книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

Простейшая явная схема интегрирования задачи Коши (15.2) методом Эйлера соответствует методу последовательных нагружений

Впервые такая схема в рамках МКЭ была, по-видимому, использована в работе [529]. В дальнейшем она получила широкое распространение при решении конкретных задач методом конечных элементов [419, 381, 530, 418, 545, 378, 454, 544, 488, 126, 541, 542, 417, 512, 3, 89, 380, 375, 532, 416, 528]. Обзор ранних исследований, использующих явные схемы интег­ рирования задачи Коши по параметру, дан в [457].

Схема (1.5.2) дает, как известно, на каждом шаге интегрирования ошибку порядка (Д Х ,)2. Для уменьшения накопления ошибки использо­ вались явные схемы более высокого порядка точности, как-то: схемы мо­ дифицированного метода Эйлера, метода РунгеКутта и др. [413, 417419,492,426, 126, 271,497,436].

С целью устранения накопления ошибки при шаговом интегрировании задачи Коши использовались неявные схемы интегрирования, которые требуют организации итерационного процесса на каждом шаге по парамет­ ру. Общий вид шагового процесса интегрирования задачи Коши для уравне­ ния (1.5.1) с использованием неявных схем можно представить в виде

От явной схемы (1-5.5) эта схема отличается использованием итерационно­ го процесса (1.5.7) —(1.5.9), который включает выбор начального прибли­ жения (1.5.7), интегрирование по формуле (1.5.8), пока выполняется усло­ вие (1.5.9), и получение решения при достижении заданной точности с > О

ра продолжения решения в рамках дискретного продолжения [386. 535, 536,404, 537,543].

В работе [383] исследованы особенности матрицы жесткости при дискретном продолжении решения с дополнительным условием, опреде­ ляющим параметр продолжения.

В[469] процесс дискретного продолжения осуществляется с одновре­ менной редукцией размерности разрешающей системы путем ее отображе­ ния по Бубнову на подпространство аппроксимирующих векторов.

В[393] схема Рунге-Кутта чередуется с периодическим уточнением решения по методу Ньютона - Рафсона.

Мы здесь не рассматриваем схем построения решения, связанных с идеей погружения исходной задачи в класс задач с вязким трением или с учетом инерционных сил движения. Такого рода методы, названные самокорректи­ рующимися, подробно рассмотрены в обзоре [518].

1.6. Метод продолжения в физически нелинейных задачах

Использование методов продолжения решения по параметру при иссле­ довании упруго-пластических деформаций естественным образом опреде­ ляется самой постановкой задачи, которая подразумевает прослеживание истории деформирования системы. В этом смысле представляется законо­ мерным, что первое применение метода продолжения [452] связано имен­ но с анализом устойчивости упругопластнческого стержня. Предложенный Лином подход, основанный на процедуре последовательных нагружений, т.е. на явной схеме типа метода Эйлера интегрирования задачи Коши по параметру, использовался и в более поздних исследованиях поведения упругопластического продольно-сжатого стержня [60, 59, 210, 308]. В работе [210] этот метод рассматривается в рамках общего подхода к ме­ тодам продолжения Д.Ф.Давиденко [135].

Формулировка упругопластических задач в приращениях (шаговый или инкрементальный подход) в наиболее общем виде изложена, по-видимому, в монографии Био [388], суммирующей предыдущие разработки как са­ мого автора, так и других исследователей.

Методы продолжения по параметру легли в основу многочисленных ре­ шений конкретных задач упругопластического деформирования различных систем.

Так, явная схема типа метода Эйлера для интегрирования задачи Коши по параметру нагрузки в форме метода последовательных нагружений ис­ пользована в работах [485, 316,545,426,373,380].

Особенности использования метода последовательных нагружений для физически нелинейных задач рассмотрены в книге [289]. Разработанные в ней алгоритмы привлекались для исследования пластин и оболочек из ма­ териалов со сложными свойствами, в том числе и из разномодульных мате­ риалов [289, 140,242,291,241,243,286].

В [319,-144] на основе схемы Эйлера построен шаговый процесс продол­ жения решения по параметру прогиба. Явные схемы более высокого по­ рядка точности типа модифицированного метода Эйлера и метода Рунге

Купа применялись в статьях [376, 492, 46, 324]. В работах [46, 47] для решения пошаговых линеаризованных задач использована сплайн-аппрокси­

мация.

Неявные схемы с использованием простой итерации применялись в це­ лом ряде работ [379, 422, 455, 401, 574, 74, 340, 4, 148, 149]. Отмечено, что для идеально упругопластического материала метод последовательных приближений сходится медленно, а иногда может сходиться к неправиль­ ному решению [422, 455, 401, 175]. Отмечается, что простая итерация, по существу, совпадает с методом упругих решений [175,4].

Метод переменных параметров упругости, когда для итераций исполь­ зуются параметры упругости (в том же смысле, что и касательные модули упругости), достигнутые на предыдущем шаге по параметру, по смыслу близок к модифицированному методу Ньютона и применялся совместно с ним в неявной схеме интегрирования по параметру для решения одновре­ менно физически и геометрически нелинейною задач [534, 340, 302, 175, 463, 197, 6]. Неявная схема продолжения с использованием для итераций метода Ньютона - Рафсона реализована в статье [423] для уточнения реше­ ния после нескольких шагов по параметру по явной схеме типа метода Эйлера. Итерация по Ньютону - Рафсону на каждом шаге интегрирования проводилась в работах [515,1,324].

Особенности решения отдельных упругопластических задач обсуждались в [456,91,92,435,520,513].

Подробный обзор с анализом эффективности различных методов реше­ ния упругопластических задач дан в работах [515,334].

1.7.Сравнение различных форм метода продолжения

Сравнительная оценка точности и эффективности различных способов Продолжения по параметру в общем виде представляется трудно разреши­ мой задачей. Отдельные априорные оценки [366,481] громоздки и их при­ менение к практическим задачам затруднительно. Поэтому наиболее рацио­ нальным кажется исследование эффективности метода на примере некото­ рых тестовых задач. Такой путь хотя и не дает полной информации о по­ грешности, но дает сведения, ориентирующие исследователя при выборе того или иного подхода.

По-видимому, первой из работ такого рода, касающихся метода продол­ жения, было исследование Поскитта [489], который сравнил простейшую явную схему типа Эйлера для продолжения по параметру с другими метода­ ми решения нелинейных задач, как-то: методом Ньютона - Рафсона, итераций и др. В качестве тестовой задачи была использована трехшарнир­ ная арка Мизеса. Было установлено, что число шагов шагового метода зна­ чительно меньше зависит от величины конечного перемещения, чем у всех остальных методов.

В работе [533] та же схема продолжения сравнивается с методом Ньютона —Рафсона и методом возмущений (малого параметра) на примере больших изгибов балки. Нелинейная система алгебраических уравнений построена методом Рэлея —Ритца. Подробно исследовано влияние шага по параметру нагрузки. Маркол [455] сравнивает две неявные схемы продол­

Векторы а и Ь считаются равными.тогда и только тогда, когда равны их составляющие, т.е. а = Ь тогда и только тогда, когда а( - Ь(, / = I , .... т.

Вектор, все составляющие которого равны нулю, называется нулевым вектором.

Суммой двух векторов а и Ь называется вектор а + Ь такой, что

Произведением вектора а на вещественное число X будет вектор Ха такой,что

Множество всех /«-мерных векторов называется т-мерным векторным пространством и обозначается через Кш .

В качестве нормы || а II вектора а Е Кт используется квадратичная или евклидова норма

Векторное пространство с такой нормой называют евклидовым прост­ ранством.

Скалярное произведение (а, Ь) двух векторов а и Ь в Кт вводится обычным образом

т

[а, Ь) = Б а^Ь/. 1

Векторы а и Ь называются ортогональными, если равно нулю их ска­ лярное произведение, т.е. если

здесь X!, .... Ля - произвольные вещественные числа, из которых не все равны нулю.

Кроме векторов рассматриваются также прямоугольные матрицы.

составленная из л строк или т столбцов, имеет размер пХ т. Матрица, у которой т = л, - квадратная и имеет порядок л. Матричные операции вводятся обычным образом.

Суммой С = А + В двух матриц А = [ач ] и В = [Ьц ] размера и X т будет матрица С = [сц\ того же размера и такая, что

СИ = ау + Ьц,

Произведением С = А В матрицы А = [ац ] размера пХ т на матрицу

2 й1 кЬк],

к= 1

Произведением с = АЬ матрицы А = [д/*] размера п Х т на т-мерный вектор Ь= [Ьк] является л-мерный вектор с = [с,] такой, что

т

2а1кЬк,

к= 1

Произведением ст = VхА л-мерного вектора-строки ЬТ = [&*] на матри­ цу А = [л*/]- размера л X т является т-мерный вектор-строка с т = [с/] такой, что

2Ькак1 ,

к= 1

Взаписи произведения вектора на матрицу мы будем иногда опускать знак транспонирования ” т ” у вектора, имея в виду, что если вектор яв­ ляется первым сомножителем, то он должен быть вектором-строкой, и результатом такого произведения явится также вектор-строка.

Матрицей, транспонированной по отношению к матрице А = [д,; ] раз­ мера п X т , будет такая матрица В = [Ьц] = АТ размера т X л. что Ьц =ап , I = 1,..., т, / = 1,...»л.

Строки матрицы А = [ац\ размера п X т можно рассматривать как векторы в К т ,а столбцы - как векторы в К„.

Рангом гап^(Л) матрицы А называется число ее линейно независимых строк или столбцов. Ранг матрицы не зависит от того, определен ли он по

еестрокам или по столбцам.

Прямоугольную матрицу А размера и X т, т > п, будем называть

вырожденной, если гал§(/1) < п. Это значит, что строки матрицы линейно зависимы.

Определитель с1е1(Л) квадратной матрицы тогда, когда она вырождена.

Прямоугольная матрица размера п X т, т > п, вырождена тогда и только тогда, когда все определители п-го порядка, которые можно обра­ зовать из ее столбцов, равны нулю.

Матрица называется ортогональной, если ее строки или столбцы ортонор-

Примененный к векторам-строкам невырожденной матрицы А размера п Х т (т > п) процесс ортогонализации Грама —Шмидта может быть рас­ смотрен как представление этой матрицы в виде произведения двух матриц

А = Й В.

Здесь В - ортогональная матрица размера п X т , строками которой яв­ ляются векторы ортонормированного базиса, построенного с помощью про­

Матрица П = ] является левой треугольной матрицей. Из (11.2) вид­ но, что

,, = (иСО, „(О )* ",

| („<0 в(/)х

I О,

Доказательства приведенных выше утверждений, а также многие другие свойства векторов и матриц в векторных пространствах можно найти, на­ пример, в книгах В.В.Воеводина !), Б.З.Вулиха 2), Г.Стренга 3).