книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

На рис. 4.7 —4.10 показаны полученные с использованием такого алго­ ритма кривые деформирования Р(М) и деформированные формы арок с 00 = 22,5°; 45°; 67,5°; 90°. При этом рассмотрены как симметричные относительно середины, как и несимметричные деформированные фор­ мы. Симметричные формы показаны для половины арки, а в расчетах они получены двумя способами:

1)по расчетам для полной арки с постановкой граничных условий (4.3.3) шарнирного опирания по обоим концам арки;

2)по расчетам для половины арки с постановкой граничных условий (4.3.3) для конца и условий симметрии для центральной точки 0=0

Результаты по обоим способам совпали.

Для того чтобы получить решения на ветвях, соответствующих возму­ щенным решениям, и перейти к эакритнческим деформациям арки, вбли­ зи точек бифуркации вводились возмущения на нагрузку. Так, для сим­ метричных форм нагрузка принималась в виде

Представленные на рис. 4.7-4.10 кривые соответствуют значению пара­ метра с = 10"5 При других значениях с для непологих арок кривые Р (КО и формы деформирования отличаются от приведенных только на началь­ ном участке, при малых прогибах. Влияние растяжимости оси, которое тем больше, чем больше с, становится существенным только для поло­ гих арок.

Численное решение выявило, что у арок с 0О= 75° начальный этап эакритического деформирования является устойчивым. Так для арок с 0о = 9О° (рис. 4.10) рост прогиба сопровождается ростом нагрузки до ве­ личины Й^ = и'(0)/Л = 0,75. И только для больших прогибов равновесие форм закритического деформирования становится неустойчивым.

Критические значения параметра Р для непологих арок близки к ре­ зультатам, полученным при решении задачи об устойчивости нерастяжи­ мой арки (§ 4.2). При этом критическая нагрузка линейного решения незначительно превышает критическую нагрузку, вытекающую нэ нели­ нейного решения. Расхождение увеличивается с увеличением параметра растяжимости с. Однако, пока с < 1(Г3, в рассмотренных случаях это расхождение не превышает 5%.

Заметим, что возможны и такие симметричные формы деформирования, когда выворачивание арки начинается не с ее середины, а с краев. Чтобы их получить, нужно изменить характер возмущения, поменяв знак в сумме (4.3.19). Кривые деформирования для этого случая здесь не приводятся.

4.4.Большие прогибы круговой арки

при взаимодействии с жесткой полуплоскостью

Рассмотрим симметричную деформацию круговой арки жесткой полу­ плоскостью (рис. 4.11) [352]. Задачу будем решать на основе уравне­ ний (4.3.2), обозначив нормальную распределенную нагрузку взаимо­ действия арки с полуплоскостью через цп. При этом трением будем

пренебрегать, что равносильно отсутствию касательных усилий: ^ т= нения (4.3.2) принимают вид

Эти уравнения имеют точное решение, которое соответствует недеформированному состоянию арки, когда плоскость касается ее верхней точки без контактных усилий:

В силу симметрии деформации арки в средней ее точке при 0 = 0 имеют место условия симметрии

или жесткое защемление. Для шарнирного закрепления граничные усло­ вия имеют вид

Нетрудно видеть, что возможны три вида контакта арки с полуплоскостью. Сначала контакт происходит в точке симметрии арки. Потом появляется

область АВ, в которой арка прилегает к плоскости (положение 1 на рис. 4.11). При этом в области контакта ось арки прямолинейна и имеют место соотношения

У= соп$1, Л/^сопй, (2 =К = 9 = 0.

Легко проверить, что эти соотношения являются точным решением урав­ нений (4.4.1) при цп =0. Это обстоятельство позволяет сразу сделать вы­ вод, что прилегание арки к полуплоскости происходит без контактных усилий внутри области контакта. Поэтому контактные усилия могут реали­ зоваться только в виде двух сосредоточенных нормальных к оси арки усилий Р на границах области контакта.

При дальнейшем деформировании арки продольное усилие N в области контакта может достичь сжимающих критических усилий, что повлечет за собой потерю устойчивости средней части арки и ее отрыв от полуплос­ кости. В этом случае контакт становится двухточечным, как это имеет место для положения 2 на рис. 4.11.

Обозначим координату контактной точки через 0е и введем в соответ­ ствии с соотношениями (4.1.15) безразмерное контактное усилие

Тогда условия сопряжения двух частей арки в точке контакта примут вид при 0 =0С

краевая задача для уравнений (4.4.1) с граничными условиями (4.4.4) или (4.4.5) и условиями (4.4.7) в точке контакта представится в виде

ции 2 и два параметра Рс и 0С. Причем 0С входит в краевую задачу осо­ бым образом, так как координата 0 = 0С определяет положение скачка вектор-функции 2, определенной условием (4.4.11) при одновременном выполнении условия (4.4.12), равносильного требованию 0(0С) = 0. При решении пошаговых линейных краевых задач метода продолжения прогоночными методами интервал [0, 0О] изменения координаты 0 для чис­ ленного построения системы фундаментальных решений разбивается на фиксированное число участков. Поэтому при таком подходе 0С может принимать только дискретные значения, равные координатам границ участ­ ков. Это обстоятельство не позволяет применять дифференцирование по Ре и поэтому позволяет использовать только методы дискретного продол­ жения. При этом, поскольку известна последовательность значений 0С, необходимо строить решение задачи (4.4.9)-(4.4.12) для ряда заданных значений параметра 0СЧ Все это приводит нас к схеме метода продолже­ ния (1.2.9), предложенной Лаэем [447, 448]. Эта схема состоит в приме­ нении метода Ньютона при фиксировании значения параметра Рс = Р(к)> при этом в качестве начального приближения используется решение для предыдущего значения 0С = Р(к-1) ■Обозначим через 2 и Ре значения иско­ мых вектор-функции 2 (0) и параметра 7^ на Ц - 1)-м приближении метода

‘^Следует отметить, что такой подход не является единственно возможным. Мож­ но, например, ставить эту задачу, как задачу сопряжения двух участков балки в точ­ ке контакта. Тогда ре будет меняться непрерывно, что дает возможность реализовать схемы непрерывного продолжения решения.