книги / Практические задания по сопротивлению материалов

Задача 5.3. К гладкому валу приложены сосредоточенные вращающие моменты. Определить размер сечения вала из условия прочности и жесткости на кручение, а также максимальные напряжения и углы закручивания по длине вала.

Вал изготовлен из стали: G = 8 ·1010 Па; [Θ]кр = 1,75 ·10–2 рад/м;

[τ]кр = 45 МПа.

Данные для расчета представлены в табл. 5.3. Схемы нагруженного вала приведены в табл. 5.4.

Порядок выполнения

1.Начертить схему вала с указанием числовых данных.

2.Составить уравнения и определить величину внутренних крутящих моментов (Мкрi) по участкам вала. Построить эпюру внут-

81

ренних крутящих моментов по длине вала. Определить опасный участок.

3.Определить минимальные размеры вала исходя из условия

прочности (dпр) и жесткости (dж). Полученные результаты округлить согласно ГОСТ 6636–69 до ближайшего большего значения из ряда предпочтительных чисел Rа 40 (см. прил. 2). Принять размеры вала по наибольшему значению.

4.Определить напряжения крi по длине вала. Построить эпюру

напряжений.

5. Определить углы закручивания i по длине вала. Построить эпюру углов закручивания.

Указания к выполнению

Определение диаметров вала из условия прочности и жесткости, а также напряжений и углов закручивания по длине вала было рассмотрено в задачах 5.1, 5.2.

Пример решения задачи 5.3

Дано: гладкий вал закручивается под действием вращающих моментов (рис. 5.6, а):

M1 = 60 кН·м; M2 = 80 кН·м; M3 = 48 кН·м.

Размеры ступеней вала: a = 0,2 м; b = 0,8 м. Физико-механические характеристики материала и требования

к валу:

G = 8·1010 Па; [Θ]кр = 1,75·10–2 рад/м; [τ]кр = 45 МПа.

Найти:

а) диаметр вала из условия прочности и жесткости; б) напряжения на участках вала; в) углы закручивания по длине вала.

Решение:

1. Составляем уравнение равновесия и определяем величину мо-

мента M4: ΣMx = –M1 + M2 – M3 + M4 = 0; M4 = 60 – 80 + 48 = 28 кН·м.

82

2. Разбиваем вал на участки и определяем величину внутренних крутящих моментовMкрi впределах каждогоучастка c учетом знаков:

I участок (0 ≤ x1 ≤ 2a): Mкр1 = –М1 = –60 кН·м;

II участок(0 ≤x2 ≤b): Mкр2 = –М1 + M2 = –60 + 80 = 20 кН·м;

III участок (0 ≤ x3 ≤ a):

Mкр3 = –М1 + M2 – M3 = –60 + 80 – 48 = –28 кН·м.

Строимэпюру внутренних крутящих моментов Mкрi (рис. 5.6, б). I участок – опасный, так как там крутящий момент достигает

наибольшего значения |Mкр1| = 60 кН·м.

Рис. 5.6

3. Определяем диаметр вала на опасном участке исходя из условия прочности:

83

Округляем результат согласно ГОСТ 6636–69 (см. прил. 2):

dпр = 190 мм.

4. Определяем диаметр вала на опасном участке исходя из условия жесткости:

Округляем результат согласно ГОСТ 6636–69 (см. прил. 2):

dж = 150 мм.

Принимаем диаметр валапо наибольшему значению: d = 190 мм.

5. Определяем максимальные напряжения на участках вала:

i ≤ [τ]кр = 45 МПа.

Строим эпюру распределения максимальных напряжений по длине вала крi (рис. 5.6, в).

84

6. Определяем углы закручивания по длине вала. Принимаем угол закручивания крайнего правого сечения вала равным нулю

( 0 = 0).

I участок:

( 0,8 0,5) 10 3 1,3 10 3 рад.

Строим эпюру углов закручивания вала i (рис. 5.6, г).

Таблица 5 . 3

85

87

87

Задача 5.4. Для валов круглого сплошного, кольцевого, квадратного сечений определить распределение напряжений по сечению на опасном участке. Оценить рациональность изготовления валов различной формы сечения.

Схему нагружения и материал вала взять из задачи 5.1 (5.3). Данные для расчета кольцевого вала приведены в табл. 5.5.

Таблица 5 . 5

Порядок выполнения

1.Выписать из решения задач 5.1, 5.2 (5.3) величину крутящего момента и размеры сечения сплошного круглого вала на опасном участке исходя из условия прочности и жесткости.

2.Определить размеры вала кольцевого сечения ( dкол, Dкол )

исходя из условия прочности и жесткости (по наибольшему значению). Полученные результаты округлить согласно ГОСТ 6636–69

( dкол – до ближайшего меньшего, Dкол – до ближайшего большего значения) из ряда предпочтительных чисел Rа 40 (см. прил. 2).

3.Определить размеры вала квадратного сечения (a a) исходя из условия прочности и жесткости (по наибольшему значению). Полученные результаты округлить согласно ГОСТ 6636–69 до ближайшего большего значения.

4.Вычислить величину напряжений и определить их распределение в опасном сечении сплошного круглого, кольцевого и квадратного валов. Построить эпюры.

5.Оценить рациональность сечений валов по прочности и по жесткости. Дать заключение.

Указания к выполнению

Возникающие в поперечном сечении вала касательные напряжения направлены перпендикулярно к радиусу и вычисляются по формуле

88

кр Mкр ,

J

где Мкр – внутренний крутящий момент в сечении вала; Jρ – полярный момент инерции этого сечения; – расстояние от центра сечения вала до точки, в которой вычисляются напряжения.

Эпюра распределения касательных напряжений по сечению круглого сплошного вала представлена на рис. 5.2, а.

Максимальные касательные напряжения возникают на внешнем контуре сечения и вычисляются, соответственно, по формуле

max Mкр ,

кр W

где Wρ – полярный момент сопротивления рассматриваемого сечения вала.

Касательные напряжения в сечении кольцевого вала определяются аналогично напряжениям круглого вала сплошного сечения. Эпюра распределения касательных напряжений по сечению кольцевого вала представлена на рис. 5.2, б.

Относительный угол закручивания кольцевого вала определяется аналогично углу закручивания круглого сплошного вала:

Геометрические характеристики вала кольцевого сечения определяются следующим образом (см. прил. 10):

– полярный момент сопротивления

89

диаметр кольца).

Задача о распределении напряжений в сечении квадратного вала методами сопромата не решается. Методами теории упругости была получена эпюра распределения касательных напряжений по сечению квадратного вала (рис. 5.7).

Максимальные напряжения возникают в середине сторон квадрата и определяются по формуле

где Wk – характеристика прочности при кручении (см. прил. 11)

Wk 0,208 a3.

Относительный угол закручивания вала квадратного сечения определяется по формуле

где Jk – характеристика жесткости при кручении (см. прил. 11),

Jk 0,141 a4 .

Для оценки рациональности сечений валов по условию прочности и по условию жесткости вводятся безразмерные величины:

–удельный момент сопротивления wкр WA3 ;

–удельный момент инерции jкр AJ 2 , где А – площадь сечения

вала.

Чем больше значения wкр и jкр, тем выше способность вала сопротивляться деформации кручения при том же весе.

90