книги / Практические задания по сопротивлению материалов

Задача 9.3. Подобрать размер сечения квадратной (с с) или круглой (d) деревянной стойки из условия устойчивости с использованием коэффициента продольного изгиба . Определить величину критической силы Fкр и действительный коэффициент запаса устойчивости nу выбранной стойки.

Для древесины (сосна, ель вдоль волокна): допускаемое напряжение сжатия [σ]с = 10 МПа; модуль продольной упругости Е = 104 МПа; рекомендуемый коэффициент запаса устойчивости

[n]у = 2,8…3,2.

Схемы стойки и данные для расчета приведены в табл. 9.4.

Порядок выполнения

1.Начертить схему стойки с указанием числовых значений размеров и приложенных сил.

2.Определить размеры поперечного сечения стойки по упро-

щенной формуле расчета на устойчивость, принимая 1 = 0,5.

3.Определить гибкостьλ икоэффициент 1′ принятого сечения.

4.Определить значение 2 во 2-м приближении, присвоив ему среднее значение между 1 и 1′. Определить размеры поперечного сечения стойки по упрощенной формуле.

5.Повторить действия 3–5. Вычисления необходимо продолжать,

пока расхождение между i и ′i не станут меньше 5 %. Обычно для этого бываетдостаточно 2–3 итераций.

6.Уточнить гибкость найденной стойки, по формулам Эйлера или Ясинского определить величину критической силы.

7.Определить действительный коэффициент запаса устойчивости стойки. Сравнить его срекомендуемым. Сделатьвывод.

Указания к выполнению

В предыдущей задаче рассматривался метод последовательного вычисления поперечного сечения стойки с использованием коэффициента продольного изгиба . В качестве критерия прекращения последовательных вычислений принималось выполнение условия устойчивости для найденных значений i и у .

161

На практике вычисления обычно прекращают при выполнении условия

где i и ′i – значения коэффициента продольного изгиба в начале и конце последнего приближения.

Пример решения задачи 9.3

Дано: деревянная стойка длиной l = 1 м (рис. 9.5) находится под действием сжимающей силы F = 10 кН. Допускаемые напряжения материала стойки [σ]сж = 20 МПа.

Найти:

а) размерыквадратного сечения стойки (с с); Рис. 9.5 б) силу, при которой произойдет потеря ус-

тойчивости;

в) действительный коэффициент запаса устойчивости nу.

Решение:

Согласно табл. 9.2, коэффициентприведения длиныстойки = 1. а) Принимая 1 = 0,5, находим размеры поперечного сечения

стойки по упрощенной формуле расчета на устойчивость:

162

Определяем коэффициент продольного изгиба ′i методом

163

Заданным значениям соответствует брус сечением 37 37 мм. Округляем полученный результат в соответствие с требованиями для изделий из древесины (до 0,5 мм в большую сторону):

брус 40 40 мм.

2. Определяем критическую силу.

Согласно прил. 13 расчетные данные для древесины (сосна, ель): a = 29,3 МПа; b = 0,19 МПа; λпред = 59.

кость стойки находится в границах применимости формулы Эйлера:

3. Определяемдействительныйкоэффициентзапасаустойчивости: ny FFкр 21,110 2,1 n y 2,8...3,2.

Коэффициент запаса устойчивости меньше рекомендуемого для древесины. Размер поперечного сечения стойкижелательно увеличить.

Ответ: Поперечный размер стойки 40 40 мм. Потеря устойчивости произойдет при Fкр = 21,1 кН. Запас устойчивости nу = 2,1.

164

Контрольные вопросы

1.Что такое продольный изгиб?

2.В чем заключается явление потери устойчивости стержня?

3. Почему потеря устойчивости сжатого стержня приводит

кснижению его прочностных характеристик?

4.В каких случаях элемент конструкции необходимо рассчитывать на устойчивость?

5.В чем заключается расчет на устойчивость?

6.Какую силу называют критической? Как способ закрепления стержня влияет на ее величину?

7.Какая величина называется гибкостью стержня? Какова размерность этой величины?

8.От каких параметров зависит гибкость стержня?

9.Что представляет собой коэффициент приведения длины? От чего он зависит?

10.Как проводится расчет стержня наустойчивость по Эйлеру?

11.Почему вформулу Эйлера для критическойсилы входит Jmin?

12.Какие допущения лежат в основе вывода формулы Эйлера? Как это влияет на методику расчета?

13.Как устанавливается предел применимости формулы Эйлера? Как определяется предельная гибкость стержня?

14.Приведите график зависимости критических напряжений от гибкости стержней.

15.Как определяется критическая нагрузка по эмпирической формуле (формуле Ясинского)?

16.Какопределяетсяразмерпоперечногосечениясжатойстойки?

17.Что представляет собой коэффициент φ? Как определяется его значение?

18.Почему расчёт на устойчивость предшествует расчету на продольно-поперечный изгиб?

Литература: [1, п. 2.7; 2, лекц. 15; 4, гл. 26].

166

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1.Прикладная механика: учебник для бакалавров / В.В. Джамай, Е.А. Самойлов, А.И. Станкевич [и др.]. – М.: Юрайт, 2013. – 360 с.

2.Жученков А.П., Зинштейн М.Л., Ханов А.М. Сопротивление материалов: конспект лекций. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2014. – 216 с.

Дополнительная:

3.Бородин Н.А. Сопротивление материалов: пособие для студентов ссузов, обучающихся по спец. техн. профиля. – М.: Дрофа, 2001. – 288 с.

4.Эрдеди А.А., Эрдеди Н.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов: учеб. пособие для машиностр. спец. сред. проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2002. – 318 с.

167

168

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Нормальные линейные размеры, ГОСТ 6636–69 (фрагмент*)

Примечание. *Из установленных стандартом рядов (Ra 5, Ra 10, Ra 20, Ra 40) приведены ряды Ra 20, Ra 40 с более мелкой градацией.

170