книги / Математические методы моделирования в геологии

Стационарная случайная функция отличается постоянством математического ожидания, постоянством дисперсии и зависимо­ стью ее корреляционной функции не от двух аргументов, а только от расстояния г между первым и вторым аргументами: Кх{1,1 + г) = = Ыг).

Следовательно, автокорреляционная функция стационарной случайной функции представляет собой функцию не двух, а одного аргумента, что сильно упрощает математические операции над ними.

Корреляционная функция стационарной случайной функции выражается через корреляционный момент соответствующих сече­ ний случайной функции и характеризует степень связи между ними в зависимости от значений аргумента. В общем виде она может быть выражена формулой

Kx(r) = - ^ - L] [ /( x (.)-M x ][/(x (+r)-Mx]dx,

L г о

где L - длина исследуемого профиля (участка); г - расстояние меж­ ду точками наблюдений, выраженное числом интервалов между ними; f(xj) - переменная величина (например, значения содержаний металла в пробах в ряду, который начинается значением Х\ и закан­ чивается значением (х,,_,.); f(xi+r) - переменная величина (например, значение содержаний металла в пробах в ряду, который начинается значением х,+г и заканчивается значением х„); Мх-среднсе значение переменной величины /(х)в интервале от 0 до L.

На практике часто пользуются корреляционной функцией, нормированной по дисперсии рд(г) = Kx(r)/Dx.

Значения функции рх(г) представляют собой коэффициенты корреляции между сечениями случайной функции, разделенными расстояниями г. Очевидно, что значение рд(0 ) равно 1.

Для количественного описания характера изменчивости ста­ ционарных случайных функций используется также структурная функция (вариограмма), которая рассчитывается через квадраты разностей значений признака в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии г:

Между структурной и корреляционной функциями существует почти строгая зависимость при г заведомо меньшем, чем

L:yx(r) =2[Kx( 0 ) - K x(r)].

Корреляционная функция стационарной случайной функции постепенно убывает с увеличением аргумента до определенного его значения, называемого пределом корреляции, и равна нулю при значениях аргумента, больших предела корреляции Ее структур­ ная функция возрастает в том же интервале значений г, а при рас­ стоянии большем предела корреляции равна удвоенному значению статистической дисперсии исследуемого свойства.

При расчетах эмпирических, корреляционных и структурных функций знаки интегралов заменяются знаками суммы, поскольку сеть наблюдений дискретна. При равномерной дискретной сети на­ блюдений эмпирические корреляционные и структурные функции рассчитываются по формулам

п-г

где /-порядковый номер замера в исследуемом ряду значений х; п - общее число замеров; г - последовательно принимает значения 1, 2 , 3,..., (п —1).

Расчет значений эмпирической нормированной корреляцион­ ной функции заключается в вычислении коэффициентов корреля­ ции между значениями исследуемого ряда с порядковыми номера­ ми от I до (п - г) и значениями того же ряда, сдвинутыми относи­ тельно исходного на г значений, то есть ряда с порядковыми номерами от г до п.

С помощью корреляционных или структурных функций могут быть выражены основные особенности пространственной изменчи­ вости изучаемого признака:

-общий уровень колебаний его значений;

-предельные расстояния между соседними точками наблюде­ ний, начиная с которых значения изучаемых признаков можно счи­ тать практически взаимонезависимыми;

-соотношения и уровни случайной и закономерной состав­ ляющих изменчивости в зависимости от густоты сети наблюдений.

Перечисленные свойства позволяют использовать корреляци­ онную и структурную функции для решения следующих геологиче­ ских задач.

1.Проверка гипотез о наличии закономерности (тренда) в по­ следовательности значений изучаемого свойства. С этой целью рас­ сматриваются первые две-три точки нормированной корреляцион­ ной функции изучаемой последовательности.

Этот способ наиболее надежный, так как позволяет выявлять слабо проявленные закономерности.

2.Классификация геологических объектов по характеру про­

странственной изменчивости их признаков. Например, по виду кор­ реляционных функций аномальных магнитных полей (АМП) можно классифицировать участки земной коры с различной историей тек­ тонического развития. Для участков молодой океанической коры характерна упорядоченная линейная система гребней или разломов срединно-океанических хребтов, обусловливающая закономерные, периодические колебания АМП. Вдали же от рифтов упорядочен­ ность топографии океанического дна вуалируется из-за наложения нескольких этапов тектонической активизации. Корреляционные функции АМП для участков с длительной историей развития океа­ нической коры имеют вид функций стационарного типа, характер­ ных для континентальной коры.

Эталонами и основой для классификации промышленных ти­ пов месторождений важнейших видов минерального сырья могут служить типизированные графики характеристик случайных функ­ ций важнейших свойств залежей полезных ископаемых, составлен­ ные по обобщенным экспериментальным данным.

3. Оценка предельных расстояний между точками наблюдений, при которых сохраняются корреляционные связи между значения­ ми исследуемых свойств, используется для обоснования способов количественной обработки результатов и геометризации недр, по­ скольку лишь в пределах интервала корреляции правомерна интер­ поляция экспериментальных данных. Значения же признаков за пределами корреляции можно рассматривать как совокупности слу­ чайных, независимых величин, и они должны обрабатываться толь­ ко обычными статистическими методами.

Соотношения расстояний предельной корреляции (АГ), уста­ новленные по линиям, ориентированным в различных направлени­ ях, могут быть использованы в качестве показателей анизотропии изучаемого свойства по этим направлениям.

4. Разделение общей дисперсии признака на случайную и зако­ номерную составляющие для заданных расстояний между точками наблюдений.

Эмпирические корреляционные функции стационарных после­ довательностей могут быть аппроксимированы экспонентой вида

В этом случае для определения дисперсии случайной состав­

ляющей (ст^уЧ) можно использовать формулу

где Сто - общая статистическая дисперсия изучаемого признака;

рх(г )- значение нормированной корреляционной функции для рас­

стояния между точками наблюдения, равного г. Дисперсия законо­ мерной составляющей находится из равенства

При наличии в изменчивости изучаемого свойства закономер­ ной составляющей в статистические формулы для расчета интер­ вальных оценок целесообразно вводить поправки на связь.

Оценивая величины поправок на связь для различных расстоя­ ний между точками наблюдений, можно выявить эффект, получае­ мый от разрежения сети наблюдений.

Пример. С помощью корреляционной функции, изображенной на рис. 61, определим долю случайной составляющей в изменчиво­ сти линейного запаса по падению рудной залежи для расстояний 15, 75 и 120 м:

/ = 75 м, а^,уч = (l - 0,252)S 0,94а2;

/= 120 м,а2^ =Oo(l-0,102)=0,99ao.

Таким образом, при расстоянии между соседними разведоч­ ными пересечениями, равном 15 м, более 60 % дисперсии линейного запаса обусловлено закономерными изменениями, поэтому в данном случае при расчете интервальной оценки поправка за связь будет весьма существенной. Однако разрежение сети наблюдений в три раза приводит к резкому снижению доли закономерной состав­ ляющей (до 6 %), в результате чего точность вычисления среднего значения линейного запаса значительно снизится даже в том слу­ чае, если количество наблюдений останется постоянным. Начиная с расстояния 120 м, точность расчета среднего значения линейно­ го запаса практически полностью будет зависеть только от коли­ чества наблюдений.

Отношения дисперсий случайной и закономерной составляю­ щих наблюдаемой изменчивости могут служить также показателя­ ми степени разведанности месторождений.

При использовании характеристик стационарных случайных функций для описания изменчивости геологоразведочных парамет­ ров необходимо учитывать законы их статистических распределе­ ний. В частности, расчеты эмпирических корреляционных и струк­ турных функций изменчивости логнормально распределенных свойств следует проводить для логарифмов их значений.

В тех случаях, когда геологический объект изучен по несколь­ ким профилям, для решения перечисленных выше задач использу­

ются усредненные корреляционные или структурные функции. При этом неоднородности, присущие каждому единичному профи­ лю, нивелируются, и вид усредненных характеристик приближается к виду стационарных случайных функций.

5.4.Область применения взаимных корреляционных функций

идвумерных автокорреляционных функций в геологии

Для оценки корреляционных свойств двух случайных процес­ сов или последовательностей используются взаимные корреляци­ онные функции (ВКФ). Для эргодических функций ВКФ можно вы­ числить по отдельным реализациям Х\ и Х2. В качестве таких реали­ заций могут быть взяты данные по двум профилям наблюдений одного свойства или замера двух разных свойств по одному профи­ лю. Вычисление ВКФ производится по формуле

п-г

п-\г

где Х и - значение по первой реализации, например, содержание определенного химического элемента по профилю геохимической съемки; дг2(,+Г)- содержание того же элемента по другому профилю в точке, смещенной относительно замера хина г пикетов. Смещение при этом производится как в одну, так и в другую сторону.

В практике геологоразведочных работ ВКФ чаще всеш исполь­ зуются для решения двух типов задач.

1.При анализе геохимических и геофизических полей с помо­ щью ВКФ, рассчитанных по соседним профилям, можно опреде­ лить характер ориентировки линейных геохимических и геофизиче­ ских аномалий.

2.В процессе изучения геохимической зональности метасоматических образований и ореолов рассеяния ВКФ позволяет оценить относительную подвижность химических элементов. Для этого рас­ считывают ВКФ для содержаний разных пар химических элементов по одному профилю. Максимумы концентрации более подвижных элементов удалены от рудоконтролирующих структур (контактов интрузивных пород, тектонических разрушений и др.) на большее

При р = 1 ДАКФ равна усредненной одномерной ВКФ, рассчи­ танной по сумме ВКФ для всех пар соседних профилей:

При р = 2 ДАКФ рассчитывается по сумме ВКФ для всех пар широтных профилей, расположенных через один профиль, при р ——3 —через два профиля и т. д. При р = 0 и /• = 0 значение ДАКФ равно дисперсии признака.

Для ДАКФ справедливо равенство Rx(p,r) = Rx( - p ,- г),то есть она симметрична, поэтому при расчетах обычно вычисляют значе­ ния либо только для Rx(p, ±г), либо для Лх(±р, г).

ДАКФ изображается либо в виде матрицы, либо в виде графика в изолиниях. Графическое изображение более наглядно отражает основные свойства геологических полей. По графику ДАКФ можно определить направления максимальной и минимальной изменчиво­ сти изучаемого поля, которые совпадают с направлениями макси­ мального и минимального градиента изменения ДАКФ, а отноше­ ние градиентов по этим направлениям является оценкой коэффици­ ента анизотропии.

В связи с этим ДАКФ используется для выбора формы, ориен­ тировки и густоты сети наблюдений при проектировании геолого­ разведочных работ.

При расчете ДАКФ осредняются данные по всем профилям, поэтому по ней можно получить достаточно надежные количест­ венные характеристики изменчивости изучаемого поля даже в тех случаях, когда количество замеров по каждому профилю невелико.

Обычно ДАКФ нормируют по дисперсии. В этом случае ее значения имеют размерность коэффициентов корреляции.

5.5. Область применения полигармонических случайных

функций в геологии

Многие геологические объекты отличаются периодическим ха­ рактером изменчивости свойств. Периодические колебания уста­ новлены в изменчивости пористости нефтегазоносных осадочных толщ, минеральном составе метаморфических пород. Определенная ритмичность отмечается также в расположении тектонических на­ рушений как в региональном, так и в локальном масштабе. При этом, однако, закономерные периодические колебания обычно осложняются нерегулярными случайными флуктуациями.

В качестве математической модели изменчивости подобных геологических объектов может быть использована полигармоническая случайная функция, то есть случайная функция, математиче­ ское ожидание которой выражается тригонометрическим полино­ мом вида

*=i

где v - количество гармоник; Ак, (£>к,ц>к - соответственно амплиту­ ды, частоты и фазы каждой гармоники; А0—константа.

С помощью этой модели любой ряд значений исследуемого признака при равном расстоянии г между точками наблюдений мо­ жет быть описан функцией

X(r) = Мх(т*) + hx(r),

где hx(r) - случайная составляющая, осложняющая периодические колебания значений изучаемого признака.

Количественное описание изменчивости такого типа представ­ ляет собой широко распространенную в технике задачу выявления скрытых периодичностей на фоне случайных помех. Она заключа­ ется в разделении изменчивости на две составляющие и отыскании периодов и амплитуд гармоник закономерной составляющей.

К настоящему времени разработано большое количество мето­ дов выявления скрытых периодичностей, в которых используются различного вида преобразования исходного ряда наблюдения Х(г),