книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

конус пересекается с плоскостью р3 = 1/\/| Хз(,) I- Очевидно, что вюрое уравнение будет удовлетворяться тогда и только тогда, когда вектор р(?) будет совпадать с линиями пересечения конусов. Таким образом, задача нахождения действительных корней уравнений (2.7.6) сводится к опреде­ лению корней тригонометрического уравнения

рех. Корни, соответствующие пересечению и касанию конусов, легко разде­ лить. При пересечении конусов прохождение корня при изменении у сопро­ вождается изменением знака функции /(</>), а при касании знак не ме­ няется.

Эти уравнения снова являются уравнениями конусов, только в отличие от случая 1 ось первого из конусов направлена вдоль осир! ,а не р3. Поэтому этот случай может быть сведен к случаю 1соответствующей перенумераци­ ей переменных.

либо в прямые, либо в плоскости. Это облегчает поиск действительных

Множество решений второго уравнения в пространстве {р 1# р2, Р з) обра­ зует по-прежнему конус. А решения первого уравнения образуют две плоскости

Подстановка каждого из этих соотношений во второе уравнение (2-4.14) сводит задачу к однородному квадратичному уравнению относительно р2 ир3 вида

Таким образом, в каждой из плоскостей (2.4.15) в >А3 задача установ­ ления ветвей решения сводится к задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе.

В заключение отметим, что, как следует из изложенного, когда размер­ ность пространства активных переменных (1 > 2, для установления ветвей решения в особой точке необходимо рассматривать большое количество различных ситуаций. Это делает задачу анализа решений в такой особой точке громоздкой и весьма трудоемкой при практической реализации. Общая теория этого вопроса, как нам кажется, далека от своего заверше­ ния. Для более детального ознакомления, кроме отмечавшихся ранее книг [53, 212], можно рекомендовать монографию В,И. Арнольда, А.Н. Вар­ ченко и С.М. Гусейн-Заде О , а также Ж. Йосса и Д..Джозефа 2) . На практи­ ке часто и эффективно используют возмущенные решения. Примером тако­ го подхода является численное решение о поведении трехстержневой систе­ мы, приведенное нами в § 1.3.)*

М.: Мир. 1983. - 301 с.

Г ЛАВА 3

МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ

ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Многие задачи механики твердого деформируемого тела сводятся к нелинейным краевым задачам с параметром для обыкновенных дифферен­ циальных уравнений. Некоторые примеры таких задач будут рассмотрены в следующей главе. Здесь же мы сформулируем алгоритмы метода продол­ жения решения по параметру, учитывающие специфику такого рода крае­ вых задач.'

Возможны различные подходы к решению нелинейных краевых задач. Широкое распространение здесь полу<гили проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ригца, а также разностные и вариацион­ но-разностные методы, такие как метод конечных разностей и метод ко­ нечных элементов. С помощью всех этих методов нелинейные краевые задачи сводятся к системам нелинейных алгебраических или трансцен­ дентных уравнений с параметром, для решения которых непосредственно применимы алгоритмы продолжения решения по параметру, разработан­ ные в гл. 1. Такие подходы предлагались А.А. Курдюмовым [232]. И.И. Воровичем и В.Ф. Зипаловой [69] и др.

Другой подход связан со сведением нелинейных краевых задач к реше­ нию последовательности линейных краевых задач. В рамках метода про­ должения решения по параметру он реализуется непосредственным приме­ нением процедуры метода к исходным уравнениям. Первый шаг в направ­ лении такого использования процедуры продолжения решения был сделан В.З. Власовым и В.В. Петровым при формулировке алгоритма метода последовательных нагружений [276].

При таком применении метода продолжения решения к одномерным нелинейным краевым задачам они сводятся к последовательности одно­ мерных линейных краевых задач, которые являются удобным объектом для решения методами типа прогонки. Сейчас отработано несколько ва­ риантов метода прогонки, обеспечивающих высокую точность решения при приемлемой трудоемкости [35]. Мы будем использовать дискретную ортогональную прогонку С.К. Годунова [88] -

В этой главе будут рассмотрены особенности алгоритмов продолжения решения по параметру при применении их к одномерным нелинейным крае­ вым задачам с учетом решения линеаризованных краевых задач методом

ортогональной прогонки. Для того чтобы эффективно использовать пре­ имущества обобщенных форм метода продолжения решения гл .1, необхо­ димы некоторые изменения традиционного алгоритма ортогональной про­ гонки, который дан С.К. Годуновым в основополагающей статье [88] и подробно освещен во многих руководствах по численным методам [35, 123,37] и др. Необходимость и существо этих изменений будут выяснены при анализе решения методом начальных параметров, который существенно используется в методе ортогональной прогонки. Видоизмененный алгоритм последнего метода будет использован при построении алгоритмов непре­ рывного и дискретного продолжения решения нелинейных одномерных краевых задач.

3.1.Непрерывное продолжение решения

внелинейных одномерных краевых задачах

Рассмотрим краевую задачу для системы нелинейных обыкновенных

Будем считать, что краевая задача (3.1.1), (3.1.2) имеет решения для некоторой области значений параметра Р и для некоторого значения? =Р0

В соответствии с основной идеей метода продолжения по параметру

= [г1 ф ), . . . , гт ф )]т и параметр р. Такие соотношения получим, про­ дифференцировав по X краевую задачу (3.1.1), (3.1.2). В результате Ъля правых частей уравнений (3.1.6) имеем линейную краевую задачу

ца-функция и вектор-функция, компоненты которых определяются соот­ ношениями

Опыт применения этого метода для решения линейных и нелинейных задач теории оболочек и пластин (см., например, [174,123]) п оказал его устой­ чивость и высокую эффективность при достаточной экономичности к а к по числу операций, так и по памяти ЭВМ. О днако для и спользования метода ортогональной прогонки в рамках обобщенных алгоритм ов продолж ения решения гл. 1 в его процедуру необходимо внести некоторы е изм енения. Для того чтобы существо этих изменений не затенялось деталям и, связан ­ ными с дискретной ортогонализацией решений, рассм отрим сначала реше­ ние метода начальных параметров, форма представления которого сущ ест­ венно используется в методе ортогональной прогонки.

Метод начальных параметров предполагает представление решения

Обратим внимание на то, что в уравнениях (3.1.7) величина р также под­

В пространстве К,+, введем вектор с = [с*,. .. , с;,р]т Задача метода начальных параметров состоит в определении такого вектора с, при кото­ ром функция 2 (3.1.10) была бы решением краевой задачи (3.1.7), (3.1.8). тл. удовлетворяла бы также и условию Вх 00 = 0. Из векторов х О) (&).

/ = 1 , . . . , / + 1, являющихся значениями вектор-функций х при 0 = &

тот же смысл, что и уравнение продолжения ( 1.1.8) для системы нелиней­ ных уравнений (1.1.3). Действительно, определяемому из уравнений (3.1.15) вектору с Е К /+1 в силу соответствия, установленного представле­

Здесь стрелкой обозначено это соответствие, установленное представле­ нием (3.1.10). _

Поэтому мы и обозначили матрицу В й через / , т.е. так же, как и матри­ цу уравнений продолжения (1.1.8).

Так как матрица В имеет размеры / Xт , а матрица О - (/ + 1) Хш, то

размеры матрицы/ будут / X (/ + 1). Таким образом, уравнения (3.1.14) представляют собой систему из / однородных линейных алгебраических уравнений относительно / + 1 неизвестных компонент вектора с = [с), . . .

. . . , С/,р]т Е К*+1. В регулярных и предельных точках множества решений нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1.2) гап §(/) =/, поэтому подпрост­ ранство в Я ,+1, которому принадлежат решения уравнения (3.1.15), одно­ мерно. В дальнейшем под с будем понимать орт этого подпространства. Как было показано в § 1.1, определение с из уравнений (3.1.15) методом ортогонализации устраняет различия между регулярными и предельными точками и равносильно использованию на каждом шаге продолжения ре­ шения такого параметра, который обеспечивает максимальную обуслов­ ленность систем уравнений (3.1.15). Для операции нахождения единичного вектора с, ортогонального векторам-строкам матрицы / , воспользуемся обозначением (1.1.24)

Как отмечалось в § 1.1, вычислительная погрешность решения системы (3.1.15) будет тем меньше, чем ближе 0 к искомому вектору с.

Для решения системы уравнений (3.1.15) можно применить и подходы, разработанные в § 1.4 и обеспечивающие продолжение решения спараметром, близкими оптимальному.

Рассмотрим подробнее установленное соотношением (3.1.10) соответ­ ствие (3.1.16) между функционально-векторным пространством ( г ,р ) и векторным пространством К./+1. По смыслу процесса продолжения реше­ ния по параметру вектор с является функцией параметра X, т.е.

с = с(Х).

Таким образом, определенное параметром Р функциональное пространство решений нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1.2) отображается на мно­ жество С(Х), которое в силу непрерывности с(Х) и выражения (3.1.20) представляет собой кривую К. в векторном пространстве К/+1. Параметр X в силу (3.1.20) приобретает смысл длины этой кривой К, а вектор с являет­ ся ортом касательной к К. Эти геометрические образы позволяют нам для нелинейных краевых задач использовать результаты гл. 1. Примеры алго­ ритмов непрерывного продолжения решения краевой задачи (3.1.1) ,(3.1.2) будут даны ниже в § 3.4 после того, как будет сформулирован алгоритм дискретной ортогональной прогонки, учитывающий особенности представ­ ления решения в виде (3.1.10).

3.2.Дискретное продолжение решения

внелинейных одномерных краевых задачах

Обратим внимание на то, что обобщенные алгоритмы дискретного про­ должения решения уравнения Р (Х ) =0 содержат в качестве основного элемента решение системы уравнений (1.2.16), (1.2.22), (1.2.26), кото­ рую мы здесь для X = X* запишем в виде

подчеркивает тот факт, что если итерационный процесс (3.2.2) сходится,

неаризацией [384].

Пусть -2 ~ значения искомой вектор-функции 2 ( Л) и пара­

метра Рк на / -й итерации при Х = Х*. Тогда на (/ + 1)-й итерации кваэили-

если итерационный процесс сходится, то он сходится к решению исхопной нелинейной краевой задачи (3.1.1), (3.1.2). Действительно, если 2 ^ )

Оно позволит выявить особенности, которые необходимо учесть при пост­ роении решения методом дискретной ортогональной прогонки.

Решение методом начальных параметров линейной краевой задачи (3.2.6) , (3.2.7) представим в форме, учитывающей наличие в правой части уравнения (3.2.6) слагаемого с множителем Рк ,+ 1К который подлежит

Уравнение (3.2.15) в нелинейной краевой задаче является в определен­ ной степени аналогом уравнений (1.2.16), (1.2.22) н тл. дискретного про­ должения решения. Более полной аналогии удается добиться при форму­

лировке задачи квазилинеаризации для приращений Д7 ^ 1 * =7 ^ 1* - 7

Но такая формулировка оказывается неудобной для практической реали­ зации из-за наличия в правой части слагаемого (? [())'

Уравнение (3.2.15) представляет собой систему из / линейных алгебраи­ ческих неоднородных уравнений относительно / + 1 неизвестных компо­

ческое подпространство решений в векторном пространстве И/+1. И мы далее под будем понимать орт этого подпространства.

Как и при непрерывном продолжении решения, воспользуемся теми возмояяостями, которые дает толкование представления решения (3.2.9) как отображения функциональновекторного пространства { 2 ,Р } на (/ + 1 )-мерное векторное пространство К/+1 постоянных интегрирования

А эта краевая задача с точностью до обозначений совпадает с краевой за­ дачей (3:1.7), (3.1.8) непрерывного продолжения. Таким-образом, вектор с</)+1> в итерационном процессе сходится к вектору <?(*) =с(Х (*)),

являющемуся, как это показано в § 3.1, ортом касательной к кривой К, на которую отображается в К/+1 решение нелинейной краевой задачи

воляет выбрать его значение на каждой итерации так, чтобы отображение итерационного процесса (3.2.6), (3.2.7) в пространстве К /+1 обладало теми же свойствами, что и итерационные процессы дискретного продолже­ ния, построенные в § 1.2. Так, условие, эквивалентное условию (1.2.19),