1,49 см. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Определяем гибкость стойки: |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
1 3 |
201. |
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
1,49 10 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min 3 |
|
|
|
|
|
||||
Принимаем ′3 = 0,19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
F |
|
|
|
|
|
20 103 |
|
27,1 10 |
6 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
A |
|
7,39 |
10 4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27,1 МПа 3 |
|
|
0,19 120 22,8 МПа. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делаем 4-е приближение, принимая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
3 |
3 |
0,23 0,19 |
0,21 . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
20 103 |
|
7,7 10 4 м2 . |
||||||||||||||
4 |
|
4 |
|
|
|
|
0,21 120 106 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выбираем уголок 80 5,5: А4 = 8,63 см2, imin3 = 1,59 см. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Определяем гибкость стойки: |
|
|
l |
|
|
|
|
1 3 |
189 . |
||||||||||||||||||||
4 |
|
|
1,59 10-2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min 4 |
|
|
|
|
|
||||
Методом линейной интерполяции определяем ′4: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
при = 180 = 0,23; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
при = 190 = 0,21; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
при = 108 |
0,23 |
0,23 0, 21 (189 180) 0, 212 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
190 180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
157
|
|
|
|
4 |
|
|
|
F |
|
|
|
20 103 |
23, 2 10 |
6 |
|
||||||
|
|
|
|
A |
|
|
8,63 10 4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
23, 2МПа 4 |
|
0, 212 120 25,4 МПа. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
Определяем недогруз в стойке. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Допускаемое напряжение на устойчивость: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
4 |
|
|
25, 4 МПа . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cж |
|
|
|
|
||
4 |
|
y |
|
4 |
|
100 % |
(25,4 23, 2) 106 |
100 % 8,7 % . |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25,4 106 |
|
||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
–5 % ≤ 8,7 ≤ 15 %.
Выбранный уголок отвечает условию устойчивости и является экономически рациональным.
2. Определяем критическую силу. Согласно прил. 13 расчетные
данные для стали 20: a = 328 МПа; b = 1,15 МПа; λпред = 96.
λ4 = 189 > λпред = 96, значит, гибкость стойки находится в границах применимости формулы Эйлера:
F |
A |
2 E |
8,63 10 4 |
3,142 2 1011 |
47,6 103 47,6 кН . |
|
2 |
1892 |
|||||
кр |
|
|
|
3. Определяемдействительныйкоэффициентзапасаустойчивости:
ny |
Fкр |
|
47,6 |
2,4 |
n y |
2 . |
|
F |
20 |
||||||
|
|
|
|
|
Ответ: для стойки рационально использовать уголок 80 5,5 ГОСТ 8509–93, обеспечивающий запас устойчивости nу = 2,4.
158
Таблица 9 . 3
|
Номер варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Схема стойки |
01 |
02 |
03 |
04 |
05 |
06 |
07 |
08 |
09 |
10 |
|
(см. табл. 9.2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Профиль сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Материал стойки |
Сталь |
Ст5 |
Ст2 |
Сталь |
Сталь |
Ст4 |
Сталь |
Сталь |
Сталь |
Ст2 |
|
30 |
30 |
20 |
40 |
20 |
45 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продольная сила, кН |
40 |
90 |
130 |
220 |
60 |
70 |
390 |
180 |
70 |
50 |
|
Длина стойки l, м |
2 |
4,5 |
3,5 |
6,5 |
5 |
1,5 |
8 |
6 |
3 |
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер варианта |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
Схема стойки |
01 |
02 |
03 |
04 |
05 |
06 |
07 |
08 |
09 |
10 |
|
(см. табл. 9.2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Профиль сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Материал стойки |
Ст4 |
Ст5 |
Сталь |
Ст3 |
Сталь |
Сталь |
Ст4 |
Ст2 |
Ст.3 |
Сталь |
|
40 |
45 |
40 |
45 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продольная сила, кН |
140 |
140 |
100 |
30 |
350 |
230 |
140 |
10 |
90 |
90 |
|
Длина стойки l, м |
4 |
7,5 |
4 |
3 |
10 |
2,5 |
7 |
2 |
2,5 |
5,5 |
159 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
159
160
Номер варианта |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
Схема стойки |
01 |
02 |
03 |
04 |
05 |
06 |
07 |
08 |
09 |
10 |
|
(см. табл. 9.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Профиль сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Материал стойки |
Сталь |
Ст3 |
Ст4 |
Ст5 |
Сталь |
Сталь |
Ст2 |
Ст3 |
Ст3 |
Ст5 |
|
30 |
40 |
30 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продольная сила, кН |
40 |
80 |
120 |
120 |
80 |
400 |
70 |
160 |
20 |
120 |
|
Длина стойки l, м |
1 |
9 |
3,5 |
6 |
2,5 |
1,5 |
5 |
8 |
0,5 |
7 |
Примечание: труба квадратная ГОСТ 8639–82 см. прил. 4; уголок ГОСТ 8509–93 см. прил. 5; двутавр ГОСТ 8239–89 см. прил. 6; швеллер ГОСТ 8240–97 см. прил. 7.
160