книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

Явную форму задачи Коши получаем из (1.3.38) методом ортогоналиэации

На рис. 1.15 представлены результаты интегрирования этой задачи с по­ мощью явных схем непрерывного продолжения. В .расчетах принималось а = 1 ,0 = 100, Й'ю = И'ю = 0,001. В табл. 1.1 дан перечень проведенных

условиями (1.2.19), (1.2.21), (1.2.23), соответствующими итерационным процессам, геометрия которых показана на рис. 1.6 - Щ . При шаге АЛ = = 0,1 вблизи точки В-1 отмечен "перескок” на соседнюю в^твь возмущенно­ го решения. При уменьшении шага вдвое (АЛ = 0,05), а также при исполь­

тимальном параметре продолжения. Представим исходную систему (1.1-1)

В качестве параметра продолжения выберем некоторый параметр ц, оп­ ределенный линейной комбинацией вида

Фиксируя различные наборы чисел ос{,1 = 1.........т + 1, мы можем рассмот­ реть все возможные параметры продолжения. Например, при « | = ... = а„ * = 0, ат + 1 = 1 параметром продолжения будет параметр Р = Ят + 1 А при

представлен в виде

Обусловленность системы (1.4.5) определяется чувствительностью ее ре­ шения к погрешностям. Рассмотрим простейший случай, когда с погреш­ ностью задана правая часть системы (1.4.5) в виде вектора

Тогда вектор погрешности 5 решения системы (1.4.5) с правой частью (1.4.9) по сравнению с решением без погрешности будет

Исследуем квадратичную погрешность <1 = (5, б ), которую с учетом (1.4.10) и (1.4.7) можно представить в виде

'"Б* (с1е<(/,))2

В этом выражении от а зависит только знаменатель - определитель Б системы (1.4.5). Ясно, что при изменении а погрешность й будет менять­ ся. Поэтому найдем такой вектор а, т.е. такой параметр продолжения, который обеспечивает минимум квадратичной погрешности. При этом для сравнимости параметров продолжения необходимо, конечно, чтобы все они были заданы векторами а одинаковой длины. Поэтому миними­ зацию й по а нужно проводить при условии

Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа, Для этого составим функцию Лагранжа

Здесь у - неопределенный множитель Лагранжа. Минимум этой функции достигается при

Отсюда получаем, что

т 2 ( й « </,))’

Неопределенный множитель Лагранжа у найдем, подставив щ в (1.4.12). В результате получим

С/=1

Таким образом, минимум квадратичной погрешности 62 достигается

что они совпадают с точностью до постоянного множителя. Если же выб­

параметр д, обеспечивающий минимальную погрешность при определе­ нии (1X1(1д из системы уравнений (1.4.5) (т.е. обеспечивающий максималь­ ную обусловленность этой системы), должен совпадать с самим иско­

Уравнение (1.4.22) в точности совпадает с уравнением непрерывного продолжения (1.1.8), и его решение методом ортогоналиэаиии (1.2 24)

Поэтому оптимальный параметр д совпадает с введенным в § 1.1 обоб­ щенным параметром продолжения X, который, как там было установлено, является параметром длины дуги множества решений К системы (1.4.1) (рис. 1.1).

Представление (1.4.21) подсказывает возможность выбирать в процес­ се продолжения решения параметр продолжения так, чтобы он был бли­ зок к оптимальному.

Пусть в начальной точке Х0 = 0 известно не только решение X (0) систе­

мы (1.4.1) ( Р ( X (о)) = 0), но и единичный вектор X «ц>л = а х ^ / а \ , касательный в этой точке к кривой К множества решений этой системы.

Выбрав До в качестве параметра продолжения, приходим к уравнениям продолжения решения в виде

Матрица /* = [ / т, ЛГ(0) ,\ ] Т этого уравнения в отличие от матрицы I

является квадратной и во всех точках, кроме точек ветвления, не являетсяя .вырожденной. Поэтому из (1.4.26) методом исключения можно пост­ роить явную форму задачи Коши по параметру д0, которую мы запишем

По мере продвижения по параметру д0 он, вообще говоря, все больше отклоняется_от оптимального. Об этом отклонении можно судить по дли­ не вектора Х ,Й9, который хотя и будет касательным к кривой К, но не бу­ дет единичным. Его длина будет тем больше, чем больше параметр д0 отклоняется от оптимального, так как его проекция на направление Зо, в. силу последнего уравнения в (1.4.26), всегда остается равной единице (рис. 1.17). Установим ограничение на это отклонение:

Здесь Х г11о берется в точке X - Х ^ у . Для такой смены параметра доста­ точно в матрице/* уравнения продолжения (1.4.26) в качестве последней строки взять вектор Х ^ у гк. Таким образом, процесс продолжения на

участке между X (ку и Х (к+1 ) сводится к интегрированию следующей начальной задачи:

При этом параметром продолжения цк является длина координатного вектора, заданного ортом ЛГ(Л) >\.. Как только условие (1.4.32) перестает выполняться, необходимо произвести смену параметра продолжения и пе­ рейти к продолжешш по параметру ц к+1, для чего нужно в этой точке построить^вектор Лг(^+1) (х, пронормировав полученный в этот момент вектор

а(А + 1) — Х ( к + 1)(Х - Х , ц к / ( Х ,р к , Х >Цк) 2 ,

иподставить Х (к+1 уг\ на место нижней строки матрицы уравнения (1.4.30). В качестве начального условия для продолжения решения на

новом участке берется вектор ЛГ(*+1) , полученный в результате интегри­ рования задачи Коши (1.4.30), (1.4.31) в момент, когда перестает вы­ полняться условие (1.4.32).

Построенный таким образом процесс продолжения решения системы (1.4.1) обеспечивает автоматический выбор параметра продолжения так, чтобы он все время был близок к оптимальному. В зависимости от того, явные или неявные схемы будут выбраны для интегрирования задачи Коши вида (1.4.30), (1.4.31), можно сформировать алгоритмы как непре-

рывного, так и дискретного продолжения. От алгоритмов, построенных в § 1.1, 1-2, они отличаются тем, что переход от неявной формулировки уравнений продолжения (1.4.30) к явной (т.е. разрешение этих уравнений относительно йХ!<1цк) не требует использования метода ортогонализации и может быть совершен с помощью метода исключения Гаусса всюду, кроме точек, где <1е1(/*) = ( -1 ) т + 1 Б = 0. Легко видеть, что это условие выполняется в регулярных и предельных точках множества решений К. В этих точках матрица ^ - невырожденная, так как имеется хотя бы один определитель из беТ (/у), I = 1, . . . , т + 1, не равный нулю, а условие (1.4.32) обеспечивает такой выбор параметра продолжения (т.е. вектора

Мы здесь не приводим алгоритмов, реализующих процессы непрерыв­ ного или дискретного продолжения решения как процессы интегрирования задачи Коши вида (1.4.30), (1.4.31). При необходимости читатель легко построит их по аналогии с алгоритмами § 1.1, 1.2.

Обратим внимание на то, что при заданиях а,- (/ = 1, . . . , т + 1) урав­

К поиску ее решения можно применить все методы продолжения реше­ ния, которые обсуждены выше. Так, например, алгоритм дискретного продолжения в форме М. Лазя (В.1.7), (1.2.9) с учетом конкретного ви­ да уравнения (1.4.2) (последнего уравнения в (1.4.33)) принимает форму

* (* )■ ■ * (* —1);

(1.4.34)

В этом алгоритме решение системы (1.4.34) представим в форме

(1.4.36)

где А Х $ +1^ - решение системы уравнений

а Д У *0'+ 1> _ П»1|№|П»>|<Ш>Г(>ММ

(1.4.38)

Сравнивая представления (1.4.36) и (1.2.30), замечаем, что они совпада­

чения. При этом для корректировки при к = к + 1 параметра р, т.е. для выбора вектора ак+1, определяющего близкий к оптимальному параметр

При этом трудоемкость алгоритмов практически не увеличится. Если же в методе исключения учесть, что матрицы систем (1.4.37) и (1.4.38) оди­ наковы, то можно построить и более экономичные алгоритмы.

1.5.Формы метода продолжения решения

счастичной оптимизацией параметра продолжения

Во многих случаях при реализации процесса продолжения решения оп­ тимизация параметра продолжения требует существенного увеличения трудоемкости при переходе от неявной формулировки задачи Коши по

I = 1, .. -, т . Ортогонализация строк такой матрицы приведет к ортого­ нальной, но полностью заполненной матрице. А это потребует существен­ ного увеличения памяти ЭВМ. Для того чтобы уменьшить трудоемкость ортогоналиэации и сделать ее сравнимой с трудоемкостью метода Гаусса для ленточной матрицы, необходимо разработать специальные приемы ортогоналиэации, учитывающие ленточный характер матрицы ^

В то же время часто из физического смысла задачи или в результате пробных расчетов можно определить некоторое небольшое число пере­ менных, комбинируя которые удается при продолжении решения избе­ жать трудностей, возникающих в предельных точках. Покажем, как можно оптимизировать процесс продолжения решения в подпространстве, опреде­ ленным этими переменными. Будем считать, что необходимо оптимиэировать_процесс продолжения решения по последним <7 компонентам векто­ ра X. Тогда евклидово пространство Кш+1 можно представить в виде прямой суммы двух подпространств

Здесь Ьч -<7-мерное подпространство, натянутое на векторы д последних