книги / Математические методы моделирования в геологии

в известных предположениях относительно е и описание случайной части е при некоторых предположениях относительно f(jc, >»). Глав­ ной задачей изучения пространственных закономерностей является описание неслучайной (закономерной) компоненты поля, отра­ жающей уровень его значений, характерный для отдельных частей изучаемой территории.

Неслучайная компонента, характеризующая основную часть моделируемого геологического поля, называется его фоном. Фоно­ вая часть поля выявляет область относительно повышенных или пониженных значений изучаемого признака и несет в себе полез­ ную геологическую информацию о природе изучаемого геологиче­ ского объекта. Для выделения фона необходима генерализация ос­ новных свойств поля с подавлением более или менее существенных частных отклонений. В каждом конкретном случае отклонения от фона рассматриваются как аномальные.

Методы выделения фоновой части геологического поля с раз­ делением неслучайной и случайной составляющих изучаемых при­ знаков по эмпирическим данным получили название анализа по­ верхностей тренда.

В геологической практике для целей тренд-анализа используют два разных методических подхода: 1) сглаживание исходных дан­ ных скользящими статистическими окнами; 2 ) аппроксимация по­ лей единой функцией пространственных координат (ортогональны­ ми полиномами и др.). Методы скользящих средних более универ­ сальны и обеспечивают лучшие оценки средних параметров пространственно ограниченных участков геологических полей по сравнению с методами полиномиального тренд-анализа исход­ ных данных, которые используются преимущественно для выявле­ ния региональных геологических закономерностей.

Относительный характер закономерной и случайной состав­ ляющих наблюдаемой изменчивости признаков оказывает заметное влияние на результаты тренд-анализа геологических полей. В связи

с этим, в зависимости от масштабов, целей, задач и условий иссле­ дований, под их фонами могут подразумеваться поверхности тренда различной степени плавности, а под аномалиями-любые отклоне­ ния от фона, превышающие заданный условный уровень.

4.5. Геометрические методы выявления закономерных составляющих признаков

Геометрическис методы, предложенные П. К. Соболевским для описания закономерностей пространственных изменений призна­ ков, как и статистические методы, не обеспечивали объективной оценки их изменчивости. Если статистические методы не учитыва­ ли влияния плавных, закономерных изменений, то геометрические методы игнорировали влияния многочисленных случайных откло­ нений по отдельным пунктам наблюдений.

Разработанные П. К. Соболевским методы геометризации зем­ ных недр включают комплекс графоаналитических операций с чис­ ленными характеристиками геологических объектов. Исследуемую часть пространства недр П. К. Соболевский рассматривал как «гео­ химическое поле», в пределах которого совокупность наблюдаемых форм, свойств и процессов может рассматриваться в аспекте един­ ства ее геологического генезиса.

Геометрическая модель П. К. Соболевского основывается на представлении о функциональных связях наблюдаемых геологи­ ческих параметров с пространственными координатами. Им сфор­ мулированы принципы геометрического моделирования геологиче­ ских полей, согласно которым значения изучаемого признака в точках наблюдений могут рассматриваться, как функция про­ странственных координат а = f(x, у, z), функция а = f(x, у , z) должна удовлетворять условиям однозначности, непрерывности и плав­ ности.

Функция называется однозначной, если она пересекается с нормально восстановленной из точки плоскости или линии про­ ецирования сечения поля один раз; непрерывной, если незначитель­ ному изменению координат пространства соответствует столь же незначительное изменение свойства; плавной, если она дифферен­ цируема в каждой точке пространства.

Геометрическое моделирование числовых значений геологиче­ ских параметров производится графически с помощью изолиний. На планах или разрезах изолинии образуют топографические по­ верхности, которые рассматриваются как топофункции. П. К. Собо­ левским была показана возможность математических действий с топофункциями и разработаны оригинальные математические операции с ними, включающие любые арифметические и алгебраи­ ческие действия. Среди них при геометрическом моделировании полей наиболее широко распространены сложение-вычитание, ум­ ножение-деление и дифференцирование-интегрирование аппрокси­ мирующих топофункций.

Сложение-вычитание функций используется для оценок мощ­ ностей геологических тел, построения аддитивных геохимических ореолов различных элементов и др.

Умножение-деление функций применяется при расчетах ком­ плексных геохимических и геофизических полей и при оценках продуктивности скоплений полезных ископаемых.

Дифференцирование функций используется для определения скоростей изменения признаков, то есть для расчета его градиентов, а интегрирование - при расчетах средних значений параметров.

Методы геометрического моделирования широко применяются в геологической практике, так как они весьма наглядны и способст­ вуют пространственному восприятию изучаемых закономерностей. Однако в них отражаются особенности только неслучайной состав­ ляющей изменчивости признаков и полностью игнорируются про­ явления многочисленных случайных отклонений. Поэтому методы геометрического моделирования не позволяют оценивать достовер­ ность установленных пространственных закономерностей и вычис­ ляемых средних значений.

4.6. Способы сглаживания случайных полей

Совокупности многих наблюдаемых признаков часто не удов­ летворяют требованиям непрерывности и плавности. В таких случа­ ях П. К. Соболевский рекомендует сглаживать их скользящими ста­ тистическими окнами, размеры которых должны подбираться эм­ пирически, в зависимости от характера исходных данных. Позже

го из жильных месторождений (рис. 13).

Неслучайная изменчивость свойств реальных геологических тел полезных ископаемых обычно настолько сложна, что выразить ее аналитически как функцию координат пространства не удается. По достаточно большому числу измеренных значений она может быть выражена геометрически в виде профилей или топографиче­ ских поверхностей.

Обычно обе составляющие изменчивости признака наблюда­ ются в природных геологических телах совместно. Для разделения общей изменчивости признака на ее случайную и закономерную составляющие П. Л. Каллистовым было предложено сглаживать эмпирические данные по разведочному профилю способом «сколь­ зящего окна». В результате такого сглаживания закономерная из­ менчивость выявляется в виде плавной кривой, которая может быть описана функцией синусоидального типа, а для характеристики случайной изменчивости используется коэффициент вариации, вы­ численный через отклонения каждого частного значения от сколь­ зящей средней, то есть уровня неслучайной изменчивости.

Для решения аналогичной задачи не по профилям, а по площа­ ди, по точкам среднеарифметических значений признака, рассчи­ танным для центров разведочных ячеек путем двухили трехкрат­ ного сглаживания, проводятся изолинии, а дисперсия случайной составляющей рассчитывается через отклонения фактических зна­ чений от соответствующих изолиний. Способы сглаживания исход­ ных данных методом скользящего окна представляют собой

не строго математический, а лишь описательный прием. При сгла­ живании ряда в него всегда вносится некоторая ложная взаимозави­ симость между отдельными членами, обусловленная техникой про­ цесса сглаживания. Характер скользящей средней зависят от числа проб в скользящем окне, а также от числа последовательных сгла­ живаний. Дисперсии случайной составляющей, вычисление при по­ следовательном сглаживании от скользящих средних, зависят не только от свойства исследуемого ряда, но также от способа сглаживания. Поэтому без учета условий эксперимента они не могут использоваться в качестве объективных критериев оценки доли случайной составляющей.

Общая формула простейшего (невзвешенного) способа сглажи­ вания исходных данных может быть записана как

O(X,J 0= и = - ! > , , И ы

где х, у - координаты центра скользящего окна; п - число точек в сглаживающем окне.

Поскольку при увеличении числа точек в скользящем окне по­ лучаемая скользящая средняя все больше маскирует и сдвигает на­ блюдаемые точки максимальных и минимальных значений призна­ ка, в практике широко используются способы взвешенного сглажи­ вания исходных данных, которые обеспечивают лучшую аппроксимацию эмпирических кривых или поверхностей. В общем виде формула взвешенного сглаживания записывается как

Ф (д ^)= и = Э £ * & т1 )|/& л ).

где х, у - координаты центра площадки трансформации; АГ(£,,г|) - коэффициенты, зависящие от координат £,,г| точки задания поля в пределах площадки трансформации; £/(£,,г|)- наблюдаемые зна­ чения признаков в соответствующих точках площадки трансформа­ ции; В - нормировочный множитель.

Так, например, В. Ф. Мягков рекомендует следующую форму­ лу сглаживания по пяти последовательным точкам ряда: Uj = 0,0625(м,_2 + 4м(_, + 6и,- + 4им +ы,+2).

В зарубежной геологической практике широко распространены сглаживающие преобразования Вулхауса, Спенсера, Шеппарда

идр. В формуле Вулхауса использованы результаты 15 последова­ тельных наблюдений, по семи наблюдений в каждую сторону от величины щ, которую необходимо сгладить:

и'0 =y^j[25w0+ 24(м, + ы_,) + 21(м2 +и_2) + 1(и3+м_3) +

+3(м4 + м_4) - 2(м6 + и_6- 3(ы7 + м_7)].

Вформуле Спенсера используется по 10 значений с каждой стороны:

ио ^ [ б О 0и +57(MJ + и _ , ) + 47(м2 + ы _2 4-3 3 (1/3 + и_з) +

+18(«4 + м_4 ) + 6(м5 + м_5) — 2( и 6 + ы_6 ) -

- 5(м7 + и_7) - 5(ы8 + м_8) - 3(м9 + м_9) - (м10 + ы_10)]

При комплексном изучении геологических полей, когда одно­ временно фиксируется несколько свойств, скрытые закономерности могут быть выявлены с помощью способа «скользящей корреля­ ции». Он основан на расчете коэффициентов корреляции между значениями исследуемых свойств в пределах площадок трансфор­ мации. Карта коэффициентов корреляции между содержаниями оп­ ределенных минералов в обломочных толщах позволяет наметить направление поступления обломочного материала, а графики или поля изменения коэффициентов корреляции между различными фи­ зическими свойствами помогают интерпретировать результаты гео­ физических работ при геологическом картировании.

Пример. Молибденовое оруденение скарнового и грейзенового типов приурочено к лейкократовым гранитам, над которыми от­ мечается незначительное повышение удельного электрического сопротивления (рА) и понижение уровня гравитационного поля

(Ag). Однако выделение рудовмещающего интрузива по какомулибо признаку оказывается затруднительным. Между значениями рк и Ag были вычислены коэффициенты корреляции по участкам профиля протяженностью 500 м. По графику изменения коэффи­ циентов корреляции рудоносный интрузив четко выделяется по­ ниженными значениями г.

Способы, основанные на сглаживании или преобразовании ис­ ходных данных, просты и наглядны, но обладают существенными недостатками:

-они не дают объективных количественных критериев для оценки значимости выявленных закономерностей. Вопрос о нали­ чии закономерностей решается по виду сглаженных поверхностей или графиков. При этом «закономерности» могут быть отмечены даже в заведомо случайных данных, так как процесс сглаживания обусловливает корреляцию между соседними значениями;

-результаты сглаживания существенно изменяются в зависи­ мости от вида преобразования и размера площадки трансформации. Выбрать оптимальный способ преобразования можно либо путем перебора множества вариантов, либо с помощью привлечения до­ полнительной информации о характере изменчивости изучаемого свойства;

-любое преобразование обладает селективными свойствами только по отношению к закономерностям, близким по размеру с площадкой трансформации. Поэтому для выделения в наблюдае­ мой изменчивости закономерностей разного масштаба необходимо использовать различные варианты преобразований.

4.7. Анализ карт

Геологи проводят свои исследования в реальном трехмерном мире, однако представления о нем в значительной степени остаются двухмерными. Это является следствием того, что третье измерение, роль которого в геологии обычно играет глубина, нередко бывает лишь частично доступно для изучения по сравнению с другими из­ мерениями.

Несмотря на то, что карты являются важнейшим средством обучения и работы геологов, вопросы механизации и некоторые математические вопросы изучены весьма слабо.

Построение геологической карты - своего рода искусство, в ко­ тором проявляется талант исследователя. Однако иногда на геоло­ гических выводах сказывается влияние персонального фактора, от­ ражающего взгляды исследователя, что значительно снижает объ­ ективность построения карт на ЭВМ препятствует действию персонального фактора при их интерпретации.

Анализ поверхностей тренда - один из широко применяемых в геологии математических методов.

Существующие схемы расположения точек на картах удобно разделить на три категории:

-равномерные;

-случайные;

-групповые.

Схема точек на карте называется равномерной, если плотность точек в любой другой подобласти того же размера и точки образуют какой-либо вид сети.

Случайная схема возникает в том случае, если любая подоб­ ласть одного размера обладает одной и той же вероятностью появ­ ления в ней точки и появление одних точек не влияет на появление других.

Равномерность расположения точек является важным услови­ ем, необходимым для применения многих видов анализов, в частно­ сти тренд-анализа. Достоверность карты находится в прямой зави­ симости от плотности и равномерности, расположения точек на­ блюдения. Однако большинство геологов оценивают распределение точек наблюдения лишь с качественных позиций. Критерии, приме­ няемые для определения равномерности очень просты, но, к сожа­ лению, многие геологи не подозревают об их существовании.

Всю карту можно разбить на множество подобластей равного размера так, что каждая подобласть (квадрат) будет содержать не­ которое множество точек. Если точки наблюдения расположены равномерно, то каждый квадрат будет содержать одно и тоже число точек. Эту гипотезу об отсутствии существенных различий в числе точек для каждой подобласти можно проверить с помощью крите­ рия х2, который теоретически не зависит от формы и ориентировки подобластей.

Данный критерий эффективен, когда число квадратов доста­ точно велико, и в каждом из них содержится не более 5 точек. Ожи­ даемое число точек в каждой подобласти (Е) будет равно отноше­ нию общего числа точек наблюдения к числу подобласти.

Критерий х2 для проверки гипотезы о равномерности распреде­ ления точек определяем по формуле

1= &

где 0 - наблюдаемое число точек в подобласти.

Критерий х2соответствует Р - т - 2 степеней свободы, где т - число подобластей; Р - доверительная вероятность.

Если плотность точек на карте невелика и точки обладают тен­ денцией к группировке, а число участков на карте большое (больше 100), то возникает групповая схема точек. При проверке гипотезы о случайности расположения в таком случае можно воспользоваться распределением Пуассона (законом редких явлений).

4.8. Метод ближайшего соседа

Существует еще один способ исследования подобластей, на которые разбита область, и называется он методом ближайшего соседа.

Анализируемые в этом случае данные представляют собой не множество точек, расположенных внутри некоторой области, а расстояние между наиболее близкими парами точек. В условиях случайного распределения точек на плоскости математическое ожидание между каждой точкой и ближайшей к ней соседней точ­ кой определяется по формуле

I = 2 V P ’

где Р - плотность точек в изучаемой области.

Плотность точек определяется как число точек, приходящихся на единицу площади, причем площадь измеряется квадратами еди­ ниц, используемых для измерения расстояний между точками. На­ пример, если расстояние между точками измеряется в километрах, то Р подсчитывается как число точек, приходящихся на квадратный километр.

Можно также измерить расстояние между каждой точкой и со­ ответствующей ей ближайшей соседней точкой и вычислить на­

блюдаемое среднее значение этих расстояний D :

х

Это отношение представляет собой статистику метода бли­ жайшего соседа, которая принимает значение в интервале от 0 до 2,15, где 0 соответствует случаю, когда все точки сведены в одну и расстояние между ними равно 0. Если критерий равен 1, это соот­ ветствует случайному расположению точек, а максимальное значе­ ние 2,15 характеризует распределение точек, имеющих тенденцию к рассеиванию.

Если точки расположены случайно, то теоретическое значение статистического отклонения оценки среднего расстояния между ближайшими точками будет определено следующим выражением:

0,26136

" г = W P ’

где N - число измерений расстояний между парами точек. Располагая значениями х , D , стг , можно построить критерий

для проверки гипотезы о случайном распределении рассматривае­ мого набора точек:

стг

Нулевая гипотеза должна быть отклонена, если Z превышает допустимое значение, соответствующее заданному уровню значи­ мости.

4.9. Поверхности тренда

Для построения карт достаточно часто испОЛЬзуется тренданализ. Это чисто геологическое понятие математического метода разделения двух компонентов - систематического Ч случайного - по эмпирическим данным. Систематическая составляющая отража­ ет региональную или общую геологическую обстановку, случайная - мелкие локальные отклонения от региональных закономерностей-