книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

координатных направлений в Кт+1, Ьр - р-мерное подпространство, на­ тянутое на р первых координатных векторов. Вектор X € Вт41 удобно представить в форме

где % — вектор, составленный из первых р компонент вектора X. а п - из 9 последних.

Уравнения продолжения (1.1.8) представим в виде

(1.5-3)

Здесь А - квадратная матрица порядка р\ В - матрица из р строк и я

Теперь исключим д \ /с/X из второй группы уравнений Се1 \Ц(1 \ + 1к1г}1<1\ =0. В результате получим неявную форму уравнений продолжения для вектора

(!ц1 (Л.

(1.5.5) методом ортогоналиэации можно получить явную форму уравне­ ний продолжения

Здесь в отличие от (1.1.24) вектор О является ^-мерным.

Заметим, что, конечно, нет необходимости в обращении матрицы А и построении матрицы А ~1\ Достаточно я раз решить систему уравнений 4** =0*. * = 1. • • ■»<7. для каждого из я столбцов матрицы В в качестве правой части 0* этой системы. Тогда (1.5.4) представится в виде

Г Л А В А 2

ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТЯХ ОСОБЫХ ТОЧЕК

Развитые в гл. 1 методы продолжения решения, реализующие равно­ правие неизвестных и параметра, имеют единый алгоритм продолжения решения в регулярных и предельных точках множества решений нели­ нейных систем уравнений. Поэтому с точки зрения этих форм алгоритма продолжения нет необходимости во введении понятия предельной точки. Продолжая начатое во Введении обсуждение, здесь мы основное внима­ ние уделим анализу поведения решения в окрестности существенно осо­

построить уравнение разветвления, анализируя которое можно найти все ветви решения. Причем сложность анализа зависит от степени вырож­ дения матрицы Якоби / . Будет рассмотрен наиболее важный для практи­ ческих приложений случай однократного вырождения матрицы/ (гавд ( /) =

2.1.Классификация особых точек

Как и в гл. 1, задачу продолжения решения системы уравнений (1.1.1)

ности этой точки определится разложением в степенной ряд Тейлора

В этих уравнениях опущен знак суммирования от 1 до т + 1 по повторяю­ щимся индексам и приняты обозначения

и в каждой из систем коэффициенты при неизвестных образуют расширен­

ние однородной системы (2.1.5), как это было показано и ранее в § 1.1, принадлежит одномерному подпространству Аа б К т+ 1 . Согласно (2.1.5) это подпространство А1 ортогонально ш-мерному подпространству ?т € € Кт+1, которое определено базисом из т линейно независимых векторов-

Здесь с — произвольный постоянный коэффициент. Так как вектор

Цри изменении X меняет только свое направление при неизменной длине, определенной соотношением (2.1.9), то векторы , Х'(о)........ харак­ теризующие изменение направления вектора Х'^0 ), должны бьпь ортого­ нальны к нему и потому должны принадлежать подпространству Рт , кото­

рое является ортогональным дополнением подпространства А1 в Ят + 1. Таким образом, так же как и в § 1.1,

Это означает, что среди т строк матрицы / ° ^ ( Л ^ о ) ) линейно независи­ мы только г . Для определенности будем считать, что линейно независимы первые т строк матрицы / ° . Любой другой случай всегда можно свести

ктаковому очевидной перенумерацией уравнений в системе (2.1.1). Разобьем уравнения (2.1.1) на две группы

Для упрощения дальнейших выкладок будем считать, что начало координат пространства Кш+1 помещено в точку ДГ(0) , в окрестности которой иссле­

Матрицу этого уравнения / г°= [р° ■], I = 1, .... г, /. = 1...... т + 1, спо-

мощью процесса Грамма—Шмидта представим в виде (1.1.19), т.е. в виде

произведения матрицы ортогонализации 3 порядка г и ортогональной мат­ рицы Р размера г X (т + 1), строками которой являются векторы

(» = 1 ...... г ) ортонормированного базиса подпространства Рг б К т +[

I.]

Если, учитывая это представление, помножить систему (2.1.25) слева на матрицу ^ -1 , то она примет вид

га

Полученный результат позволяет сделать два вывода. Во-первых,р'к = О,

к = 1.......г , что еще раз подтверждает тот факт, что ненулевые решения X ' уравнения (2.1.16) принадлежат пространству \ а . Во-вторых, определи­ тель системы (2.1.28> равен 1 и с точностью до неравного нулю постоянно­

го множителя йе1(Й -1) совпадает с якобианом уравнений (2.1.23) по переменным рк , к = 1, ..., г . Тогда па теореме о неявных функциях в ма­

лой окрестности рассматриваемой точки X = 0 переменные рк , к = 1, ...,г могут быть на основании уравнений (2.1.23) получены как функции пере­ м ен н ы х ^ , I =1

Рк ~ Рк(<*1, - . “ <*)> к = 1. (2.1.29)

Функции рк являются однозначными, непрерывными и дифференцируемы­

Эти уравнения определяют как число ветвей решения, так и их поведение в окрестности исследуемой точки.

Поскольку уравнения разветвления (2.1.30) построены так, что их Якобиан равен нулю, то они могут иметь не единственное решение.

Для каждого решения этих уравнений как функции параметра X

торой в малой окрестности исследуемой точки определится разложением (2.1.22).

Следует заметить, что процесс построения уравнений разветвления доста­ точно сложен и в явном виде они могут быть выписаны только в исключи­ тельных случаях. А их решение в явной аналитической форме может быть найдено еще в более редких случаях. Поэтому особое значение приобретают методы, не использующие непосредственно уравнение разветвления в фор­ ме (2.1.30), а решающие задачу на основе более простых соотношений.

2.2.Простейшая форма уравнений разветвления

Преобразуем систему (2.1.1) так, чтобы ее линейная часть приняла простейший вид. Для дальнейшего удобно для матрицы Якоби использо­ вать следующие обозначения (см., например, [339]):

Пусть, как и в § 2.1, решение системы (2.1.1) исследуется в окрестности

точки X = 0, и в этой точке гапв(/°) = г < т. Индекс ” ° ” у какой-либо функции будет ниже указывать, что берется значение этой функции в точ­ ке X = 0. Пусть снова линейно независимыми являются первые г строк

матрицы Якоби 1 ° Тогда последние т - г = (1 -1 строк этой матрицы яв­ ляются линейными комбинациями первых г строк, т.е.