книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела
.pdfдолжно требовать ортогональности поправочных векторов |
|
|
||
Д С % ‘> = С < ';» -С < Я |
0 |
2.22) |
||
к орту С ( Л_ I) касательной к кривой К б К ,*, в предыдущей |
(* |
1)-й |
||
точке, т.е. при X = X( к - \) • Это условие запишется в виде |
|
|
||
( « ( « |
- ! ) , - С < « )» 0 . |
(3 2 23) |
||
Подстановка сюда решения (3.2.17) дает, что |
|
|
||
,,+1) _ |
(*<*— |
(3.2.24) |
||
(Л> |
(^ -1 ).С < Й 1)) |
|||
|
|
|||
Геометрия такого итерационного процесса в К,+1 подобна показанной на рис. 1.6. Так же, как и в § 1.2, знаменатель выражения (3.2.24) может быть использован для контроля за шагом по параметру X с помощью усло вия, аналогичного условию (1.2.42):
Точно так же, как и в § 1.2, для определения а^ 1) можно использовать
условия (1.2.23) или (1.2.27). Без труда, используя отображение реше ния нелинейной краевой задачи на векторное пространство К ,+1, можно обобщать на случай нелинейных краевых задач и алгоритмы с близким к оптимальному параметром продолжения, построенные в §1.4.
3.3. Дискретная ортогональная прогонка
Как показано в § 3.1, 3.2, алгоритмы непрерывного и дискретного про должения решения нелинейных краевых задач содержат решения пошаго вых линеаризованных краевых задач вида (3.1.7), (3.1.8) для непрерыв ного продолжения и (3.2.6), (3.2.7) для дискретного. Выше уже отмеча лось, что реализация рассмотренных выше решений этих задач методом начальных параметров в задачах механики твердого деформируемого тела обычно наталкивается на известные трудности, связанные с наличием быст розатухающих и быстровозрастающих решений. Последнее приводит к пло хой обусловленности систем (3.1.15) или (3.2.15). Одним из наиболее эффективных способов преодоления этих трудностей является использо вание при построении решений метода дискретной ортогональной прогонки, разработанного С.К. Годуновым [88]. В отличие от традиционного вариан та этого метода, изложенного, например, в [35, 123, 174], при реализации алгоритма продолжения решения по параметру приходится решать линей ные краевые задачи вида (3.1.7), (3.1.8) и (3.2.6), (3.2.7), содержащие подлежащий определению параметр в свободных членах. А это требует некоторой модернизации известного алгоритма метода ортогональной прогонки. Итак, будем рассматривать линейную краевую задачу
Л /* /} = 1 (Ю я + р Л * 0 ) + # ( 0 ) , (0о |
(3 3.1) |
4 * ( 0 о ) = в , |
(3.3 2) |
Вх(р„) = Ь. |
(3 3 3) |
Здесь г ф) = [гх (/3),... |
,г т (0)]т - искомая т-мерная |
вектор-функция; |
= [Ьц(Ю ], »>/ = 1 |
- заданная квадратная |
матрица-функция |
порядка т\ М ф ) = [М\ ф ), . . . ,Мт (0)]т, Ф(0) = [Фх 03), • .. ,4 ^ (0)]т - заданные т-мерные вектор-функции; А - заданная невырожденная прямо
угольная матрица размера п Х т (п < т , гап§ (А) = п) ; В - |
заданная невы |
|||||
рожденная |
прямоугольная |
матрица размера |
( т - п ) |
Х т |
(гап§ (В) = |
|
= т |
-/1 = /); |
а = [ в |,. . . ,ап] Т, Ь = [6Х, . . . ,6 ,] т |
- заданные |
векторы; |
||
р - |
параметр; 0О,0лг - координаты начала и конца интервала, на котором |
|||||
разыскивается решение краевой задачи (3.3.1) - (3.3.3). |
|
|
||||
|
Прежде чем переходить к |
алгоритму ортогональной прогонки, обратим |
||||
вйимание на лежащее в его основе свойство общего решения уравнения
(3.3.1), удовлетворяющего условию |
(3.3.2) при 0 = 0ОЭто решение пред |
|||||||||
ставим в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 ф) = Сх |
+ |
|
+ . . . + С,2 ^ |
+ р г(,+1) + г (/+2\ |
(3.3.4) |
|||||
1 -т - п . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь |
2 № = [ г ^ |
, . . . , |
] т, |
/ = 1 , . . . , / |
линейно |
независимые |
||||
вектор-функции, являющиеся решениями однородной эадачи |
|
|||||||||
ЛДО1 = 1 (0 2 , |
А г 05о) = О |
С^03о)^О ); |
|
(3.3.5) |
||||||
г (/+1) |
= [г,(/+1^ , . . . , 2да+1) ] т - |
вектор-функция, представляющая собой |
||||||||
частное решение задачи |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
А гф о) =0; |
|
(3.3.6) |
|||
г (/+2> |
= [ г /,+2^ .........2« ,+2^ ] т |
- |
вектор-функция, являющаяся частным |
|||||||
решением задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
г + Ф(0), |
Л203о) = а; |
|
|
(3-3.7) |
|||
С у,. . . ,Сг |
—произвольные постоянные,р —параметр. |
|
||||||||
Введем |
вектор |
С= [Сп . . . , |
С{,р, 1]т и матрицу 1/ф), |
составленную |
||||||
из векторов-функций 2 ^ |
, / = 1 ........./ |
+2, |
|
|
||||||
а д |
- щ т |
= [*(1)<й), • • • .* (,+2)<0)]. |
|
|
||||||
17,/СД) = г<у,0?), |
1= 1 , . . . , т , |
|
/ = 1 ........./ + 2. |
|
||||||
Матрицу 1/ф) |
будем назьшать матрицей общего решения. Тогда решение |
|||||||||
(3.3.4) |
задачи (3.3.1), (3.3.2) представится в матричной форме |
|||||||||
гф ) = 1/С. |
|
|
|
|
|
|
|
(33.9) |
||
Введем невырожденную квадратную матрицу |
О порядка I + 2 со следую |
|||||||||
щей структурой: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
~ Я н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 * |
Яп |
|
Ям |
Яю+1) |
|
ЯЩ+2) |
|
|
||
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
_ 0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
Нетрудно видеть, что матрица II*, связанная с (/зависимостью |
|
(/• = (/0, |
(3.3.11) |
имеет ту же структуру, что и матрица II, так как ее первые I столбцов яв |
|
ляются линейно-независимыми решениями однородной задачи |
(3.3 5), а |
последние два столбца представляют собой частные решения задач (3-3.6) и
(3.3.7). Поэтому вектор-функция |
|
2*(0) = (/*С*, |
(3.3.12) |
где С* = [С*, . . . , С*,р, 1]т, также является |
общим решением задачи |
(3.3.1), (3.3.2) при произвольных значениях С\ , . . . , С*, т.е. II* также яв |
|
ляется матрицей общего решения. Если 1(0) |
и х*(0) тождественны, т.е. |
это одно и то же решение, то векторы С и С* связаны ввиду (3.3.11) соот ношением
(2С = С* |
(3.3.13) |
Рассмотрим теперь алгоритм ортогональной прогонки. Для этого ра зобьем интервал интегрирования 0О<0 <0м на N участков. Координаты гра ниц участков обозначим через 0 о,0 1 > <0м< а сами участки пронумеруем слева направо от 1 до № На первом участке 0О<0 <01 общее решение зада
чи (3.3.1), (3.3.2) построим в виде |
(3.3.4) |
Сначала получим решение |
г гп »/’ - 1 >• • >Л однородной задачи |
(3.3.5) |
(здесь и ниже нижний индекс |
в скобках ” (0 ” будет означать принадлежность к 1-му участку). Для этого возьмем / ортонормированных решений {■^ ,/ = 1 , . . . , уравнения
= 0 и, принимая их в качестве начальных, построим каким-либо числен
ным методом |
(Рунге - |
Кутта, Адамса - Штермера и тл.) |
решение начапь- |
||
получим как решения начальных задач |
|
||||
|
|
* { ? > < * > -? $ • |
(3.3.14) |
||
/ = 1, - -, |
Ро<0< 01. |
|
|
||
Решениег*'*1* (©задачи |
(3.3.6) |
получим тем же методом, как решение |
|||
следующей начальной задачи: |
|
|
|||
**< % ?№ • |
|
+*(Р). 2((^ 1)С0о)=Т ((; ; 1) =0. |
(3.3.15) |
||
И, наконец, решение г |
у |
(0У задачи (3.3.7) получим, |
проинтегрировав |
||
следующую начальную задачу: |
|
|
|||
* « « > /^ = х . ( Д ) г ( '« > + |( д . |
2 (;;5>®о) = Г й !) |
(3.3.16) |
|||
ЗдесьГ('(о ) —вектор, являющийся частным решением системы А$ =а н
ортогональный (но не нормированный) к векторам |
1 |
На вопросе о том, как практически построить векторы |
./ = 1, •./ + 2, |
мы здесь не задерживаемся, чтобы не загромождать изложение деталями, а подробно рассмотрим его позже.
Теперь общее решение задачи (3.3.1), (3.3.2) на первом участке можно представить в виде, аналогичном (3.3.9) :
* т = Щ 1 т С и ) . |
(3.3.17) |
Здесь |7(1) (Р)-матрица-функция (3.3.8)иС (1) = [С (,} , , . . . , С(1 );,р,1]т- вектор произвольных постоянных на первом участке.
Напевом конце первого участка (при 0 = 0О) матрица-функция 1 / ^ (0) принимает значение
^(Ро)=?(!), ?(1)=[Где >... ,?((;;2)]. сз-злв)
З д е с ь —матрица, столбцами которой являются ортогональные векто-
рыП?)’,= 1....... / +2'
На правом конце первого |
участка значения матрицы |
11(1) (01) обозна |
||
чим тыс: |
|
|
|
|
Р(1>№) = ? |
( ! ) |
- ! . |
?{(! |
(3.3.19) |
/ =1 , . . . , 1 |
+ 2. |
|
|
|
Если столбцы матрицы Щ1)(0о) - Г(1) образовьшалиортогональную систему векторов, то по мере увеличения 0 столбцы матрицы (0) все больше отклоняются от ортогональной системы. Отклонения нарастают особенно
быстро, если уравнение (3.3.1) имеет быстроэатухающие |
и быстровоз- |
растающие решения. Это приводит к тому, что векторы 2 ^ |
(0), / = 1, .. . |
. .. ,1 +2, при больших 0 могут стать почти линейно зависимыми. Идея дискретной ортогональной прогонки и состоит в том, чтобы, пока эти отклонения не слишком велики, прервать процесс интегрирования и пе рейти на следующем участке к другому общему решению. Это решение должно быть таким, чтобы составляющие его векторы однородных и частных решений были ортогональны при 0 = 01. Для этого проортогонали-
зируем с помощью процесса |
Грама - |
Шмидта столбцы-матрицы(3.3.19), |
|||
причем первые / столбцов, представляющих в |
решения однородной |
||||
задачи |
(3.3.5), кроме того, пронормируем, а векторы |
^ ( [ ^ и |
|||
только |
прооргогонализируем |
к |
/ = 1 ........./, |
без |
нормировки. По |
лученную систему векторов обозначим через..................................... +2, и
образуем из них матрицу |
$ (2у точно так же, как матрица ? |
(3.3.18) |
образована из векторов |
/ = 1 , . . . , / + 2 . Результат этой |
операции |
можно представить в виде |
|
|
Ф (I) = $ (г) Пц у |
|
(3.3.20) |
Здесь в отличие от § 1.1 производится орюгоналиэация столбцов мат
рицы ^ ( 1>- Поэтому матрица $2^) является верхней треугольной мат рицей, и с учетом особенностей процесса, связанных с ортогонализацией
■ « д а |
«й> |
«я> |
|
0 |
«й> |
«в> |
о,(») |
|
2 1 +г |
||
0 |
0 |
|
|
о |
0 |
0 |
1 |
о |
0 |
0 |
0 |
Векторы (2)»/ = 1»• |
•»/. выражаются через векторы |
следующим образом: |
|
« Г |
|
(О : |
Г ( с ^ ) 2] 2 |
// |
|
(3.3.21)
»У = 1, •
(3.3.22)
(3-3.23)
Векторы Г(2) 1) И ^ (2 ) 2^ не нормируются и вычисляются по формуле
?'<?> * |
- Д |
«*,% (> , * = / + 1, / + 2. |
(3.3.24) |
||
Полученную ортогональную систему векторов {■^ |
, / = 1 , . . . , / + 2, возь |
||||
мем в качестве начальной для |
построения решений |
, / = 1 , . . . , / + |
2, |
||
составляющих общее |
решение |
уравнения (3.3.1) на втором участке; |
т.е. |
||
так же, как на первом участке, построим решения следующих началь ных задач:
- З Г " * Южй ' г№ ' )Ч<8г |
(3-3-25) |
+О Д ), г & ° ( М ‘ С1? /> ; |
(3.3-26) |
4 2<’*п |
|
- г г - - « » С **Л . |
(3.3.27) |
|
Из этих решений общее решение образуется в виде
* (а)(Ю -0 (2>(0)С(2), |
(3.3.28) |
|
|
,р, п т |
(3.3.29) |
В сипу (3.2.25) - (3.2.27) |
|
=Г (2) = [? > > ,... ,? % 2) ] • |
(3.3.30) |
Из соотношений (3.3.18), (3.3.20), (3.3.28), (3.3.30) следует,что |
|
^(1)(Д) = ^(2)(0)П(1). |
(3.3.31) |
Тогда по рассмотренному выше свойству ц 2) (Р) (3.2.28) является об |
|
щим решением уравнения (3.3.1), удовлетворяющим условию (3.3.2).
Поскольку 31(0) |
(3.3.17) |
является общим решением той же задачи, то |
|||||||
векторы произвольных постоянных С(,) |
и С(2) |
связаны соотношением |
|||||||
С(2) = Ц 1}С(1). |
|
|
|
|
|
|
(3.3.32) |
||
Поступая точно так же на участках 3,4, . |
. , УУ, строим на этих участках |
||||||||
общие |
решения г п )(0 ) |
уравнения (3.3.1), удовлетворяющие условию |
|||||||
(3.3.2), в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||
*а№ = Щ ц(Р)С(П, |
|
. . . м |
|
(3.3.33) |
|||||
.Так как все г (,-) (0), / = 1, |
, |
являются общим решением одной и |
|||||||
той же задачи, то векторы С(,) и |
) связаны соотношениями |
||||||||
С(1 +1 ) ~ “ (I)ЧО |
|
|
|
N - |
1, |
|
(3.3.34) |
||
где П |
- |
ортогонализирующая матрица вида (3.3.21) и такая, что |
|||||||
|
= п (о {■(1+1). |
Ф(о ~ " о т |
|
|
(3.3.35) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^(.•+1)= |
а+1)(Рд, |
|
|
|
1. |
|
|
||
Вектор постоянных С(дг) |
находится из условий (3.3.3) на правом конце |
||||||||
при 0 = 0дг, которые принимают форму Вг |
= Ь. С учетом (3.3.33) |
||||||||
и (3.3.35) эти условия сводятся к уравнению. |
|
||||||||
в1т Ст - ь, |
Ф(ю= ц(ю(Рм)- |
|
(з.з.зб) |
||||||
Т а к к а к в векторе С <^) |
- |
1 ^ |
.........С |
^ . р , 1 ]’ |
н еизвестны м и « м я т - |
||||
ся только первые |
(/ |
+ 1) |
компонент, то уравнение (3.3.35) можно пред |
||||||
ставить в форме |
|
|
|
|
|
|
|
||
7С (ло=</, |
|
|
|
|
|
|
(3.3.37) |
||
У -5 /? , |
ё - Ь - |
I |
Х(1+2) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
V (Ю |
|
|
|
(3.3.38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о = |
|
......... ь |
|
|
|
|
|
......... с<»> .К Г - |
|
Матрица В имеет размер I Х т , матрица О - т Х (/ + 1). поэтому матрица
7-В И имеет размер/ X (/ + 1).
Уравнение (3.3.37) играет ту же роль, что и уравнение (3.2.15) при
решении задачи вида (3.3.1) - (3.3.3) методом начальных параметров. Поэтому его решение разыскивается в виде
Сф) ~ «с(лг) + С(лт). |
|
(3.3.39) |
где С(лг) - общее решение однородного уравнения |
7с |
= 0, которое |
методом ортогонализации можно найти в виде С(дг) |
= ог1(/ , я) (§ 1.1); |
|
С(Л0 - частное решение уравнения 1 С (дг) = <1 , которое можно построить |
||
способом, данным в § 1.2; а — коэффициент, определяемый из дополни |
||
тельного условия, зависящего от того, какой именно итерационный про
цесс из рассмотренных в |
§ 1.2 и § 3.2 реализуется. |
|
|
При непрерывном продолжении решения уравнение |
(3.3.2) однородно, |
||
так как й = 0. В этом случае в = 1 и С (Л[) = 0, а С(ууу |
= о г1 (/, 4). В ка |
||
честве ц принимается и вектор с (Лг) на предыдущем шаге или предыду |
|||
щей итерации. |
|
|
|
Для определения С |
можно также использовать и методы $ 1.4. |
||
После того, как тем |
или иным способом найден вектор С |
, совер |
|
шается обратный ход прогоики, на котором определяются |
векторы С(|) |
||||
как решения задач (3.3.32) |
|
|
|
|
|
П(/)С(/) = С(/+1), |
N |
- 2 . |
|
(3.3.40) |
|
и решение краевой |
задачи |
(3.3.1) |
(3.3.2) |
строится на участках по по |
|
лученным С(,) и |
построенным на прямом |
ходе 1/(1 ) в |
соответствии с |
||
(3.3.33): |
|
|
|
|
|
г(,)(Р) = 0(п0)С (о, й _ , |
|
|
|
(3.3.41) |
|
Сцелью экономии памяти ЭВМ можно использовать прием, предложенный
вкниге [123].
Обратимся теперь к вопросу о том, как построить нужные нам для на-
.чала прямого хода векторы |
, / = 1, |
, 1 |
+ 2 . Рассмотрим его при |
||||
условии, что главный |
(левый) минор матрицы А отличен от нуля. В дру |
||||||
гих случаях видоизменения решения очевидны. |
|
_ |
|
||||
Сначала построим / |
линейно независимых решений |
= 1, |
|
||||
однородного уравненияА% = 0. Это уравнение представим в форме |
|
||||||
«11 $1 + . . . + « 1П *п = « т + 1 + *и+1 + • ■• + «1 т$т> |
|
|
|||||
« ,.1*1 |
+ . . . + « „ „ * „ |
= « „ ,, + 1 * п + 1 + • - |
+ « я т * т - |
|
|
(3 .3 .4 2 ) |
|
Теперь задав / линейно независимых комбинаций, входящих в |
правые |
||||||
части этих уравнений |
= л + 1,. . . , ш, например, в виде (1,0, |
, 0), |
|||||
(0,1, . |
. , 0), |
(0, 0 , . . . . |
1), и решив систему |
(3.3.15). полуадм / |
|||
линейно независимых векторов |
/ |
= 1 , |
./• Проортпгонапизнро- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
•7 |
вав эти векторы с помощью процесса Грама —Шмидта, построим / орто-
нормированных решений |
, I = 1 , . . . , /, уравнения/!^ = О |
|
|
|||||
Й |
Ч |
= |
[? < ;> ,..., |
|
1 п (0). |
|
(3.3.43) |
|
Вектор |
|
= 0 ,как это принято в (3.3.15). |
|
|
||||
Для получения вектора ^ ,/)+2^ |
построим сначала произвольное частное |
|||||||
решение |
? |
+2) уравнения АХ |
- |
а . С этой целью достаточно |
положить |
|||
равными нулю последние / |
его составляющих ?„+1+2 ■ = |
= ^ ^ +2^ = о, |
||||||
а первые п составляющих найти как решение уравнений |
|
|
||||||
Д11^ |
+ . . . +в1П^ |
а1, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.3.44) |
ап 1 $ |
+2) + ...+ а пп$ + 2) = |
|
|
|
|
|||
Проортогонализировав |
(но |
без нормирования) полученный вектор |
||||||
|
|
|
|
|
|
0]’ к векторам?»», (= 1 , |
||
построим требуемый вектор $ ;^+2) в виде |
|
|
||||||
|
= ? |
' +2> - |
^ ^ с § « . ц (/+я))??!,- |
|
(3.3.45) |
|||
3.4. Алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения по параметру решения нелинейных одномерных краевых задач
Суммируя результаты этой главы, приведем для нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1.2) алгоритмы непрерывного и дискретного продол жения решения по параметру. Из алгоритмов непрерывного продолжения рассмотрим метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера. Алгоритмы методов Рунге — Кутта и других методов, реализующих явные схемы интегрирования задачи Коши по параметру, читатель легко сможет по строить самостоятельно по аналогии.
В качестве примера алгоритма дискретного продолжения рассмотрим только тот, который связан с дополнительным условием вида (1.2.26). Видоизменения, необходимые для использования других условий из § 1.2, очевидны.
1. Метод Эйлера. Рассмотрим алгоритм метода Эйлера для интегри рования нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1.2) по параметру X при начальном условии (3.1.3).
Будем считать, что движение по параметру продолжения осуществляет ся с шагом ДХ.т.е.
^*+1 = + А*-.
Верхний или нижний индексы ” |
данная ф>нкция |
или величина взяты при X = ХА. |
|
На каждом шаге по параметру X необходимо решить линеаризованную |
|
краевую задачу непрерывного продолжения (3.1.7), |
(3.1.8) Ее будем |
решать с использованием ортогональной прогонки. Для этого интервал 0о < 0 < /Здг, на котором строиться решение нелинейной краевой задачи, будем, как и в § 3.3, считать разбитым на N участков. Индекс ” ( 0 ” бу дет указывать, что величина или функция с этим индексом относятся к /•му участку 0/_! <0 <0/.
1. Прежде чем начинать процесс интегрирования задачи Коши по пара метру X, необходимо задать начальное состояние, определенное условиями (3.1.3)
к - 0, |
Хо = 0, 2(0) - |
|
|
|
(3.4.1) |
|
0(0) М °. •• |
.0 ,1 ]. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
Вектор-строка ? (0) необходим для |
дополнс1шя С1шзу матрицы |
|||||
при построении решения методом оргогонализации при к = 1. |
|
|||||
2. Для |
ортогональной |
прогонки необходимо построить / ортогональ |
||||
ных однородных решений |
^ |
,/ = 1, |
. / , задачи |
|
||
0. |
|
|
|
|
|
(3.4.2) |
Как указьшалось в §3.3, |
для этого |
нужно построить сначала / |
линейно |
|||
независимых решений $ ( /) , / |
= 1, |
, /, системы (3.3.42), а потом проор- |
||||
тогонализировать их с помощью процесса Грама - Шмидта (3.3.43). |
||||||
3. Прямой |
ход прогонки |
- построение по участкам 0,-_1 < 0 |
<0/ об |
|||
щих решений задачи |
|
|
|
|
||
~Гд' * |
= |
2 (к) +М(2 (1с),Р(к))> |
|
|||
а р |
|
|
|
|
|
(3.4.3) |
|
|
|
|
|
|
|
■4г(*)(0о) = 0,
и матриц ортогонализации & (/), связывающих общие решения соседних
участков.
Линеаризованная краевая задача непрерывного продолжения (3.1.7),
(3.1.8) |
проще задачи (3.3.1)_— (3.3.3) тем, что граничные условия в ней |
||||
однородные (а = 0 |
= 0) и Ф = 0. Поэтому общее решение задачи (3.4.3) |
||||
будет состоять из / |
линейно независимых решений |
г О* , / =1, |
|
||
однородной задачи |
(3.3.5) и частного решения |
г |
неоднородной |
||
задачи |
(3.3.6). Поэтому матрицы общих решений 1 / ^ |
(0), / = 1, |
, /V, |
||
по участкам будут состоять только из / + 1 столбцов |
|
|
|
||
^(о)(0)= |
......................<3 4 4 ) |
|
|
||
Они строятся последовательно, как решения начальных задач вида (33.14)
(3.3.15), и связаны между собой соотношениями |
|
||
С ш |
- Р ® о ® )!* !? . - - 1 |
.........ЛГ-1. |
(3.4.5) |
Матрицы |
из-за того, что г |
= 0, отличаются от матриц ортогонали- |
|
зацин (3.3.21) отсутствием последней строки и последнего столбца. В ре зультате прямого хода имеем матрицы общих решений по участкам
/ = 1 , . . . , ^ , |
(3.4.6) |
матрицы ортогоналиэации
Й $ > , |= 1 , . . . , N - 1 , |
(3.4.7) |
а матрицу X)***
В (к> = Ч%\(ЦН). |
(3.4.8) |
4.Из условия Вг = 0 находится вектор произвольных постоянных
•• • • С(Я)/» Р(Л) ]т> определяющий решение линеаризо
ванной краевой задачи непрерывного продолжения. ДЛя этого с исполь зованием матрицыX)*** строится система уравнений
1 т |
^ п шВ1 ><к)4 т ‘ 0' |
|
|
<3-« > |
которая решается методом ортогоналиэации |
|
|||
С(Л/) ~ ог*(Л*)’ 9(К))> Р(к) = С(ЛГ)/+1 • |
|
(3.4.10) |
||
5. Обратный ход прогонки сводится к |
построению решения линеаризо |
|||
ванной краевой задачи по участкам в виде |
|
|
||
^ |
) т = ^ ( 0 с(0 )>Л-1 |
|
! .• • • . |
(3-4.П) |
Здесь |
находится как решение системы уравнений |
|
||
4 ) >Й(/)>= с (?+1), |
2 , . . . . |
1- |
(3.4.12) |
|
6. Теперь можно осуществить шаг метода Эйлера |
|
|||
\к + 1 ) = \ к ) + Д^> |
|
|
|
|
^(к+1) = г(.к) + ДХ' *(*). |
|
|
(3.4.13) |
|
Р(*+1) =Р(.к) + Д^Р(Л). |
|
|
|
|
7. |
Полученные значения -2(*+!) |
и Р(*+х) используются для |
следую |
|
щего |
шага. Для этого при к + 1 нужно повторить вычисления, начиная с |
|||
п. 3, положив в них к + 1 вместо к и приняв 0 (*+1) = |
. |
|
Для метода Эйлера, как известно, характерно накопление ошибки, |
||
которая на каждом шаге имеет порядок О (ДА2) . |
|
|
2. |
Модифицированный метод Эйлера. Модифицированный метод Эй |
|
лера дает погрешность на каждом шаге по X порядка О(ДА3) . Мы остано вимся на том варианте этого метода, который уже использовался в § 1.1 (1.1.34). Поскольку в этом методе все вычисления на первом полушаге полностью повторяют метод Эйлера, то мы дадим их в виде сокращенной блок-схемы.