книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

кривой К (если она существует), т.е.

Если Ф О, то касательную к кривой К можно задать выражением

Касательная (В.2.28) существует, если уравнение (В.2.29) имеет действи­ тельные корни. А число корней определяется дискриминантом

Если 0 < 0, то уравнение (В.2.29) имеет два различных действительных

корня Хх, х2, которые в соответствии с (В.2.28) дают два различных зна­

Таким образом, через точку 2Г(0) проходят две кривые, которые в неко­ торой окрестности Х (0) удовлетворяют уравнению. (В.2.19) (рис. В.9). Продолжение решения из точки Х ( 0) можно осуществлять вдоль любой из них, задавшись соответствующим значением 4Хг1ЛХх.

При I) > 0 уравнение (В.2.29) не имеет вещественных корней. Это оз­ начает, что касательная к кривой в такой точке не существует, а сама точ-

22

Г Л А В А 1

ОБОБЩЕННЫЕ ФОРМЫ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ

В этой главе рассмотрены формы метода продолжения решения, осно­ ванные на требовании о равноправии неизвестных , Х2, , Хт и входя­ щего в уравнения параметра задачи Р Такое предложение высказывалось

ранее в работах [245, 493-495]. Но его практическая реализация была свя­ зана с решением линеаризованных уравнений методами типа исключения. А это, как будет показано ниже, равносильно фактическому отказу от рав­ ноправия неизвестных и параметра и отданию предпочтения какому-либо из неизвестных или некоторой их комбинации. Действительная реализация равноправия неизвестных и параметра может быть обеспечена только на основе таких методов решения линеаризованных систем, которые не от­ дают преимущества ни неизвестным, ни параметру. Одним из таких мето­ дов является метод ортогонализации. Оказывается, его испольэовашю позволяет не определять параметр продолжения решения и равносильно такому процессу продолжения решения, когда в качестве параметра про­ должения выбрана длина дуги множества решений К в Кот+1. Более того, процесс продолжения обеспечивает максимальную обусловленность реше­ ния линеаризованных систем и становится единым в регулярных и предель­ ных точках множества решений. С этой точки зрения введение понятия предельной точки становится лишним.

Обобщенные формы построены как для непрерывного, так и для диск­ ретного продолжения. Последний случай ограничен итерационными про­ цессами типа Ньютона —Рафсона. Рассмотрены примеры применения раз­ личных форм метода продолжения.

1.1.Обобщенные формы непрерывного продолжения решения

Как и ранее, рассмотрим систему из т нелинейных уравнений с т неиз­ вестными Х х, Х2>. . . , Хт и параметром Р, который будем называть пара­ метром задачи:

Будем считать параметр задачи Р равноправным со всеми неизвестными

24

Как и ранее, будем считать, что некоторое решение Л"(0) системы (1.1.3) известно, т.ё.

Без ограничения общности можно принять, что этому известному реше­ нию соответствует начальное значение параметра Л = О

Тогда уравнение (1.1.8) с начальным условием (1.1.10) можно понимать как неявно сформулированную задачу Коши по параметру X. Для интег­ рирования^ задачи Коши необходимо из системы уравнений (1.1.8) найти вектор /ЙГ//Х = [АХх/</Х,. . . , <1Хт+11(1\]т. Иными словами, необходи­ мо решить систему (1.1.8). Как отмечалось выше, она является системой из т линейных однородных алгебраических уравнений относительно т + 1 компонент вектора йХ1<1\. Возможны различные способы решения таких систем. Наиболее распространенный из них состоит в том, что некоторые

тора АХ/йХ исключением к-й компоненты 4Хк1<1\; 5к = [дР1/<1Хк, . . .

Сведение системы (1.1.8) к виду (1.1.11) является необходимым пред­ варительным преобразованием для решения ее традиционными (привыч­ ными) методами, как-то: метод исключения Гаусса, итерационные мето­ ды и_тл. Такое преобразование имеет, конечно, смысл при условии, что <1е1 (/*) Ф 0. Если гапб(/) = т, то всегда можно найти матрицу /* , удов­ летворяющую этому условию.

Обратим внимание на то, что если отождествить параметр X с компонен­ той Х*:

форму (В.2.11). Это свидетельствует о том, что переход от вида (1.1.8) к (1.1.11) фактически равносилен принятию в качестве параметра про­ должения компоненты Хк и, по существу, отрицает предложение о рав­

традиционными методами, то становится очевидной несовместимость этих методов с предложением о равноправии переменных. Этим и объяс­ няется тот факт, что попытки совместить несовместимые подходы, т.е. стремление реализовать равноправие переменных на основе представле-

26

будет единичным вектором, совпадающим по направлению с А Х. При

стремлении АХ к нулю (В ->■А) вектор А Х {А \, оставаясь единичным,

стремится стать касательным к кривой К.В то же время по своему смыслу

он стремится к вектору ВХ/с1\. Поэтому йХ!<1\ и является единичным вектором, касательным к К.

Приращение ДХ является длиной хорды дуги АВ и при В -*■А стре­ мится к дифференциалу </Х длины дуги кривой К. А потому параметр

X является длиной дуги К.

Процесс продолжения решения на основе интегрирования задачи Коши (1.1.24), (1.1.25), вообще говоря, не требует определения параметра продолжения X. Здесь мы только выяснили его смысл. Как видно, этот смысл параметру продолжения X придало требование равноправия перемен­ ных в процессе продолжения решения.

Теперь становится очевидным, почему рассмотренная во Введении (В.2) попытка выбрать в качестве параметра продолжения длину кри­ вой К фактически свелась к выбору одной из неизвестных параметром продолжения. Причина этого кроется в решении системы (В.2.15), с точ­ ностью до обозначений совпадающей с системой (1.1.18), методом исклю­ чения, который в применении к задачам продолжения решения требует отдать предпочтение какой-либо из переменных, в то время, как требо­ вание, чтобы в процессе продолжения решения все переменные и пара­ метр задачи в том числе были равноправны, приводит естественным об­ разом к тому, что фактическим параметром продолжения оказывается параметр длины кривой К.

Обсудим теперь вопрос о погрешности, связанной с переходом от неявной формулировки уравнений продолжения (1.1.8) к явной (1.1.24).

Осуществляющая этот переход операция оП (У, 0 ) равносильна решению системы (1.1.8) методом ортогонализации [35, 63]. Этот метод по числу требуемых для своей реализации операций незначительно уступает методу исключения Гаусса.

Как уже отмечалось, использование метода Гаусса требует преобразо­ вание системы (1.1.8) к виду (1.1.11). Тогда погрешность решения систе­ мы (1.1.11) методом исключения определяется обусловленностью мат­

рицы / *, которая при неудачном выборе параметра продолжения Х к может оказаться слабо обусловленной, даже в регулярных точках кривой К. Это обстоятельство лишний раз подчеркивает, что попытка построить на

рительного параметра продолжения. Подробнее этот вопрос мы рассмотрим в § 1.4 в связи с вопросом об оптимальном параметре продолжения.

Обусловленность же метода ортогонализации зависит от двух при­ чин. Во-первых, она определяется обусловленностью расширенной матри-

30