книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

арки 5 = 5о показаны на рис. 4.3. Рассмотрим соответствующие им гранич­ ные условия.

а) Шарнирное закрепление (рис. 4.3, а). При таком закреплении в про­ цессе деформации остаются неизменными координаты конца арки. Кроме того, на конце арки кривизна не меняется, так как изгибающий момент равен нулю. Таким образом,

б) Жесткое защемление (рис. 4.3,6). Здесь имеют место очевидные ра­ венства

в) Свободное опирание (рис. 4.3,в). Здесь отсутствует перемещение по нормали к плоскости опоры и ввиду отсутствия изгибающего момента на конце арки сохраняется начальная кривизна. Кроме того, равно нулю уси­ лие Г вдоль плоскости опоры. Эти условия можно записать в виде

Л(«о) = *о>

Т = N соз (© - а) + С $ш (0 - а) = 0.

г) Скользящее защемление (рис.4.3,г). Этот случай отличается от пре­ дыдущего тем, что кривизна оси арки меняется, но остается неизменным

начальный угол:

0 =0О,

Существенно более сложна формулировка условий, соответствующих связям, точка наложения которых в процессе деформации смещается. Пример такой связи показан на рис. 4.4. Один из случаев подобной связи будет рассмотрен также в § 4.4.

Входящие в разрешающие уравнения (4.1.14) погонные нагрузки <7,, и <7Т позволяют легко представлять различные конкретные случаи нагруже­ ния. Наиболее интересны с практической точки зрения нагрузка от собст­ венного веса арки и нормальная погонная нагрузка.

Нормальная погонная нагрузка интенсивности р

Это нагрузка следящего типа. Нагрузку от собственного веса арки с погон­ ным весом р можно представить в виде

Здесь предполагается, что сила тяжести действует вдоль оси у. Такая на­ грузка не меняет направления своего действия в процессе деформирования. Другие нагрузки, обладающие подобным свойством (например, центробеж­ ные силы), могут быть представлены аналогично.

Р и с . 4.4

Огметим также, что разрешающая система уравнений (4.1.14) может быть использована и для описания больших прогибов цилиндрических пане­ лей при их цилиндрическом изгибе. При этом в соотношениях упругости (4.1.11) следует заменить ЕР на ЕкЦ 1 - V2) и Е1 на 2ГЛ3/12(1 - у2). Здесь Л - толщина оболочки, V - коэффициент Пуассона. Тогда в уравне­ ниях (4.1.16) величина с принимает вид

4.2. Устойчивость нерастяжимой круговой арки под равномерным давлением

Рассмотрим сначала задачу устойчивости круговой нерастяжимой арки под равномерным давлением. Нерастяжимой арке соответствует значение с = 0. Ограничимся случаем шарнирно опертой круговой арки под равно­ мерным давлением (рис. 4.5). В качестве характерного размера Я примем

радиус арки, который также обозначим через Я. Тогда безразмерная коор­ дината 5 ° вдоль нсдсформированной оси арки становится равной централь­ ному углу, который обозначим /3 и будем отсчитывать от оси симмет­ рии Оу. В недеформиров энном состоянии угол ©0 между касательной к оси арки и осью х будет связан с (3равенством

В итоге, с учетом нерастяжимости арки (с = 0) система уравнений (4.1.16) принимает вид

(Ввиду того, что 5° = /3, знак ” ' ” здесь означает дифференцирование по 0.)

Для любых Р уравнения (4.2.4) с граничными условиями (4 2.5) допускаю!

точное решение, отвечающее недеформированному состоянию равновесия арки

Для исследования устойчивости этого решения в рамках бифуркационного критерия рассмотрим близкие к нему возмущенные решения

Подставим эти соотношения в уравнение (4.2.4) и в уравнениях для возму­ щений х, у, Р, п, й, к, учитывая малость последних, сохраним только ли­ нейные члены. После простых преобразований с учетом решений (4.2.6) получаем для возмущений однородную краевую задачу

х(±Р0) = у(±Р о) = *(± Ро) = 0.

В полученных уравнениях удобно перейти к нормальному IV и тангенциаль­ ному и перемещениям оси арки (рис. 4.5), которые связаны с возмуще­ ниями х н~у соотношениями

В итоге приходим к следующей однородной краевой задаче:

и(±0о) = ^(±00) = *(±0о) = 0.

Неизвестные в уравнениях(4.2.10)выразим через и с помощью соотношений

н» = —и', I? = —(и" + ы), к = —(и" + и )\

(4.2.11)

д = —(и" + и)", п = —Р(и" + и)' — (и " + и )"'

Это представление решения позволяет тождественно удовлетворить все уравнения(4.2.10), кроме одного п = <7,из которого следует разрешающее урав-

Граничные условия (4.2.8) для этого уравнения с учетом равенств (4.2.9), (4.2.11) принимают вид

функции краевой задачи (4.3.2), (4.3.3) и параметр Р функциями парамет­ ра X, смысл которого выяснен в гл. 3:

Введем следующие обозначения для производных по параметру:

Краевую задачу для определения х, у ,..., к, р.получим, продифференцировав задачу (4.3.2), (4.3.3) по параметру X:

Для сведения краевой задачи к форме, рассмотренной в гл. 3, введем вектор-функции 2 = [X, У, 0, N. б» К]т и : = [*, у, 0, п, <?, А:]т. Тогда зада­

Здесь граничные условия сформулированы в обобщенном виде для произ­ вольных фиксированных границ интервала [0,, 02] переменной 0 (так для условий (4.3.3) 0! = - 0 о* 02 =+0о) и введено обозначение Р(2,Р) = = [/г1(2, Р), ..., Р6 (2 , Р) ] 7 для нелинейной вектор-функции, соответствую­ щей уравнениям (4.3.2). Прямоугольные матрицы А, В размером 3X 6 и трехмерные векторы а, Ь определяются конкретными условиями закреп­ ления концов арки. В частности, для условий шарнирного закрепления (4.3.3) они записываются следующим образом:

В э ти х обозначениях уравнения продолжения (4.3.5) с начальными > сю -

Для проведения конкретных расчетов в качестве основного метода интегрирования уравнений продолжения (4.3.10) был принят алгоритм модифицированного метода Эйлера (3.4.14)-(3.4.26), поскольку простой метод Эйлера, как известно [35], приводит к существенному накоплению ошибки даже при малом шаге по параметру. Для устранения накопления ошибки модифицированного метода Эйлера он комбинировался с мето­ дом дискретного продолжения, для которого применялся алгоритм в

форме (3.4.27)—(3.4.37) с выбором коэффициента а^ по выражениям (3.4.32). В уравнениях для квазилинеаризации (3.2.6) для упрощения за­ писи строчными буквами обозначим искомые функции текущего Ц + 1)-го

приближения, а прописными — уже известные функции предыдущего приближения при X = X*

Сравнивая уравнения (4.3.14) с уравнениями (4.3.11) непрерывного продолжения, замечаем, что они отличаются только наличием в (4.3.14) слагаемых, заключенных в квадратные скобки. В развернутом виде крае­ вая задача (4.3.14), (4.3.15) с учетом обозначений (4.3.13) имеет вид

' - с соз® • п - (1 +сЛ0 $ш® • «3 + [ - с СО50- /V + (1 +сЛ0зш® -0 +

+ (1 + сЛО соз0],

' - С • 51П0 • п + (1 +СЛ0 СО50 • I? + [-С 51П0- /V - (1 +СЛ0 СО50 -0 +

Уравнения (4.3.16) мы постарались записать в такой форме, чтобы под­ черкнуть сходство слагаемых в правых частях, которые записаны одно под другим в верхней и нижней строках. То же самое сходство видно и в обобщенной записи (4.3.14), где оно подчеркнуто аналогично. Это позво­ ляет при составлении программы для ЭВМ для подсчета правых частей уравнений (4.3.6) и (4.3.16) использовать одни и те же процедуры как для непрерывного, так и для дискретного продолжения.

При практической реализации этих алгоритмов [351] для интегриро­ вания линейных уравнений (4.3.6) и (4.3.16) с целью получения их фун­ даментальных решений на прямом и обратном ходах прогонки использо­ вался метод Рунге —Кутта. При этом пробные расчеты показали что доста-

точная точность обеспечивается для разбиения арки при 0О= 22,5° на 30 участков, а при 0О= 90° - на 100 участков. Оказалось также что дос­ таточно пяти промежуточных ортогонализаций.

При отработке алгоритма и программы для ЭВМ проводился целый ряд пробных расчетов с целью выяснения влияния шага на накопление ошибки и эффективность комбинирования непрерывного и дискретного продолжения. На рис. 4.6 приведена зависимость безразмерного давле­ ния Р от относительного прогиба IV= ы(0)/К средней точки (0 = 0) шар­ нирно закрепленной арки под действием равномерного давления при сим­ метричном деформировании арки. Расчеты проводились для арки с пара­ метром с = 10"4 и углом 0о = 45°.

Штриховая кривая 1 на рис. 4.6 соответствует интегрированию уравне­ ний продолжения модифицированным методом Эйлера с шагом АХ по параметру X, который на начальном участке деформирования при малых Р соответствовал приращению относительного прогиба иЧ0)/7? = 0,005. Штрихпунктирная кривая 2 соответствует тому же методу, но с шагом и>(0)/Л =0,0025. Сплошная кривая 3 получена при комбинировании двух шагов IV(0)//? =0,005 модифицированного метода Эйлера с одним шагом

(конечно, в пределах принятой дискретизации). Как видно из рис. 4.6, модифицированный метод Эйлера дает накопление ошибки, особенно существенное в тех областях параметра, где решение претерпевает значи­ тельные изменения. В то же время расход машинного времени при полу­ чении кривых 2 и 3 практически одинаков (даже для кривой 3 он был несколько меньшим). Поэтому для всех дальнейших расчетов была ис­ пользована именно такая комбинация непрерывного и дискретного про­ должения.

Алгоритм реализован на ЭВМ БЭСМ-6 в виде комплекса программ для решения нелинейных краевых задач. В расчетах он показал себя достаточно устойчивым, надежным и удобным в обращении.