книги / Практические задания по сопротивлению материалов

с помощью метода сечений через внешние (вращающие) моменты по правилу: внутренний крутящий момент в любом поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних моментов относительно продольной оси вала, приложенных по одну сторону от рассматриваемого поперечного сечения:

с одной стороны

Mкрi Ti . от сечения

Крутящий момент принято считать положительным, если при взгляде со стороны отсеченной части вала он будет направлен против часовой стрелки.

При наличии жесткой заделки одного из концов вала определение величины внутренних крутящих моментов рекомендуется начинать со свободного конца вала, так как в этом случае нет необходимости определять реактивный момент в заделке.

Касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях вала при кручении, достигают своей максимальной величины на его поверхности (рис. 5.2) и находятся по формуле

где крi – касательные напряжения на внешней границе i-го сечения вала; Mкрi – внутренний крутящий момент в i-м сечении вала; W i – полярный момент сопротивления сечения i-го участка вала.

Рис. 5.2

Для вала круглого сечения Wρ = π· d3/16 ≈0,2 · d3 (см. прил. 10).

71

Условие прочности вала, соответственно, имеет вид

где [ ]кр – допускаемые напряжения кручения.

Таким образом, минимальный диаметр вала из условия прочности на каждом участке определяется по формуле

Пример решения задачи 5.1

Дано: двухступенчатый вал закручивается под действием вращаю-

щих моментов (рис. 5.3, а): T1 = 60 Н·м; T2 = 100 Н·м; T3 = 210 Н·м; T4 = 500 Н·м.

Размеры ступеней вала: a = 0,2 м; b = 0,3 м; c = 0,4 м.

Физико-механические характеристики материала и требования к валу: G = 8·1010 Па; [Θ]кр = 1,0 град/м; [τ]кр = 30 МПа.

Найти:

а) поперечные размеры вала из условия прочности; б) напряжения на участках вала; в) дать заключение о прочности вала.

Решение:

1. Разбиваем вал на участки, начиная со свободного (незакрепленного) конца, и определяем величину крутящего момента Mi в пределах каждого участка c учетом правила знаков (рис. 5.4).

I участок (0 ≤ x1 ≤ a): M1 = T1 = 60 Н·м;

II участок (0 ≤ x2 ≤ b): M2 = T1 – T2 = 60 – 100 = –40 Н·м;

IIIучасток (0 ≤ x3 ≤ c): M3 = T1 – T2 + T3 = 60 – 100 +

+210 = 170 Н·м;

IV участок (0 ≤ x4 ≤ a): M4 =T1 – T2 + T3 –T4 = 60 – 100 + + 210 – 500 = –330 Н·м.

Строим эпюру внутренних крутящих моментов Mi (рис. 5.3, б).

72

2. Определяем минимальные диаметры ступеней вала исходя из условия прочности.

Округляем результат согласно ГОСТ 6636–69: d1, 2 = 22 мм.

Условие прочности на I–III участках выполняется:

i ≤ [τ]кр = 30 МПа.

На IV участке 4 = 30,1 МПа > [τ]кр.

75

Превышение допускаемого напряжения составляет:

76

Задача 5.2. Проверить, удовлетворяет ли вал, спроектированный в задаче 5.1, условию жесткости. Скорректировать его размеры при необходимости. Определить углы закручивания вала по длине.

77

Порядок выполнения

1.Определить относительные углы закручивания вала Θкрi на каждомучастке. Проверить, удовлетворяет ли валусловию жесткости.

2.Скорректировать размеры вала при необходимости исходя из условия жесткости. Полученный результат округлить согласно ГОСТ 6636–69 до ближайшего большего значения.

3.Определить углы закручивания i по длине вала. Построить эпюру углов закручивания.

Указания к выполнению

Характеристикой жесткости вала является величина угла закручивания (рис. 5.5) или относительного угла закручивания

где Θкрi – относительный угол закручивания сечения на i-м участке вала; [Θ]кр – допускаемый относительный угол закручивания;

Mкрi – внутренний крутящий момент на i-м участке вала; G – модуль сдвига материала вала; J i – полярный момент инерции сечения i-го участка вала.

Таким образом, минимальный диаметр вала из условия жесткости определяется по формуле

78

Определение углов закручивания вала следует начинать от заделки, где угол закручивания 0 = 0.

Для участков вала постоянного сечения при неизменяющемся крутящем моменте угол закручивания на i-м участке определяется по формуле

i = Mкрi li ,

G Jρi

где i – угол закручивания конечного сечения i-го участка вала относительно его начального сечения (см. рис. 5.5); li – длина участка вала, на котором определяется угол закручивания.

Зависимость между абсолютным i и относительным Θкрi углами закручивания в этом случае имеет вид i = Θкрi · li.

Таким образом, полный угол закручивания ступенчатого вала будет равен

где n – количество участков.

Пример решения задачи 5.2

Дано: двухступенчатый вал (см. данные и решение задачи 5.1).

Найти:

а) проверить выполнение условия жесткости на участках вала; б) определить поперечные размеры вала из условия жесткости; в) определить углы закручивания по длине вала.

Решение:

1. Проверяем выполнение условия жесткости на участках вала. Определяем значение допускаемого относительного угла за-

кручивания [Θ], заданного в условии задачи, в системе СИ:

[Θ]кр = 1,0 / 180 = 1,74 · 10–2 рад/м.

79

Определяем максимальные величины относительных углов закручивания Θi на участках вала:

Условие жесткости на участках I, IV не выполняется.

2. Размеры поперечного сечения вала необходимо пересчитать по условию жесткости:

d3, 4 = 40 мм.

3. Определяем углы закручивания i по длине вала, начиная от заделки, так как там деформации отсутствуют ( 0 = 0):

IV участок:

80