книги / Математические методы моделирования в геологии

Различают детерминированные и стохастические (статистиче­ ские, вероятностные) модели.

Детерминированная модель - аналитическое представление за­ кона, при котором может быть получен единственный, всегда по­ стоянный результат

y = f ( x UX2,...Хк),

где х - фактор, от которого зависит модель.

Стохастическая модель содержит случайный элемент е и име­ ет вид

у= /(х 1, *2,-••**) + £.

Если задана некоторая функция, то получают близкие, но раз­ личные между собой результаты. Различие обусловлено влиянием случайных неуправляемых воздействий неучтенных факторов.

Информация в геологии разнообразна по качеству (от вкусовых ощущений до строения вещества под электронным микроскопом) и по форме (от зрительных зарисовок до значений параметра, изме­ ренных по самой современной физико-химической методике). На­ пример, утверждение о том, что температура земли вырастает с глубиной, является моделью. Это утверждение можно выразить в виде зависимости

/ = аН,

где t - температура;

Н- глубина;

а- увеличение t на 100 метров. Более точна модель вида

t = t0+ а-Н,

где to - температура на поверхности земли в точке наблюдения. При характеристике результатов говорят не о законе, а о зако­

номерности. Эти закономерности оценивают изменение температу­ ры по линейному закону. Они могут быть уточнены на различных глубинах и записаны нелинейными зависимостями.

Этапу собственно математического моделирования предшест­ вует этап создания геологической модели. Поэтому модели, исполь­

зуемые для решения геологических задач математическими мето­ дами, называются геолого-математическими.

Системный подход - направление методологии геологического познания, в основе которого лежит исследование объектов как систем.

Система (греч: целое, составленное из частей соединения) - множество элементов, находящихся в соотношениях и связях друг с другом. Это множество образует определенную цельность единст­ ва и устойчивости; не просто набор элементов, а новое качествен­ ное состояние объекта, возникающее за счет оригинальности связей и отношений элементов.

Особенность системы - наличие одного такого свойства, ко­ торое отсутствует в слагающих элементах. Исключение хотя бы од­ ного элемента из системы лишает ее этого свойства, то есть все элементы необходимы и вместе с тем достаточны для появления нового свойства.

Роль системного подхода двояка. Во-первых, он выявляет ши­ рокую познавательную реальность (например, период системы Менделеева). Так, определяя место отдельного пласта в стратигра­ фической последовательности, мы выходим на новый уровень обобщения.

Во-вторых, системный подход отличается глубокими схемами объяснения природных объектов. В их основе - поиск механизма целостности объекта. Например, стратиграфическая последователь­ ность - это система, но с перерывами. Мы стремимся не только за­ фиксировать эти перерывы, но и определить, чем были представле­ ны горные породы, размытые во время перерывов.

Существует три типа систем: статические, динамические и рет­ роспективные.

Статическая система - последовательность залегания слоев, взаимоотношения геологических тел и горных пород в пространст­ ве. Их изучают путем измерений и последующего описания геомет­ рических форм, физических свойств, химического и минерального состава.

Динамические системы - это современные геологические про­ цессы (например, разработка залежей нефти и газа). Изучают их с помощью многократных повторений измерения во времени (в геодинамике, геотектонике, физике Земли и т. п.).

Ретроспективные системы - это историко-геологические мо­ дели развития осадочных бассейнов и модели формирования скоп­ лений нефти и газа. Происходят процессы превращения биологиче­ ского вещества в битумы нефтяного ряда, первичная и вторичная миграция. Эти системы изучают актуалистическим методом, то есть изучение современных процессов ведет к пониманию прошлого. При изучении систем необходимо описывать только те элементы и связи, которые существенны для достижения цели.

Описание геологических тел даст возможность формального сопоставления и классификации объектов, а также компактное представление информации об объекте для передачи, хранения и обработки.

При проведении геологических наблюдений выделяют сле­ дующие совокупности исходных данных:

-гипотетическая совокупность - данные, необходимые для восстановления истории развития геологического объекта (в мо­ мент исследования они отсутствуют);

-существующая совокупность - вся совокупность признаков геологического объекта на площади исследования;

-доступная наблюдениям совокупность - выборка из гене­ ральной (общей) совокупности (например, керн, обнажения, проба).

Способы преобразования данных при описании геологических

тел:

-сканирование - сам объект непрерывен, для описания его раз­ бивают на части;

-сегментация - выделение фрагментов объекта для детального изучения;

-аппроксимация - приближенное количественное представле­ ние объекта по отдельным наблюдениям;

-фильтрация - выделение главных компонентов, то есть ис­ ключение шума. Это сглаживание данных, обладающих случайными погрешностями, выделение аномалий на фоне региональных полей.

Вгеологии применяются 4 шкалы измерений: номинальная, порядковая, интервальная и относительная.

1.Номинальная шкала - однородным свойствам объекта пр своены цифровые обозначения по порядку; в данном случае число является кодом качественных признаков объектов.

2.Порядковая шкала - свойства располагают по возрастанию или убыванию без точной количественной оценки. Например:

-шкала твердости по Моосу;

-шкала Рихтера, магнитуда землетрясения М;

-полуколичественный спектральный анализ проб;

-определение положения каждого слоя в толще осадочных пород.

3.Интервальная шкала применяется, когда интервалы перехо­ да от одного класса объектов к другому равны, но не указана точка абсолютного поля. Например:

-температурная шкала с различными точками нулей (шкала по Цельсию, Фаренгейту, Реомюру, Кельвину);

-интервальное время пробега сейсмических волн At соответст­ вует толщине пласта АН.

4.Относительная шкала - используется для измерения свойств геологических объектов в случаях, когда свойства можно оценить количественно. Она является наивысшей шкалой измере­ ний: требуется точное знание нулевой точки. Используется для из­ мерений относительно эталона; дает точную количественную ха­ рактеристику объекта. Например:

- замеры мощности тел полезного ископаемого; - замеры мощности элементов залегания пород;

- замеры мощности любых свойств горных пород.

Любая система рассматривается как элемент более сложной системы. Каждый геологический процесс сам по себе сложен и за­ висит от множества факторов. Например, процесс разрушения по­ род - совокупность сложных физических, химических, биологиче­ ских и других процессов. Их ход зависит от состава пород, клима­ та, рельефа местности. Представление о сложности строения залежей полезных ископаемых зависит от детальности исследова­ ния. Параметры геологических процессов могут меняться скачкооб­ разно и плавно.

Выделить открытые элементы в геологических системах не всегда легко. Чаще разделение проводят условно, так как геологи­ ческие системы обычно не имеют реальных границ, ибо различные геологические процессы взаимосвязаны. Геологические системы от­ носят к классу открытых систем. В них учитывают связи между

элементами, составляющими систему, и связи между самой системой и окружающей сре­ дой (рис. 1).

Решая конкретную задачу, внешними связями пренебре­ гают и геологические объекты рассматривают как закрытые системы (они называются гео­ логическими совокупностями), например, геохимические и гео­ физические поля совокупности интрузий определенного возрас­ та и состава, совокупности шлифов определенной породы.

Любая геологическая совокупность может быть разделена по какому-либо признаку на множество самостоятельных совокуп­ ностей. Например, вулканогенные породы одного вулканического аппарата рассматривают как совокупность отдельных лавовых пото­ ков.

1.2. Характер геологической информации

Результаты геологических исследований могут быть представ­ лены в виде словесном или описательном; графическом или карто­ графическом; цифровом.

Геологические объекты недоступны для непосредственного на­ блюдения. На протяжении многих лет геология считалась чисто описательной наукой. Геологическая информация имела качествен­ ный характер. Она заключалась в словесном описании и зарисовках. Число и мера не имели значения и носили иллюстративный харак­ тер. Выводы геологов были основаны на личном опыте и интуиции, отражали субъективные представления автора.

Это привело к тому, что в геологии понятия и определения час­ ти неоднозначны. Они сформулированы на языке сравнения и ана­ логии. В геологической литературе имеется несколько десятков оп­ ределений минерала, горной породы, формации и более 100 опреде­ лений понятия фации.

Формами обобщения знаний о свойствах геологических объек­ тов являются классификации и группировки.

Классификация - основное средство упорядочения, системати­ зации и обобщения фактического материала. Задача классифика­ ции - выделение однородных объектов и отнесение их к классам, отражающим видовые отличия.

Основное правило классификации - деление объема или поня­ тия. Делимое - это объем родового понятия N (например, риф). Ос­ нование деления - это признаки, по которым разделяют объекты по классам (например, у рифа есть береговая линия, склон, ядро, гре­ бень). В результате деления родового поднятия получают компо­ ненты, или члены деления п-,. Например, фации подразделяются на континентальные, лагунные, рифовые, прибрежно-морские.

Правила деления:

1.Деление соразмерно: N = Ел,-. Общий объем членов деления равен объему делимого.

2.Компоненты деления исключают друг друга, то есть классы не пересекаются.

3. Деление непрерывно; члены деления являются низшими по отношению к родовому понятию.

4.Понятия, на которые влияет классификация, строго опреде­

лены.

5.В качестве основания деления выбираются те характеристи­ ки, которые поддаются однозначному определению.

В основу классификации положены качественные признаки. Набор этих признаков и количество групп неодинаковы. Так, для разделения изверженных пород по минеральному и химическому составу используют, как минимум, 5 различных классификаций; поэтому нередко геологические карты, составленные в одном мас­ штабе и на одной и той же территории, но в разные годы и разными авторами, очень отличаются друг от друга.

Количественная или цифровая информация тоже имеет свои особенности. Ввиду выборочного метода изучения и сложности геологических объектов она отражает не все свойства полностью. Из-за технических погрешностей измерения информация не всегда точна. Неоднозначность возникает из-за того, что свойства геологи­

ческих объектов могут быть выражены различными числовыми ха­

PNRPU

рактеристиками. Наборы числовых характеристик называются вы­ борочными (статистическими) совокупностями. Для правильного решения геологических задач важно однозначное и четкое опреде­ ление соотношений геологической и выборочной совокупностей.

Для определения конкретной геологической совокупности не­ обходимо:

1) установить ее элементарные составляющие, то есть изучае­ мые объекты;

2)определить границы;

3)определить виды последующих числовых измерений.

По принципу построения математической модели различают статистическое и динамическое моделирования.

При статистическом (структурном) моделировании нужно изучить строение геологического объекта.

Построение модели идет в три этапа:

1.а) преобразование геологической информации в вид, удоб­ ный для анализа;

б) выявление закономерностей в случайных событиях и за­

мерах;

в) математическое описание выявленных закономерностей, то есть создание математических моделей.

2.Использование количественных закономерностей для реше­ ния геологических задач.

3.Оценка вероятных погрешностей решения поставленной за­ дачи, так как исследования выполнены не путем сплошного отбора,

авыборочным методом.

При динамическом моделировании предварительно строится теоретическая математическая модель:

1.Выявление основных закономерностей функционирования объекта или системы.

2.Математическое описание объекта или системы.

3.Подбор в первом приближении параметров модели среды.

4.Сопоставление модели с натурным объектом.

5.Проведение итерационного приближения к объекту (метод последовательных приближений) и уточнение параметров модели.

6. Решение поставленной задачи на основе полученных пара метров (например, провести подсчет запасов; уточнить точку зало­ жения скважины).

По типу решаемых задач и набору математических методов геолого-математические модели делятся на две группы:

1.Модели, использующие математический аппарат теории ве­ роятностей (ТВ) и математической статистики (МС). В них геоло­ гические объекты предполагаются внутренне однородными, а изме­ нения их свойств в принципе являются случайными, не зависящими от места замера. Такие модели называются статистическими; в за­ висимости от количества одновременно изученных свойств они разделяются на одномерные, двумерные и многомерные.

2.Модели, которые рассматривают свойства геологических объектов как пространственные переменные, причем подразумева­ ется геологический объект сложный, состоящий из неслучайных элементов. Его свойства зависят от координат точки замера (х,у, z, t).

Изменение свойств подчиняются некоторым закономерностям, необязательно функциональным. Наряду с вероятностными мето­ дами применяются ТВ и МС.

1.3. Понятие о геолого-математическом моделировании

По принципу построения математической модели различают статическое и динамическое моделирование.

Статическое моделирование заключается в математическом описании свойств исследуемых объектов по результатам их изуче­ ния выборочным методом на основе индуктивного обобщения эм­ пирических данных.

Динамическое моделирование использует приемы дедуктивного метода, когда свойства конкретных объектов выводятся из общих представлений о его структуре и законах, определяющих его свойства.

В настоящее время в практике геологических исследований применяются главным образом статические модели. Это обусловлено сложностью и разнообразием геологических объектов и трудностью описания геологических процессов даже в самых общих чертах.

Статическое моделирование сводится к:

- преобразованию геологической информации в вид, удобный для анализа;

-выявлению закономерностей в массовых и в известной степе­ ни случайных замерах свойств изучаемых объектов;

-математическому описанию выявленных закономерностей (составлению математической модели);

-использованию полученных количественных характеристик для решения конкретных геологических задач - проверки геологиче­ ских гипотез, выбора методов дальнейшего изучения объекта ит.п.;

-оценке вероятности возможных ошибок в решении постав­ ленной задачи за счет выборочного метода изучения объекта.

Порядок решения геологических задач на основе динамическо­ го моделирования иной. Исходя из общих соображений о генезисе изучаемого объекта строится теоретическая математическая модель процесса его образования, учитывающая основные факторы, влияющие на конечный результат этого процесса, то есть на свой­ ства объекта.

Такая модель обычно может быть предложена лишь в самом общем виде, поскольку параметры процесса неизвестны. Эти пара­ метры определяют путем перебора различных вариантов и сравне­ ния теоретических реализаций процесса с фактическими свойства­ ми изучаемого объекта, установленными эмпирическим путем. Ди­ намическое моделирование сопряжено с большим объемом довольно сложных вычислений и возможно лишь на базе ЭВМ.

По характеру связи между параметрами и свойствами изучае­ мых объектов математические модели разделяются на детермини­ рованные и статистические.

Детерминированные модели выражают функциональные связи между аргументом и зависимыми переменными. Они записываются

ввиде уравнений, в которых определенному значению аргумента соответствует только одно значение переменной. При моделирова­ нии геологических объектов детерминированные модели использу­

ются редко. Это объясняется тем, что они плохо согласуются с реальными явлениями, в которых функциональные связи сохра­ няются лишь в узких, весьма ограниченных областях.

Статистическими моделями называются математические вы­ ражения, содержащие, по крайней мере, одну случайную компонен­ ту, то есть такую переменную, значение которой нельзя предсказать точно для единичного наблюдения. Их весьма широко используют

для целей математического моделирования, поскольку они хорошо учитывают случайные колебания экспериментальных данных.

Многообразие геологических задач и объектов изучения вызва­ ло необходимость использования при геолого-математическом мо­ делировании методов из разных разделов математики: теории веро­ ятностей и математической статистики, теории множеств, теории групп, теории информации, теории графов, теории игр, матричной и векторной алгебры, дифференциальной геометрии и др. При этом одна и та же задача может быть решена разными методами, а в не­ которых случаях для решения одной задачи необходимо ис­ пользовать комплекс методов из разных разделов математики. Это создает определенные трудности при систематизации математиче­ ских методов, применяемых в геологии.

Вместе с тем, по типу решаемых задач, набору используемых для этого математических методов и главным допущениям относи­ тельно свойств геологических объектов все геолого-математические модели отчетливо разделяются на две группы.

В первую группу объединяются модели, использующие глав­ ным образом математический аппарат теории вероятностей и мате­ матической статистики. В них геологические объекты предполага­ ются внутренне однородными, а изменения их свойств в простран­ стве - случайными, не зависящими от места замера. Такие модели можно условно назвать статистическими. В зависимости от количе­ ства одновременно рассматриваемых свойств они разделяются на одномерные, двумерные и многомерные.

Статистические модели обычно используются для:

-получения по выборочным данным наиболее надежных оце­ нок свойств геологических объектов;

-проверки геологических гипотез;

-выявления и описания зависимостей между свойствами гео­ логических объектов;

-классификации геологических объектов;

-определения объема выборочных данных, необходимого для оценки свойств геологических объектов с заданной точностью.

Во вторую группу можно объединить модели, рассматриваю­ щие свойства геологических объектов как пространственные пере­ менные. В этих моделях предполагается, что свойства геологиче­