книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

В силу линейности преобразования и невырожденное™ ма1рииы Й 1 урав­ нения (2.1.13) и (2.2.11) эквивалентны в том смысле., что все решения

X уравнений (2.1.13) являются решениями (2.2.11) и наоборот, т.с. мно­ жества решений уравнений (2.Ы З) и (2.2.11) совпадают. Но матрицей

Якоби системы (2.2.11) при X - 0 является ортогональная матрица Р Действительно, из (2.2.11) и (2.2.8) следует

( 2.2. 12)

На основе уравнений (2.1.14) построим следующие уравнения:

случай попросту сводится к уменьшению числа уравнений в системе (2.1.1) В результате преобразований система (2.1.1) сводится к эквивалент­

зшу (2.2.7) вместе образуют ортонормированный базис в К^+1. Поэтому можно представить искомое решение в виде разложения по этим орто-

венно и таких, что имеется их взаимно однозначное соответствие с под­

Произведение РРТ равно единичной матрице Е порядка г, так как Р - ор­ тогональная матрица; РАТ = 0 в силу (2.1.21).

Таким образом,в результате преобразований (2.2.11), (2.2.13) и (2.2.19) мы перешли от системы (2.1.1) с неизвестным X к системе (2.2.22) с не­

известными р, а . Причем преобразования таковы, что между множества­ ми решений этих систем имеется взаимно однозначное соответствие. Но

Причем в этих выражениях должны отсутствовать линейные по а зависи­ мости. Подставив (2.2.24) в (2.2.21), получим уравнения разветвления в виде

В силу структуры матрицы Якоби (2.2.23), эти функции не должны со­ держать линейных по а зависимостей.

Как уже отмечалось, уравнение разветвления (2.2.25) в явном виде удается построить в исключительных случаях. Методам его приближенно­ го построения и исследования посвящена обширная литература [53, 212]

и др., начало которой положили работы А.М. Ляпунова [240] и к. Шмид­ та [505]. Мы здесь ограничимся методом, основанным на анализе разло­ жений в ряды Тейлора вида (2.1,3), (2.1.5)-(2.1.7) в окрестности особой точки.

В силу представления (2.2.19) поведение решения X (X) в малой окрест­ ности особой точки X = 0 определится разложением в степенной ряд Тейло­ ра по X

+3 р а Р(0)Р(0)а(0) + 3 С/, рйаР(0 )^(0)а(0) +

+^ °ааа“ (0)а(0)а(0) = °-

Вэтих уравнениях приняты обозначения, смысл которых становится яс­ ным из сравнения второго уравнения с его развернутой записью

Здесь производится суммирование по повторяющимся индексам у рот I до г и у а от 1 до а.

(2.2.29) который в соответствии с представлением (2.2.19) указывает на то. что вектор X ' - ах/аХ принадлежит подпространству А«/.

Внрят»»мия (2.2.28) и (2.2.29) позволяют упростить второе и последую-

Р ( 0 ) + З Г ,р 4 Р (0 )0 (0 ) + 3 ^ ,а « О (0 )О (0 ) +

+ ^вааО (0)О<0Д о ) = о .

Эта последовательность уравнений позволяет рекуррентно определять

ние уравнения разветвления определяет составляющую вектора X в ка , ко­ торая, в свою очередь, определяет в силу уравнений (2.2.30) составляющую X в Рг. Поэтому, следуя Томпсону, будем называть А и Л а активными подпространством и пространством, а Рг и 3*т -пассивными.

Дифференцируя по X уравнения (2.2.17), получаем рекуррентную сис­ тему уравнений, аналогичную системе (2.2.27). Упрощаем ее с учетом сле­ дующих из (2.2.19) и (2.2.29) результатов

Эти уравнения совместно с системой (2.2.30) позволяют последовательно определить векторы <^о).Р0>)> <Х(о)> •. • и, таким образом, определить в си­ лу разложения (2.2.26) вектор X в окрестности особой точки. Причем уравнения (2.2.32) могут иметь несколько решений, и каждое из таких ре­ шений определит свою ветвь множества решений исходной системы (2.1 Л). Вообще говоря, уравнения (2.2.30), (2.2.32) содержат ту же информацию о поведении решения в окрестности особой точки, что и уравнения (2.2.20), (2.2.21). Но они позволяют часто решать задачу о ветвлении не на основе уравнения разветвления (2.2.25), а используя его приближенные (и более простые) представления. Ниже рассмотрим некоторые простые случаи.

пространства Ад равна 2. После преобразований (2.2.11), (2.2.13) (2.2.19) с использованием ортонормированных базисов подпространств Рт _1 и А? исходная система уравнений (2.1.1) в особой точке сведется к виду

Геометрически эта ситуация означает, что являющееся плоскостью в Кт+1 активное подпространство А2 соприкасается в любой точке с множеством решений К (со всеми его-ветвями, проходящими через особую точку). Поэтому анализ ветвления здесь может быть сведен к ветвлению плоской кривой.

Первым приближением уравнения разветвления будет первое из уравне­ ний (2.2.32). Оно принимает вид

и является однородной квадратичной формой. Здесь возможны следую­ щие случаи.

1. Квадратичная форма (2.3.3) знакоопределена. В этом случае она име­ ет единственное действительное тривиальное решение а] = а2 = 0. А это оз­ начает, что в малой окрестности особой точки больше нет точек из иско­ мого множества решений, т.е. исследуемая точка является изолированной особой точкой. В такую точку нельзя прийти, двигаясь вдоль непрерывной кривой К множества решений. Поэтому появление в процессе продолжения решения изолированной особой точки свидетельствует о некорректности процесса продолжения. Причиной возникновения такой ситуации обычно является излишне большой шаг по параметру продолжения X. Знакоопре­

Если, например, У,°22 Ф 0, то положение касательной к кривой множества

Таким образом, в особой точке пересекаются две ветви множества ре­

Геометрически эта ситуация выглядит так, как это показано на рис. 2.1

вплоскости А2.

3.Квадратичная форма (2.3.2) знакопостоянна. В этом случае Г> = 0 и квадратный трехчлен (2.3.3) имеет кратный корень Г1)2 - ( = -У?%2/Г,°22. Для выяснения характера особой точки необходим анализ высших членов разложения и более тонкий анализ уравнения ветвления. Примеры такого анализа для плоских кривых даны, например, в [339], а анализ возможных случаев приведен в [453, 524, 129]. Здесь особая точка может оказаться

точкой соприкосновения двух ветвей решения или точкой возврата. В по­ следнем случае приведенными выше уравнениями (2.2.30), (2.2.32) надо пользоваться с осторожностью, поскольку они построены в предположении дифференцируемости множества решений по X в особой точке. А это усло­ вие в точке возврата не выполняется.

Для численной реализации продолжения решения в существенно особой точке анализ уравнений (2.2.30), (2.2.32) для высших производных пред­ ставляется неудобным. Здесь можно пойти по пути численного установле­ ния количества и характера решений ветвей в окрестности особой точки

в плоскости А2. В рассматриваемом случае кратного корня поиск этих вет­ вей облегчается тем, что в окрестности особой точки они должны быть близки к направлению, задаваемому касательной

Это позволяет вести поиск решения в области, заштрихованной на рис. 2.2. Тогда удобно искать решение уравнения разветвления (2.2.25) на окруж­ ности с малым радиусом е. Поиск решения можно облегчить переходом к полярным координатам, как это рекомендуется в [339].

4 .Квадратичная форма (2.3.2) тождественно равна нулю {уТц = Кг г ~ = К 2 2 = 0). Здесь в первом приближении поведение решения определяется вторым уравнением (2.2.32), левая часть которого с учетом первого урав­ нения (2.2.30) приводится к однородной кубической форме

выводу, что в особой точке могут пересекаться три ветви решения.

Как только что отмечалось, анализ уравнения разветвления с учетом высших производных для численного анализа мало пригоден. Выявление ветвей решения удобнее также свести к поиску нулей на е-окружности в плоскости А2: { (рис. 2.2).

2.4.Случай ветвления, когда гавд (/°) = т - 2

Для того чтобы подчеркнуть проблемы, возникающие при анализе ветв­ ления решения в более сложных случаях, рассмотрим ситуацию, когда

г = гапв(/ °) = т —2. Здесь размерность й активного пространства Аа рав­ на 3. Уравнения разветвления с точностью до второго порядка разложения в ряд Тейлора определяются первым уравнением в (2.2.32). Они при 4 =3 примут вид следующей системы уравнений:

Левые части этих уравнений представляют собой однородные квадратич­ ные формы, матрицы которых обозначим следующим образом:

(2.4.2)

Тогда уравнения (2.4.1) в матричной форме можно записать в виде

( а ’)т К(1>о" = 0,

(2.4.3)

( а ') т К(2)а ' =

Ясно, что если хотя бы одна из этих квадратичных форм является знакоопределенной, то особая точка будет изолированной, поскольку в таком случае система уравнений (2.4.3) не имеет действительных решений кроме тривиального а ' = 0. Но изолированная особая точка не может быть достиг­ нута в процессе корректного продолжения решения по параметру. Знако­ определенность хотя бы одной из квадратичных форм (2.7.3) свидетельст­ вует обычно о слишком большом шаге при движении по кривой решений К.

Рассмотрим некоторые частные случаи, когда квадратичные формы

Проделанные преобразования таковы, что число положительных и отрица­ тельных собственных значений матриц У (21 и Р одинаково.

Рассечем теперь конусы плоскостью р3 = 1. Тогда линия пересечения этой плоскости с конусом (2.4.9) будет окружностью, а с конусом (2.4.10) - эллипсом или гиперболой в зависимости от взаимного располо­ жения конусов. Таким образом, задача определения действительных корней уравнений (2.4.3) свелась к нахождению общих точек единичной окруж­ ности и эллипса или гиперболы на плоскости р 3 = 1. Аналитического реше­ ния этой Задачи в общем случае, по-видимому, не существует. Возможные случаи взаимного расположения окружности и эллипса представлены на рис. 23. Из него видно, что число действительных решений уравнений (2.4.3) может изменяться от 0 до 4. В частности, можно отметить тот факт, что сама по себе энакопеременность квадратичных форм, имеющих матри­

на рис. 2.3, а, б, в.

Окончательно о ветвлении можно судить только в случаях приведенных на рис. 2.3, к, л. В первом из них в точке ветвления пересекаются две ветви решения. При этом они касаются двух общих образующих конусов (2.4.9), (2.4.10). Поэтому продолжение решения из особой точки в этом случае возможно вдоль четырех направлений, как это показано на рис. 2.4. В плос­ кости, проходящей через общие образующие конусов, картина ветвления имеет вид, показанный на рис. 2.5.

В случае ”л ” в особой точке пересекаются четыре ветви решения, касаю­ щиеся четырех общих образующих конусов (2.4.9), (2.4.10). Здесь ветви

Тже не лежат в одной плоскости и продолжение решения из особой точки возможно в восьми направлениях.

В случаях ”г”—”и” (рис. 2.3) имеют место касания конусов. Соответст­ вующая общая образующая конусов здесь может оказаться касательной двух и более касающихся в особой точке ветвей решений. Для нахожде­ ния этих решений необходимо рассматривать уравнения разветвления с учетом высших слагаемых в разложении Тейлора, причем в плоскости, касающейся обоих конусов по общей образующей. Последнее обстоя­ тельство упрощает исследование, так как число переменных уменьшается и становится равным двум. Иными словами, в пространстве активных пе­ ременных для каждой образующей, по которой конусы (2.4.9) и (2.4.10) касаются, выделяется двумерное подпространство - пложость, касающая­ ся обоих конусов по общей образующей. В этом подпространстве и нужно исследовать уравнение разветвления.

Если решения уравнений (2.4.6) разыскиваются численно, то можно использовать следующее представление вектора р = [рь р2. Р гУ

(2.4.11)

Нетрудно видеть, что такой вектор р(<р) удовлетворяет первому уравне­ нию (2.4.6) при любых <р. Такое представление реализует простую геомет­ рическую идею: при изменении у в пределах от 0 до 2я вектор р(</з) обегает первый конус так, что его конец находится на эллипсе, по которому этот