книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

задач определения предельной несущей способности конструкций и техно­ логических задач.

Нельзя не отметить здесь и задачи оптимального проектирования, кото­ рые обычно сводят к определению экстремума некоторой целевой функции (функционала), имеющей сложную структуру. Необходимые условия экстремума этой функции порождают систему нелинейных уравнений относительно параметров оптимизируемой конструкции. Корректное же решение задачи оптимального проектирования предполагает исследо­ вание всего множества решений этой системы.

Мы здесь перечислили только некоторые из нелинейных задач механики твердого деформируемого тела. Такого же рода задачи возникают и в дру­ гих разделах механики. Развиваемые в книге методы могут быть с успе­ хом приложены и в этих нелинейных задачах.

Ввиду трудностей, возникающих при решении нелинейных уравнений и обусловленных как раз их нелинейностью, наиболее распространенным способом анализа решений нелинейных уравнений является прослеживание изменения этих решений по мере изменения параметра задачи. Реализация такого подхода естественно связана с продолжением решения нелинейных уравнений по параметру, возможность которого устанавливается теоре­ мой о неявных функциях и ее обобщениями (см., например, [39,147, 212]). Ограничения, накладываемые згой теоремой, в большинстве нели­ нейных задач механики твердого деформируемого тела выполнены, что позволяет продолжать решения этих задач. Численная реализация продол­ жения решения, как правило, осуществляется в виде некоторого шагово­ го процесса по параметру. Из литературы известно большое разнообра­ зие таких процессов. Часто они представляются и понимаются независимо от общей схемы продолжения решения по параметру. Это осложняет оцен­ ку их эффективности и понимание их места среди других шаговых про­ цессов. Поэтому возникает настоятельная необходимость в систематизации шаговых процессов продолжения решения.

Но есть два обстоятельства, осложняющие выполнение этой задачи. Во-первых, это разнообразие видов уравнений, которые могут бьпь алгеб­ раическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, а иногда в одной задаче эти виды сочетаются. Во-вторых, обилие публикаций, во многих из которых отдельные шаговые процессы применяются к част­ ным нелинейным,задачам.

Преодолеть эти трудности можно было бы с помощью тех возможностей для обобщений, которые предоставляются функциональным анализом. Но такой подход существенно сузил бы круг читателей.

Поэтому авторы решили ограничить рассмотрение алгебраическими и трансцендентными уравнениями. При этом имелось в виду, что обоб­ щения сами по себе обычно не приводят к новым результатам, а также то, что численная реализация решения дифференциальных и интегральных уравнений, как правило, связана с их сведением к алгебраическим и транс­ цендентным с помощью вариационных, разностных и других методов. Специальная форма обобщения результатов на одномерные нелинейные краевые задачи рассмотрена в гл. 3. Эта форма существенно использует ортогональную прогонку для решения пошаговых линеаризованных краевых задач.

Якобианом вектор-функции Р называют определитель 4е((У ) ее мат­ рицы Якоби/ :

(В. 16)

Таким образом,, теорема о неявных функциях устанавливает, что при

Рис. В.8

выполняется также и условие 3), т.е. <1е1(/) Ф 0, будем называть регуляр­ ными, а точки, в которых <1еГ (/ ) = 0, - особыми. Как мы увидим в даль­ нейшем, в особых точках возможность продолжения решения обычно сохраняется, но само продолжение может стать неоднозначным, т.е. по­ является возможность разветвления кривой К множества решений сис­ темы (В.1.2)..

Сама идея продолжения решения известна и эксплуатируется в матема­ тике и механике давно. Достаточно заметить, что именно она, по сущест­ ву, лежит в основе известного метода возмущений (метода малого пара­ метра), первые применения которого восходят к работам У Яеверьа (1856 г-) и А. Пуанкаре (1892 г.).

Идея продолжения решения неоднократно использовалась и для до­ казательства существования решений нелинейных уравнений, эффектив­ ность ее здесь связана с тем, что вопрос о существовании решения системы (В.1.2) сводится к доказательству существования решения вида (В. 1.3) и кривой К. В теории пластин конечного прогиба такой способ доказатель­ ства существования решения успешно применил Н.Ф. Морозов [251—255]. Он ввел параметр Р в уравнение Фёппля-Кармана в виде множителя при нелинейных частях операторов и доказал топологическую гомотопность операторов уравнений при Р = 0 и Р = 1. Таким образом, параметр Р исполь­ зован для построения непрерывного топологического преобразования от линейных операторов, соответствующих уравнениям Жермен —Лагран­ жа, и плоской задаче теории упругости (Р = 0), к нелинейным операторам уравнений Феппля - Кармана (Р = 1).

Первое использование идеи продолжения в вычислительных целях принадлежит, по-видимому, МЛаэю [447] (1934 г.). Он ввел в трансцен­ дентное уравнение Н (Х) = 0 параметр Р и таким образом свел его к виду (В.1.2). Причем параметр был введен так, чтобы при Р = Р 0 =0 можно было легко получить решение 2Г(0) = Х(Р0), а при Р= Рп = 1 уравнение обратилось бы в исходное. Продвигаясь по последовательности значений

Формулируя свой процесс, М. Лаэй ставил задачу решить центральную Для метода Ньютона-Рафсона (а равно и для любого итерационного ме­ тода) проблему выбора начального приближения, которое должно быть выбрано достаточно близким к искомому решению. Действительно, если на интервале Р0 < Р на кривой К множества решений уравнения (В.1.2) нет особых точек, то всегда можно выбрать шаг движения по па­ раметру Р таким малым, чтобы искомое на /-м шаге решение Х(Р() и его начальное приближение Х(Р{_г) были достаточно близки друг к дру­ гу и условия сходимости метода Ньютона-Рафсона по выбору начального приближения были обеспечены. Это следует из непрерывности кривой К.

Очевидно, что предложение М. Лазя применимо и к уравнениям, кото­ рые уже содержат параметр. Для них такой подход позволяет организовать /шаговый процесс по параметру для построения множества решений в ин-

Здесь е > 0 —заданная погрешность по норме искомого решения;. 1 (Х ^~ ^\

На наш взгляд, основное в работе М. Лазя то. что он дал пример пост­ роения шагового процесса по параметру, в котором реализуется главный для метода продолжения решения принцип: использовать на каждом шаге информацию о решении, полученную на предыдущем шаге (предыдущих шагах). С этой точки зрения несущественным становится использование для итерационного уточнения решения именно метода Ньютона - Рафсона. Возможна реализация шаговых процессов по параметру с применением

модифицированному методу Ньютона и т.п.

Шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением решения на каждом шаге будем называть дискретным продолжением решения.

Продолжение решения на основе интегрирования задачи Коши (В.1.9), (ВЛ .10) с помощью явных схем интегрирования будем ниже называть не­ прерывным продолжением решения.

Покажем, что процессы дискретного продолжения решения также могут быть связаны с интегрированием задачи Коши. Для этого решение началь­ ной задачи (В.1.9), (В.1.10) на каждом шаге по Р представим в виде

Это соотношение может быть рассмотрено как нелинейная неявная раз­ ностная схема, которая включает новое неизвестное Р, и поэтому должна решаться совместно с исходным уравнением (В.1.2), что делает се прямую реализацию нерациональной. На основе приближенного представления вы­ ражения (В.1.13) можно получить самые различные разностные схемы. Так, при Р = Р / получаем явную разностную схему Эйлера (В.1.11). Ме­ тоды построения других явных разностных схем на базе различных фор­ мул численного интегрирования соотношения (В.1.12) рассмотрены, на­

Это позволяет процесс реализации неявной схемы (В.1.13) сформулиро­ вать в виде итерационного процесса метода Ньютона Рафсона (В.1.7). Возможны, конечно, и другие итерационные процессы, обеспечивающие вычисления по неявной схеме (В.1.13).

Таким образом, непрерывное продолжение сводится .< интегрированию задачи Коши (В.1.9), (В.1.10) с помощью явных схем, 1 дискретное про­ должение —с помощью неявных схем.

Отметим здесь еще одну, установленную М.К. Гавуриным [75], инте­ ресную возможность использования метода продолжения по параметру для организации итерационного процесса решения нелинейного уравнения Н (Х ) =0 . Пусть 3^(0) — начальное приближение. Построим уравнение с параметром следующим образом:

А этот процесс в точности совпадает с итерационным процессом метода Ньютона -Рафсонз для уравнения Н (X) = 0 при начальном приближении

* <0> = л (0).

Метод продолжения решения по параметру в изложенном здесь виде может быть практически без изменений распространен на нелинейные краевые задачи, если считать, что Р(Х.Р) представляет оператор крае­ вой задачи, включающий ее уравнения и граничные условия, а дифферен­ цирование в соотношениях (В. 1.6), (В.1.8) понимать в смысле Фреше.

Дополнительные указания на литературу по методу продолжения реше­ ния по параметру можно найти в монографиях [481,366].

В.2. Проблема выбора параметра продолжения и ее связь с поведением решения в окрестности особых точек

Изложенные выше формы метода продолжения решения по парамет­ ру предполагают, что в рассматриваемом интервале значений параметра Р0 < Р < Рп определитель де!(/) матрицы Якоби системы уравнений (В. 1.1) отличен от нуля. Использование метода в окрестности особых точек, где йе!(/) = 0, требует особого обсуждения. Рассмотрим этот воп­ рос на примере алгебраической или трансцендентной системы уравнений. С учетом отмеченной выше общности форм дискретного и непрерывного продолжений будем исследовать задачу Коши' по параметру, не касаясь ее конкретной численной реализации в виде тех или иных разностных схем.

Здесь неизвестными являются производные ё Х ^ ё Р , / = 1, 2 , . . . . т. Отно-

.сительно них эта система уравнений линейна. В регулярных точках множест­ ва решений системы (В.2.1), где <1е1(У) Ф 0, система (В.2.2) разрешима.

Наряду с матрицей Якоби У = [ЬР^ЪХ^ , *,/ = 1 , .. . , т, будем рассмат­ ривать расширенную матрицу Якоби У, образованную путем присоедине­ ния к У справа вектора дР/ЬР = [ЪР^ЬР] , / = 1 , .. . , т .

Тогда решение системы (В.2.2) по правилу Крамера можно записать в виде

Заметим, что если матрица У- квадратная и имеет порядок т, то расши­ ренная матрица У — прямоугольная и имеет размеры т X (т + 1), т.е. составлена из т строк и т + 1 столбцов.

Ранг матрицы А размера т X п будем обозначать как гап§04). Он опре­ деляется числом линейно независимых столбцов или строк матрицы. При этом столбцы матрицы А удобно рассматривать как векторы в простран­ стве Кт , а строки - так же как векторы, но в пространстве Числа ли­ нейно независимых строк и столбцов матрицы всегда совпадают.

В регулярных точках множества решений системы уравнений (В.2.1) йе1(У) Ф 0, т.е. столбцы У образуют т-мерный (полный) базис в Кт . Поэ­ тому вектор 9Р/дР Е Кт будет линейно зависим по отношению к столб­ цам матрицы У, и его присоединение к ней при образовании У не изменит

В особых точках ситуация меняется. В них йе4 (У) = 0, поэтому гапв (У) = = г < т, т.е. среди т столбцов матрицы У линейно независимы только г столбцов, и они образуют в Кт г-мерный базис В>., который определя­ ет г-мерное подпространство Ьг Е Кт. Теперь если вектор ЬР/дР Е Ц., т.е. он линейно зависим с векторами базиса Вг,то

Точки, в которых вьшолняется это условие, принято называть предель­ ными. Особые точки, в которых гап{$(У) < т, будем называть сущест­ венно особым.

Ниже будет показано, что в предельных точках касательная к кривой К множества решений системы (В.2.1) в Кт+1 становится нормальной к оси 18