книги / Практические задания по сопротивлению материалов

При построении эпюр следует использовать дифференциальные зависимости между распределенной нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом:

q dQ d 2 Mиз . dz dz2

Под действием изгибающего момента Mиз в поперечных сече-

ниях балки возникают нормальные напряжения σиз:

Нейтральным слоем называется граница между сжимаемыми и растягиваемыми волокнами балки. При изгибе нейтральный слой искривляется, не изменяя своей длины (рис. 7.1). Нормальные напряжения на нейтральном слое равны нулю (так как y = 0).

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки называется нейтральной линией. Если сечение имеет ось симметрии, перпендикулярную плоскости изгиба, нейтральная линия будет совпадать с ней.

Для длинных тонких стальных балок, не нагруженных вблизи опор, максимальная величина нормальных напряжений в сечениях обычно значительно превышает максимальнуювеличину касательных, поэтому основным расчетом на прочность для таких балок являет-

ся расчет по нормальным напря-

жениям. Расчет на прочность по касательным напряжениям является проверочным.

Нормальные напряжения достигают максимальной величины на

112

где изmax – максимальные нормальные напряжения в сечении балки;

Mиз – внутренний изгибающий момент в сечении балки; ymax – расстояние от нейтральной линии до максимально удаленной от нее точки сечения; Ix – момент инерции сечения балки относительно нейтральной линии; Wx – момент сопротивления сечения балки относительно нейтральной линии.

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе балки для пластичных материалов, соответственно, имеет вид

Mизmax – максимальный внутренний изгибающий момент, действую-

щий в сечениях балки.

При решении проектной задачи требуется найти минимально необходимые размеры сечения балки по условию прочности. Для этого необходимо сначала найти минимальный осевой момент сопротивления сечения балки по формуле

M max W min из .

x из

После этого, выбрав форму сечения, в соответствии с таблицами (см. прил. 10) или ГОСТами стандартных профилей следует определить геометрические размеры сечения.

Под действием поперечной силы Q в поперечных сечениях балки возникают касательные напряжения из, вычисляемые по формуле Журавского:

113

где Q – внутренняя поперечная сила в сечении балки; Ix – момент инерции сечения относительно нейтральной линии; b(y) – толщина

сечения в исследуемой точке; S*x (y) – статический момент отсеченной площади A* сечения (выше исследуемой точки) относительно нейтральной линии (рис. 7.3); S*x ( y) A* y , где y – расстояние от центра

тяжести отсеченной площади A* сечения до нейтральной линии. Условие прочности по касатель-

ным напряжениям при изгибе балки имеет вид

где Qmax – максимальная внутренняя поперечная сила, действующая в се-

чениях балки; Sxmax – максимальный

статический момент отсеченной площади сечения относительно нейтральной линии; Ix – момент инерции сечения относительно нейтральной линии; b – толщина сечения в исследуемой точке; [ ]из – допускаемые касательные напряжения изгиба материала балки.

Обычно принимают [ ]из = 0,6[σ]из.

Касательные напряжения распределяются по сечению балки нелинейно (см. рис. 7.3) и, как правило (для стандартных симметричных профилей), достигают максимальной величины на волокнах нейтральной линии.

Пример решения задачи 7.1(а)

[σ]из = 120 МПа

114

Найти:

а) величину внутренней поперечной силы Q по участкам балки; б) величину внутреннего изгибающего момента Mиз по участ-

кам балки; в) подобрать размеры профиля балки из условия прочности по

нормальным напряжениям; г) проверить прочность одного из выбранных профилей по ка-

сательным напряжениям в опасном сечении.

Решение:

1. Определение величины и направления опорных реакций балки было рассмотрено при решении задачи 1.1: YA = –14,0 кН;

mA = –83,0 кН·м.

Заменяем связи реакциями связей (рис 7.5, а).

Рис. 7.5

2. Определяем величину внутренней поперечной силы Q(z) по участкам балки методом сечений. Разбиваем балку на участки. Границы участков – точки приложения сосредоточенных сил и пар сил,

115

начало и конец распределенной нагрузки. Рассматриваемая балка имеет два участка (см. рис. 7.5, а).

Определяем значение Q(z) на каждом участке.

I участок: 0 ≤ z1 ≤ a.

Мысленно проводим секущую линию на расстоянии z1 от левой границы участка. Часть балки справа от сечения мысленно отбрасываем, а ее действие компенсируем внутренней поперечной силой Q(z1) (рис. 7.6, а). По III закону Ньютона величина этой силы равна суммарному действию внешних поперечных сил слева от сечения.

Составим уравнение проекций всех сил, расположенных слева от сечения, на ось y с учетом правила знаков: Q(z1) = –P +q·z1.

Величина Q линейно зависит от величины координаты z1. Очевидно, что эпюра Q(z1) будет представлять прямую, наклонную к оси z. Для построения эпюры поперечной силы на I участке достаточно определить значения силы Q(z1) в начале и в конце участка:

при z1 = 0 Q(0) = –P + q·0 = –10,0 кН;

при z1 = a Q(a) = –P + q·a = –10 +6 ·4 =14,0 кН.

II участок: 0 ≤ z2 ≤ b.

Мысленно проводим секущую линию на расстоянии z2 от левой границы участка. Часть балки справа от сечения мысленно отбрасываем, а ее действие компенсируем внутренней поперечной силой

Q(z2) (рис. 7.6, б).

Уравнение проекций сил, расположенных слева от сечения, на ось y:

Q(z2) = –P + q·a = 14,0 кН.

Величина Q(z2) на этом участке не зависит от величины координаты z2. Эпюра Q(z2) будет представлять прямую, параллельную оси z.

116

Строим эпюру поперечных сил Q(z) (рис. 7.5, б).

На I участке эпюра Q(z) пересекает ось z в точке К. Определим значение координаты z в этой точке, так как оно понадобится в дальнейшем при нахождении значений изгибающих моментов на этом участке (согласно дифференциальной зависимости между Q(z) и Mиз(z) эта точкасоответствуетэкстремальному значениюнаэпюреMиз(z)).

Из уравнения Q(zК) = –P + q·zК = 0: zК = P / q = 10 / 6 = 1,7 м.

3. Определяем величину внутреннего изгибающего момента Mиз по участкам балки.

I участок: 0 ≤ z1 ≤ a.

Компенсируем момент, создаваемый правой (отброшенной) частью балки, внутренним изгибающим моментом Mиз(z1) (рис. 7.6, а). Величина этого момента равна суммарному действию внешних изгибающих моментов слева от сечения. Уравнение проекций моментов всех сил и пар сил, расположенных слева от сечения, на ось z с учетом правила знаков:

Mиз(z1) = –P· z1 + q ·z1 · z1 / 2.

Для самопроверки определим, выполняются ли на участке дифференциальные зависимости:

Зависимости выполняются.

Эпюра Mиз(z1) будет представлять собой параболу.

Для построения параболы необходимо определить значения Mиз(z1) в трех точках:

–в начале участка (z1 = 0),

–в конце участка (z1 = a),

–в середине участка (z1 = a/2), если эпюра Q(z1) не пересекает ось z на данном участке, или в точке К (z1 = zК), если эпюра Q(z1) пересекает ось z на данном участке в точке К (эта точка соответствует экстремальному значению параболы).

117

при z1 = 0 Mиз(0) = –P·0 +q·0 = 0 кН·м;

при z1 = a1 Mиз(a) = –P·a +q·a2/2 = –10·4 + 6 ·42 /2 =8,0 кН·м; при z1 = zК = 1,7 Mиз(zК) = –P· zК + q· zК 2 /2 = –10·1,7 + 6 ·1,72/2 =

= –8,3 кН·м.

II участок: 0 ≤ z2 ≤ b.

Компенсируем момент, создаваемый правой (отброшенной) частью балки, внутренним изгибающим моментом Mиз(z2) (рис. 7.6, б). Уравнение проекций моментов всех сил и пар сил, расположенных слева от сечения, на ось z:

Mиз(z2) = –P·(a + z2) + q·a ·(a/2 + z2) + m.

Проверим выполнение дифференциальных зависимостей:

Зависимости выполняются.

Величина Mиз(z2) линейно зависит от величины координаты z2. Эпюра Mиз(z2) будет представлять прямую, наклонную к оси z. Для построения эпюры достаточно определить значения Mиз(z2) в начале и в конце участка:

при z2 = 0 Mиз(0) = –P·(a + 0) + q·a ·(a/2 + 0) + m = –10·4 + + 6 ·42/2 + 5 = 13,0 кН·м;

при z2 = b Mиз(b) = –P·(a + b) + q·a ·(a/2 + b) + m = –10·9 + + 6 ·4 ·(2 + 5) + 5 = 83,0 кН·м.

Строим эпюру изгибающих моментов Mиз(z) (рис. 7.5, в).

4. Определяем минимальный размер сечения балки из условия прочности по нормальным напряжениям в опасном сечении

Mизmax (z) 83,0 кН м:

118

Согласно ГОСТ 8239–89 и ГОСТ 8240–97 подбираем размер профиля балки:

–двутавр № 36: Wx = 743,0 см3.

–швеллер № 40: Wx = 761,0 см3.

Согласно эпюре поперечных сил (см. рис. 7.5, б) касательные напряжения достигают максимального значения в сечениях II участка (Qmax = 14 кН).

Согласно эпюре распределения напряжений по сечению балки, изготовленной из двутаврового профиля, касательные напряжения достигают максимального значения на нейтральной линии сечения, совпадающей с его осью симметрии (см. рис. 7.3).

Условие прочности по касательным напряжениям выполняется.

119

Пример решения задачи 7.1(б)

Балка изготовлена из стали: [σ]из = 120 МПа.

Найти:

а) величину внутренней поперечной силы Q по участкам балки; б) величину внутреннего изгибающего момента Mиз по участ-

кам балки; в) подобрать размеры профиля балки из условия прочности по

нормальным напряжениям; г) проверить прочность одного из выбранных профилей по ка-

сательным напряжениям в опасном сечении.

Решение:

1. Определение величины и направления опорных реакций балки было рассмотрено прирешении задачи 1.2: YA = 16,9 кН; YВ = 2,1 кН.

Заменяем связи реакциями связей (рис 7.9, а).

Рис. 7.9

120