книги / Математические методы моделирования в геологии

где Рь Рг. ... x„ - географические ко­ ординаты.

Ранее была рассмотрена линия регрессии Y на X, которая явля­ ется наилучшей оценкой Y для любого заданного значения X.

Уравнение прямой Y = po+Pi* находилось путем решения сис­ темы так называемых нормальных уравнений:

пп

«Po+Pi Z * = Z ^

P o Z x + P i Z x 2 = t ^ / .

/-1 М /-1

относительно неизвестных коэффициентов р0 и Рь Эту систему уравнений легко приспособить, если имеются какие-либо два аргу­ мента, например географические координаты. В результате полу­ чим уравнение линейной поверхности тренда:

Y= p0+Pi*i+Par2.

В данном случае результат геологического наблюдения рас­ сматривается как линейная функция двух координат JCI и х2 при ко­ эффициентах ро, Pi и р2; оценить эту функцию можно с помощью уравнений.

Z * = Р0« + PiZ * i + Р2 Z *2;

/-1

Решив эти уравнения относительно Ро. Pi и Рг найдем их оценки.

Метод наименьших квадратов может быть применен не только к уравнению прямой, но и к уравнению кривой второго (более вы­ сокого) порядка путем добавления соответствующих компонент:

r=Po + PlX, + p 2*2-

Значимость поверхности тренда или уравнения регрессии мож­ но проверить с помощью дисперсионного анализа, который основан на разделении общей дисперсии набора наблюдений на компонен­ ты, соответствующие определенным источникам изменчивости.

4.10. Сравнение карт

Обычная задача большинства геологических исследований за­ ключается в сравнении друг с другом двух или более карт некото­ рой территории. Это могут быть карты петрографических и мине­ ралогических составляющих, различных физико-химических пара­ метров, а также структурные карты.

По-видимому, простейший путь сравнения двух карт состоит в вычислении коэффициента корреляции между картируемыми пе­ ременными. Если две карты построены для переменных, измерен­ ных в одних и тех же точках, то этот метод состоит просто в вычис­ лении коэффициента корреляции между картируемой переменной 1 и картируемой переменной 2 , при этом расположение точек во вни­ мание не принимается. Коэффициент корреляции вычисляется по известной формуле.

Труднее сравнивать карты с переменными в разных точках. Один из возможных способов получения меры общего сходства - оценка значений двух переменных на множестве точек сетки, об­ щей для двух карт. Однако никакого статистически значимого ко­ эффициента корреляции по этим данным получить невозможно. Очевидно, надежность корреляции повышается с увеличением плотности контрольных точек.

Сравнение карт с помощью корреляции между оценками в кон­ трольных точках легко осуществить в том случае, если карты стро­ ить с помощью ЭВМ.

Примером простейшего сравнения двух карт переменной одно­ го типа в одной и той же области является карта изопахит, получен­ ная по двум структурным картам.

Если карты построены в одних и тех же единицах, то сравнение можно провести с помощью простого вычитания. Однако задача

нении фактического значения числа точек смены знака t, получен­ ного по исследуемому графику, с теоретическим его значением М(0- Поскольку в таблицах приводятся значения нормированной функции нормального распределения, разницу между фактическим и теоретическим числом точек смены следует разделить на yjo2(t) для получения вероятностного критерия

z'-M (Q

^( i ) '

Внеслучайной последовательности значения t и М(/) не долж­ ны существенно отличаться. Следовательно, вероятность больших по абсолютной величине значений критерия Z будет мала. Так как значения критерия Z распределены нормально с параметрами 0 и 1, то по его величине с помощью таблиц нормированного нормально­ го распределения можно оценить вероятность полученного по ис­ следуемому ряду отклонения фактического числа точек смены зна­ ка от теоретического при условии, что ряд случаен. Если эта веро­ ятность мала (например, меньше 0,05), то гипотеза о случайном характере исследуемого ряда отвергается и считается, что он имеет тренд.

Пример. Проверим гипотезу о наличии тренда в изменении объемной массы угля по продольному профилю из 30 буровых сква­ жин, ориентированному по простиранию угольного пласта (см. рис. 14). Математическое ожидание числа точек смены знака для N = 30 будет

а дисперсия о2 (t) =-----—-----» 5,0. Фактическое число точек сме­

ны знака по профилю 13, следовательно, значение критерия Z со­ ставит

_ 13-18,7

-2,55,

=V?

что соответствует вероятности 0,0054. Вероятность полученно­ го отклонения фактического числа точек смены знака от теоре­ тического для случайного ряда настолько мала, что гипотезу о случайном характере изменения объемной массы угля по простира­ нию угольного пласта следует отвергнуть.

Способ проверки гипотезы о наличии тренда по количеству скачков используется в случае, когда упорядоченная последова­ тельность состоит из двух типов элементов, которые условно мож­ но обозначить знаками плюс (+) и минус (-). Скачком называется интервал последовательности, в пределах которого наблюдаются

Последовательности такого типа могут быть получены путем разделения всех значений исследуемого свойства на две группы по их отношению к медианному значению. Все значения больше меди­ анного обозначаются знаком (+), а меньше - знаком (-). Число скачков в случайных последовательностях зависит от количества элементов первого п\ и второго п2 типа. Статистическое распреде­ ление количества скачков и в случайных последовательностях асимптотически нормальное с математическим ожиданием

и дисперсией

2и,л2(2и,л2- и, - п 2)

(/JI +«2)2(«,+/J2 - 1)

Как и в предыдущем способе, фактическое значение числа скачков и сравнивается с теоретическим по исследуемому ряду М(и) по критерию

и- М (и )

Спомощью таблиц нормального распределения определяется вероятность полученного значения Z в случайной последовательно-

ристости исследуемых пород по данному направлению следует от­ вергнуть. Тренд в данном случае устанавливается визуально по тенденции к увеличению пористости по направлении вулканическо­ го потока.

Каждый из рассмотренных способов применим для выяснения закономерностей определенного типа. Способом «смены знака» лучше улавливаются локальные закономерности, проявленные плавными изменениями исследуемых свойств, в то время как спо­ собом «скачков» отчетливее устанавливаются общие тенденции, присущие всему исследуемому ряду. Поэтому для принятия гипоте­ зы о наличии тренда достаточно, чтобы она подтверждалась хотя бы одним из этих способов.

Оба способа можно использовать и для проверки гипотезы о характере изменения свойств геологических образований в дву­ мерном пространстве, то есть по площади. Для этого необходимо построить графики изменения свойств по различным направлениям.

4.12.Аппроксимация поверхностей тренда полиномами

ианализ остатков

Выделение региональных закономерностей путем аппроксима­ ции эмпирических данных функцией координат пространства свя­ зано с довольно сложными вычислениями, обычно требующими применения ЭВМ. В качестве аппроксимирующих функций исполь­ зуются ортогональные полиномы различных степеней, уравнение Лапласа, тригонометрические полиномы и др.

Ортогональные полиномы обычно применяются в случае рав­ номерной прямоугольной сети наблюдений. При этом тренд опре­ деляется как линейная функция географических координат, постро­ енная по совокупности наблюдений таким образом, что сумма квадратов отклонений значений признака от плоскости тренда ми­ нимальна. Такая модель представляет собой вариант статистическо­ го метода множественной регрессии, в котором функция Ф(х, у) = и, описывающая поверхность тренда, рассматривается как и = Ро + Pi* + Р2У (где х\ у - координаты пространства; р0> Pi, Р2 - полиномиальные коэффициенты). Для оценки трех указанных ко­ эффициентов используются уравнения

На рис. 16 показана схема расположения пробуренных скважин и условные координаты площади, которые сведены в табл. 7. Для построения плоскости тренда вычисляются:

Эти значения записываются в матричной форме:

Таблица 7

Координаты скважин, абсолютные отметки подошвы меловых отложений и оценки плоскости тренда

и = Р0 + PTJC+ р2у, можно вычислить значения отметок плоскости

тренда (ы) для каждой скважины и разности, которые характеризу­ ют составляющие случайной изменчивости гипсометрической по­ верхности. Оценка степени приближения плотности тренда к на­