книги / Практические задания по сопротивлению материалов

Задача 2.2. Для стержневой системы из задачи 2.1 построить план перемещений узловой точки В.

Порядок выполнения

1.Определить изменение длины каждого стержня с учетом вида деформации (растяжение или сжатие).

2.В увеличенном масштабе построить план перемещений узловой точки В.

Указания к выполнению

Вид деформации стержня определяется по направлению продольной силы (реакции опоры). Стержень растягивается, если продольная сила направлена в сторону связи, и, соответственно, сжимается, если продольнаясила направлена от связиксвободномуконцу.

Перемещение сечения В относительно связи для i-го стержня, имеющего постоянное поперечное сечение, при условии что продольная сила постоянна по всей длине стержня, определяется как

l = Ni li ,

где li – начальная длина рассматриваемого стержня; Ni – продольная сила, действующая на стержень; Ai – площадь поперечного сечения соответствующего стержня согласно ГОСТ; Е – модуль продольной упругости материала стержня (модуль Юнга).

После определения вида деформации каждого стержня и величины изменения его длины строится план перемещения узловой точ-

ки В (в увеличенном масштабе).

Для нахождения положения сечения В после деформации (с учетом малости деформаций) на продолжении стержней откладывают отрезки, равные удлинению или укорочению соответствующих стержней. Из полученных точек проводят

21

перпендикуляры. Пересечение перпендикуляров будет соответствовать новому положению точки В'.

Пример решения задачи 2.2

Дано: стержневая система (см. рис. 2.1) сварена из уголка ГОСТ 8509–93: стержень 1: № 3,5 А1 = 2,04 см2; стержень 2: № 5 А2 = 2,96 см2 (см. решение задачи 2.1).

На стержни действуют внутренние продольные силы:

N1 = 25,59 кН; N2 = –35,8 кН.

Найти: перемещение узла B стержневой системы. Решение. Определяем величину деформации стержней. Стержень 1 растягивается на величину

Строим план перемещения узловой точки В (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Задача 2.3. Жесткий брус удерживается стальным стержнем BC длиной l. Оценить прочность и величину деформации стержня. Определить, удовлетворяет ли конструкция условию жесткости. Смещение узла В не должно превышать 2 мм. Определить максимальную возможную величину нагрузки F по условию прочности.

22

Физико-механические свойства материала и размеры поперечного сечения стержня BC определить в соответствии с прил. 1, 3–5 (см. решение задачи 2.1). Допускаемый коэффициент запаса статической прочности [n] выбрать самостоятельно. Весом конструкции пренебречь.

Данные для расчета представлены в табл. 2.3. Схемы стержневой системы приведены в табл. 2.4.

Порядок выполнения

1. Начертить схему стержневой системы в масштабе с указанием числовых значений размеров и приложенных сил (данные,

не относящиеся к решению конкретной задачи, выписывать не надо).

2.Выписать из ГОСТа необходимые для решения задачи геометрические и физико-механические параметры стержня BC.

3.Освободить стержневую систему от связей, заменив их реакциями связей. Изобразить заданные силы и реакции на схеме.

4.Составить уравнение равновесия, определить величину и направление усилия N в стержне BC.

5.Рассчитать напряжение в стержне BC. Определить допускае-

мое напряжение для материала стержня [σ]р и оценить его прочность.

6.Определить величину деформации стержня BC. Построить

вувеличенном масштабе план перемещения узла В и определить величину его смещения.

7.Сравнить величину смещения узла В с допускаемым. Сделать вывод.

8.Определить нагрузочную способность стержня BC по условию прочности. Определить максимальную величину нагрузки F.

Указания к выполнению

Определение внутренней силы, расчетного и допускаемого напряжения в стержне было рассмотрено в задаче 2.1. Определение деформаций стержня и построение плана перемещения узла стержневой системы рассматривались в задаче 2.2.

23

Определив величину смещенияузловой точки (длину отрезкаBB'), необходимо сделать вывод, соответствует ли это смещение допускаемому:

BB' l ,

где BB' – смещение точки В, взятое по модулю; l – допускае-

мая величина смещения точки В.

Нагрузочная способность стержня (максимальная нагрузка) определяется из условия прочности по формуле

Nimax Ai р ,

где Nimax – максимальная внутренняя продольная сила, которую

может выдержать стержень, не разрушаясь; Аi – площадь поперечного сечения стержня; [σ]р – допускаемое напряжение растяжения (сжатия) для материала стержня.

Зависимость между внутренней продольной силой в стержне NBC и внешней силой F устанавливается из уравнений равновесия системы сил.

Пример решения задачи 2.3

Дано. Стержневая система (рис. 2.4, а) сварена из жесткого бруса BA и трубы BC сечением 20 2 (ГОСТ 10704–91). Материал трубы – сталь Ст3. Физико-механические свойства материала (см. прил. 1): σТ = 200 МПа; Е = 2·105 МПа. Конструкция нагружена силой F = 2 кН. Геометрические параметры: l = 2,0 м; a = 0,5 м; α = 15º. Допускаемое смещение узла B: [∆l] = 2 мм.

Найти:

а) оценитьпрочность стержня BC;

б) определить величину деформации стержня BC и перемещение узла В;

в) оценитьработоспособностьконструкциипоусловиюжесткости; г) определить максимальную величину нагрузки F по условию

прочности.

24

Решение:

1. Определяем внутреннее усилие в стержне BC. Отбрасываем связь C, заме-

няя ее внутренним усилием в стержне NBC (направляем силу от опоры, так как очевидно, что стержень BC сжимается).

Заменяем шарнирно неподвижную опору A реакциями XA, YA. Получаем плоскую систему сходящихся сил (рис. 2.4, б).

Поскольку величина значений XA, YA по условию задачи нас не интересует, составляем одно уравнение равновесия моментов относительно точки A:

mA F 2a NBC sin15° 3a 0.

Находим внутренне усилие в стержне:

Принимаем [n] = 1,5.

Определяем величину допускаемого напряжения:

[σ]р = σТ/[n] = 200/1,5 = 133,3 МПа.

Определяем прочность стержня по формуле:

Площадь сечения стержня, согласно ГОСТ 10704–91 (см. прил. 3) ABC = 1,13 см2. Следовательно,

25

45,6 M a р 133,3 M a.

Прочность стержня обеспечена.

2. Определяем величину деформации стержня BC и строим план перемещения узла В.

Стержень BC сжимается на величину

Жесткий брус BA поворачивается на некоторый угол вокруг шарнира A.

Узел B перемещается в по-

ложение B' (рис. 2.5). В силу малости деформаций стержня BC дуговую траекторию движения точки B заменим прямолинейной траекторией BB', перпендикулярной первоначальному положению брусаBA.

Отметив на плане перемещений изменение длины стержня BC ( lBC), на пересечении перпендикуляров отмечаем точку B'.

Длина отрезка BB' будет следующей

Условие жесткости выполняется. Конструкция работоспособна. 3. Определяем нагрузочную способность стержневой системы

из условия прочности на растяжение (сжатие):

26

Из полученного ранее уравнения равновесия (см. п. 1 данного решения) определяем максимальную величину нагрузки F (в зада-

чах с распределенной нагрузкой необходимо определить qmax):

Fmax 1,5 NBCmax sin15° 1,5 15,1 0,259 5,87 кН.

Таблица 2 . 3

27

28

Контрольные вопросы

1.Что такое стержень (брус)?

2.Какой вид нагружения называется растяжением (сжатием)?

3.Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях бруса при растяжении (сжатии)?

4.Какой силовой фактор называют нормальной силой?

5.Что такое напряжение? Какое напряжение называется нормальным? В каких единицах измеряется напряжение?

6.Какие напряжения возникают в поперечных сечениях бруса при деформации растяжения (сжатия)? Как их определить?

7.Что называется прочностью?

8.Сформулируйте условие прочности при деформации растяжения (сжатия)?

9.Как определяются допускаемые напряжения для пластичных материалов?

10.Какие три вида задач могут решаться при расчете на проч-

ность?

11.По какой формуле выполняется проектировочный расчет по условию прочности при деформации растяжения (сжатия)?

12.По какой формуле выполняется расчет на нагрузочную способность по условию прочности при деформации растяжения (сжатия)?

13.Как определить продольную деформацию бруса при растяжении (сжатии)?

14.Что характеризует модуль продольной упругости (модуль Юнга)? Как он обозначается? В каких единицах измеряется? Откуда берется при практических расчетах?

15.Что называется жесткостью? Какая величина характеризует жесткость при деформации растяжения (сжатия)?

16.Сформулируйте условие жесткости при деформации растяжения (сжатия).

17.Почему необходимо выполнять условие жесткости?

Литература: [1, п. 2.1, 2.2; 2, гл. 2; 4, гл. 18, 19].

29

3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ СТУПЕНЧАТОГО СТЕРЖНЯ ПРИ ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ

Задача 3.1. Оценить прочность хрупкого ступенчатого стержня при деформации растяжения и сжатия. Стержень изготовлен из чугуна СЧ15. Допускаемый коэффициент запаса статической прочности для хрупких материалов принимаем [n] = 2,0…5,0. Весом стержня пренебречь. Данные для расчета представлены в табл. 3.1. Схема стержня приведены в табл. 3.2.

Порядок выполнения

1.Начертить схему стержня со всеми численными данными.

2.Определить внутренние продольные силы Ni на каждом участке. Начертить схему с эпюрой внутренних сил Ni.

3.Определить напряжения σi на каждом участке. Начертить схему с эпюрой напряжений σi.

4.Определить коэффициенты запаса прочности стержня с учетом вида деформации на участках (растяжение или сжатие).

5.Оценить запас прочности стержня на участках. Дать заключение о прочности.

Указания к выполнению

Определение продольной силы Ni рекомендуется начинать со свободного конца стержня, так как значение реактивной силы в заделке неизвестно (либо предварительно определить значение реакции в заделке). Для определения продольной силы Ni на каждом участке используют метод сечений, руководствуясь правилом: стержень находится в равновесии, если внутренняя продольная сила в любом его сечении равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения на ось стержня:

с одной стороны

Ni Fi .

отсечения

30