книги / Практические задания по сопротивлению материалов

Оценка прочности деталей, находящихся в сложном напряженном состоянии, производится на основании одной из гипотез проч-

ности и заключается в определении эквивалентного напряжения σэкв

с последующим сравнением его с допускаемым нормальным напря-

жением изгиба [σ]из.

Проверка прочности с учетом совместного действия нормальных и касательных напряжений делается обычно для балок, поперечные сечения которых имеют тонкую стенку, резко изменяющуюся вблизи крайних волокон (швеллер, двутавр, тавр, уголок и пр.). Проверку прочности производят в опасных сечениях в точках перехода от малой ширины к большой.

Однако в случаях, не требующих особо точного расчета, в целях упрощения вычислений в качестве расчетных используют максимальные значения напряжений σиз и из в опасном сечении, что приводит к увеличению запаса прочности балки за счет некоторого утяжеления конструкции.

Опасными считаются те сечения балки, в которых и нормальные, и касательные напряжения одновременно достигают больших величин (необязательно максимальных!).

Балки из пластичного материала проверяют по третьей гипотезе прочности (гипотезе касательных напряжений) по формуле

IIIэкв из2 4 из2 из

или по четвертой (энергетической) гипотезе прочности по формуле

σIVэкв σиз2 3 τиз2 из ,

где σэкв – условные (эквивалентные) нормальные напряжения, равноопасные сочетанию нормальных и касательных напряжений; σиз – фактические нормальные напряжения в опасном сечении балки; из – фактические касательные напряжения в опасном сечении балки; [σ]из – допускаемые нормальные напряжения изгиба материала балки.

141

и нормальные напряжения одновременно достигают больших значений в крайнем сечении II участка, соответственно: Qmax = 14 кН,

Mизmax 83,0 кН м.

1. Строим эпюру распределения нормальных напряжений в опасном сечении с учетом знаков. Эпюра нормальных напряже-

142

В точках 4, 5: y4 = −y2; из4 из2 ; y5 = −y2; из5 из1 , так как сечение симметрично относительно нейтральной линии..

Строим эпюру распределения нормальных напряжений по сечению (см. рис. 8.2, б).

2. Строим эпюру распределения касательных напряжений в опасном сечении с учетом знаков.

Согласно формуле Журавского

где y – расстояние от центра тяжести отсеченной площади A* сечения (выше исследуемой точки) до нейтральной линии (рис. 7.3).

Вточке 1 из1 0 , так как A1* = 0 и, следовательно, Sx*1 0 .

Вточке 2 происходит резкое изменение ширины поперечного сечения (см. рис. 8.2, а), поэтому необходимо вычислить два значения касательных напряжений.

Выше точки 2 ширина поперечного сечения b = 145 мм:

Статический момент отсеченной площади в обоих случаях определяется как

где A2* – площадь сечения выше точки 2; y2 – расстояние от центра тяжести площади A2* до нейтральной линии.

143

В точке 3

Рис. 8.2

3. Проверку прочности производят в точках скачкообразного изменения ширины сечения.

Наиболее опасной является точка 2: σиз2 = 104,0 МПа;

τиз2 = 3,9 МПа.

Согласно третьей гипотезе прочности в опасном сечении

Прочность балки обеспечена.

Если условие прочности не выполняется, необходимо выбрать балку с большим сечением (следующий номер профиля по ГОСТу) и повторить проверку прочности в опасной точке.

144

В целях упрощения расчета и с учетом увеличения запаса прочности в качестве расчетных можно взять максимальные значения напряжений в сечении, т.е.

Прочность балки обеспечена.

Контрольные вопросы

1.Что такое сложноенапряженное состояние? Чемоно опасно?

2.Что такое предельное напряженное состояние?

3.Что такое эквивалентное напряжение?

4.Какие теории (гипотезы) прочности вы знаете?

5.Как определяется эквивалентное напряжение для изгибаемой балки по 3-й гипотезе прочности (гипотеза касательных напряжений) (по 4-й (энергетической) гипотезе прочности)?

6.Как производится полная проверка прочности двутавровой балки при прямом поперечном изгибе?

7.В каких случаях балки проверяют на прочность с учетом совместного действия нормальных и касательных напряжений?

Литература: [1, п. 2.6; 2, лекц. 4; 4, п. 24.2].

145

9. РАСЧЕТ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Задача 9.1. Определить влияние длины стальной стойки на ее устойчивость. Построить график зависимости допускаемой нагрузки от длины стойки. Рекомендуемый коэффициент запаса устойчивости для сталей [n]у = 1,8…3,0. Схема стойки и данные для расчета приведены в табл. 9.1, 9.2. Сведения о геометрических характеристиках стоек круглого и квадратного сечения приведены в прил. 10; геометрические характеристики прокатных профилей (трубы, уголки равнополочные, двутавры, швеллеры) представлены в прил. 3–7).

Порядок выполнения

1.Начертить схему стойки с указанием числовых значений размеров и приложенных сил.

2.Определить допускаемую нагрузку сжатой стойки при разной длине стойки.

3.Определить значения длины и допускаемой нагрузки стойки

при λ = λпред и λ = λ0.

4.Построить график зависимости допускаемой нагрузки от длины стойки.

5.Сделать вывод.

Указания к выполнению

Центрально сжатый стержень (стойка) при некотором критическом значении сжимающей нагрузки Fкр может перейти от состояния простого сжатия к состоянию продольного изгиба (рис. 9.1), то есть произойдет потеря устойчивости, сопровождающаяся потерей формы

Рис. 9.1 стержня и снижением его прочностных характеристик.

146

Способность стержня сопротивляться потере устойчивости характеризуется безразмерной величиной – гибкостью:

λμ l ,

imin

где μ – коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа закрепления его концов; l – длина стержня; imin – наименьший

наименьший осевой момент инерции поперечного сечения стержня; А – площадь поперечного сечения стержня.

Если гибкость стержня превышает предельное значение (λ ≥ λпред), критическую силу вычисляют по формуле Эйлера

Fкр π2(μE l)J2min A π2λ2 E .

Если гибкость стержня λпред > λ ≥ λ0, критическую силу вычисляют по эмпирической формуле (формуле Ясинского)

Fкр A σкр A (a b λ) .

Здесь λ0, λпред, a, b являются справочными величинами, зависящими от материала стержня (см. прил. 13).

Если гибкость стержня λ < λ0, стержень рассчитывают на прочность без учета опасности потери устойчивости, т.е. производят расчет на простое сжатие по формуле:

Fкр A σпред ,

где пред = Т для пластичных материалов ( Т – предел текучести материала стержня); пред = В для хрупких материалов ( В – предел прочности материала стержня).

Пример решения задачи 9.1

Дано: круглая стальная стойка (рис. 9.2) диаметром d = 0,1 м, длиной l = 12 м находится под действием сжимающей силы F.

Материал стойки – сталь Ст. 3: Е = 2·105 МПа; σТ = 200 МПа;

147

в) построитьграфик зависимости допускаемойнагрузкиотдлины.

Решение:

1. Определяем основные параметры стойки.

Коэффициент приведения длины для рассматриваемой стойки

μ = 0,7 (табл. 9.2).

Площадь A = 1/4 ·πd 2 = 3,14 ·(0,1)2 / 4 = 78,5 ·10–4 м2.

Выясним, как гибкость стойки λ зависит от ее длины:

Для стандартных профилей минимальный радиус инерции приведен в соответствующих ГОСТах (см. прил. 3–7).

2. Принимаем l1 = 0,25l = 0,25·12 = 3 м.

Гибкость стойки 1 28l1 28 3 84 .

λпред > 84 ≥ λ0 (λпред = 100; λ0 = 61).

Критическую силу вычисляем по эмпирической формуле

3. Принимаем l2 = 0,5l = 0,5·12 = 6 м.

148

Гибкость стойки 2 28 l2 28 6 168 . 168 > λпред = 100. Критическую силу вычисляем по формуле Эйлера

Критическую силу вычисляем по формуле Эйлера:

5.Определим длину стойки, гибкость которой λ = λпред = 100.

4 28 l4 100 , отсюда l4 = 100 / 28 = 3,6 м.

По эмпирической формуле

6.Определим длину стойки, гибкость которой λ = λ0 = 61.

5 28l5 61, отсюда l5 = 61 / 28 = 2,2 м.

По эмпирической формуле

Fкр5 A(a b 5 ) 78,5 10 4 (310 1,14 61) 106 1,9 106 Н .

149

7. Для всех l < l5 потеря устойчивости стойке не угрожает (λ < λ0). Расчет производится на простое сжатие с использованием (при тех же условиях) меньших коэффициентов запаса прочности, поэтому без дополнительного расчета примем

8. Строим график зависимости допускаемой нагрузки от длины стойки (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Вывод:

а) при длине стойки меньше 2,2 м ей не грозит потеря устойчивости;

б) в диапазоне длин от 2,2 до 3,6 допускаемая нагрузка уменьшается пропорционально длине стойки;

в) при длине стойки более 3,6 м допускаемая нагрузка уменьшается по параболе.

150