книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

Частоты этих тонов для мембран с различным отношением сторон а/Ъ даны в зависимости от Хна рис. 5.2.-5.10..Причем на этих рисунках показа­ ны частоты $2 при Ъ = 1. Для произвольных Ь частота П(Ь) может быть подсчитана как

с отношением сторон а/Ь = 1 для ряда (5.2.11) при /тах х /тах = 7 x 7 . Этот рисунок показывает, что замедление роста частоты П 12 в окрестности X = 1Д (рис. 5.5) связано с перестройкой характера узловой линии, кото­ рая из единой при X < 1,2 превращается в состоящую из трех несвязан­ ных учасгков при X > 1,2.Результаты, данные на рис. 5.2—5.10, сравнивались с известными результатами для параллелограммных и ромбовидных плас­ тин, полученными в работах [395, 396, 510] и приведенными в обзоре Лейсса [450]. Отличие не превышало 3%. Так, для ромба с углом острой вершины 75, 60, 45 и 30° (что соответствует а = 15, 30, 45 и 60°) по ре­ зультатам работы [396] частотный параметр низшего тона 12! х при Ь = 1 принимает значения 20,8; 24,6; 35,6; '54,1. По нашим расчетам соответ­ ственно имеем 20,9; 24,7; 35,9; 54,7.

5 .3 . С обственные к олеб ан и я трапециевидной в п лане м ем бран ы

Рассмотрим мембрану, имеющую в плане форму равнобедренной трапе­ ции (рис.5.12,а).Уравнения непараллельных сторон этой трапеции имеют вид

Определяемое углом а множество М трапециевидных областей О с границей Г на плоскости х, у отображается на прямоугольную область О0 *с грани-

цей Г0 на плоскости (■, ц (рис. 5.12,6) посредством следующего преоб­ разования:

Интегралы А , /3, / 3 в квадратурах не вычисляются, но если на интервале интегрирования [О, а] функция (6 - Х|) 0, то эти интегралы легко могут быть получены численным интегрированием. Заметим, что обращение функ­ ции (& - Х$) в нуль при $ = а, как нетрудно видеть из рис. 5.12, соответ­ ствует вырождению трапециевидной пластины в треугольную.

Все остальные вычисления для трапе­ циевидной мембраны можно проводить по тому же алгоритму, что и дЛ'я параллелограммной.

Такие расчеты были проведены для различных отношений а/Ь. Их результа­ ты показаны на рис. 5.13, где. даны без­

размерные частоты $7 главного тона ко­ лебаний. При расчетах в ряде (5.3.8) удерживалось 15 членов (ттах = 5,/тах = = 3). При отношении размеров пластины а/Ь = 1 и при X = 1 мембрана принимает форму равнобедренного прямоугольного треугольника и частота ес главного тона совпадает с частотой второго тона квад­ ратной мембраны. Точное значение этой частоты известно, и для принятой систе­ мы координат оно равно 24,67 [450]. На рис. 5.13 оно соответствует точке .4. Как видно из графика рис. 5.13, кривая

П(Х) при а/Ь = 1 стремится к близкому значению. Использовать данный алгоритм для получения частот треугольной мем­ браны нс представляется возможным, так как при X, соответствующему прев­ ращению трапециевидной мембраны в треугольную, знаменатели подынтег­ ральных выражений (5.3.11) обращаются

в нуль. Сравнение результатов для остальных отношений а/Ь (рис. 5.13) с результатами других авторов, приведенными в обзоре [450] и полученными различными методами, показывает хорошее совпадение.

5.4.Задачи на собственные значения для однородных

итрехслойных пластин н сферических панелей параллелограммной

итрапециевидной формы в плане. Мембранная аналогия

Полученные в § 5.3, 5.4результаты могут быть использованы для подсче­ та собственных значений в задачах собственных колебаний и устойчивости параллелограммных и трапециевидных в плане однородных н трехслойных пластин и пологих сферических панелей, свободно опертых по контуру. Такую возможность дает мембранная аналогия, которая позволяет свести вышеназванные задачи к задаче о колебаниях мембраны и даег простые формулы пересчета.

Мембранная аналогия в задачах о собственных колебаниях полигональных в плане пластин была, по-видимому, впервые использована в работах [395. 396]. Для трехслойных пласгин и пологих сферических панелей она была обоснована и использована в статьях [82, 112]. Многочисленны^ результа­ ты с помощью мембранной аналогии получены в работах [43. 335. 194, 45].

В качестве примера рассмотрим применение мембранной аналогии к за­ даче устойчивости свободно опертой по контуру Г косоугольной трехслой­ ной пластины, снабженной на контуре абсолютно жесткой диафрагмой и нагруженной по контуру равномерными нормальными сжимающими усилиями N. Краевая задача в этом случае описывается уравнениями, которые в форме и обозначениях статьи [112] имеют вид

Здесь 5 = Аа2/Д ф г = (Л/д)2/0, ф = д ф х ; V2 - оператор Лапласа; х - разре­ шающая функция смещений; 0 —параметр жесткости заполнителя на сдвиг; & —параметр моментности несущих слоев; й —цилиндрическая жесткость пластины; Н, а —толщина и характерный линейный размер пластины.

Положим

V2x = 2X.

Тогда операторная часть уравнения (5.4.1) сводится к кубическому урав­ нению

критический параметр нагрузки 8 с параметром частоты П собственных колебаний мембраны:

Для собственных колебаний трехслойных свободно опертых пластин мем­ бранная аналогия дает следующую формулу для частот собственных

Для частот собственных колебаний со свободно опертых пологих трехслой­ ных сферических панелей радиуса К на основании мембранной аналогии имеем (использованы обозначения работы [112])

Для однослойных пластин собственные частоты получаются по формуле

Для однослойных пологих сферических панелей имеем следующую форму­ лу для частоты собственных колебаний

размер в плане; р —плотность материала.

5.5. Решение методом возмущений для параллелограммной в плане мембраны.

В.процессе работы над изложенными в § 5.1-5.3 методикой и результа­ тами метода продолжения по параметру нам удалось построить для парал­ лелограммной в плане мембраны решение методом, который по своему смыслу является методом возмущения границы области и по форме близок к предложенному в работах [127, 465, 260]. В этом решении получено общее выражение коэффициентов разложения решения в степенной ряд Тейлора по параметру, характерный для метода возмущений. Поэтому этот ряд можно понимать как точное решение. Однако попытка реализовать его на ЭВМ оказалась неудачной. Причины этого будут обсуждены ниже.

Рассмотрим задачу о колебаниях параллелограммной мембраны (рис. 5.1,а). С учетом уравнений для верхней и нижней наклонных граней параллелограмма эту задачу для собственной функции И'Дх, у\ X) и соб­ ственного числа 12,(X) запишем в виде

решения, которое соответствует значению параметра X = О

Для л-й производной Й'/п) по параметру Л из уравнения (5.5..1) получаем

=ДС"*/з17‘,Г'Ч-°

9 ^>(х,0)+ х — Й/;(х,0).

9У

Проводя такое дифференцирование по X последовательно, приходим к вы­ ражению (5.5.7).

В результате для коэффициентов рядов (5.5.2) получаем следующую рекуррентную последовательность краевых задач для прямоугольной области 0 < х < д, 0 < у < Ъ:

Проортогонализировав это выражение к Рг и учитывая ортонормированнйсть этих функций, приходим к уравнению для определения коэффициен­ тов разложения (5.5.14)

мированное™ функции И/<я>. Как отмечает К. Фридрихе [410], это условие может быть принято различным. Простейшая форма условия нормирован­ ное™ [410] имеет вид

(5.5.19)

После подстановки сюда разложения для И/, (5.5.2) получаем равенство / И'/0) /о>«ц> + х / и/ (°) и//1 +

од

В левой части этого равенства /&/(°)ц/(°)4д = 1# Поэтому все остальные

коэффициенты ряда по X в левой части должны быть равными нулю

Отсюда с учетом представления (5.5.11) и обозначений (5.5.10) получаем

Кроме условия нормировки в виде (5.5.19), нами также использовалось 170