книги / Математические методы моделирования в геологии

ских объектов зависят от координат точки замера, а в изменении этих свойств в пространстве существуют определенные закономер­ ности. При этом, наряду с некоторыми вероятностными методами (случайные функции, временные ряды, дисперсионный анализ) применяются также приемы комбинаторики (полиномы), гармони­ ческого анализа, векторной алгебры, дифференциальной геометрии и других разделов математики.

Для изучения пространственных геологических переменных используются приемы как статического, так и динамического моде­ лирования.

Модели пространственных геологических переменных исполь­ зуются для решения задач, связанных с:

-проверкой гипотез о закономерностях размещения геологиче­ ских объектов относительно друг друга;

-проверкой гипотез о характере процессов формирования гео­ логических образований;

-выделением аномалий в геологических и геофизических

полях;

-классификацией геологических объектов по особенностям их внутреннего строения;

-разработкой приемов интерполяции и экстраполяции при оконтуривании геологических объектов;

-выбором оптимальной густоты и формы сети наблюдений при изучении геологических объектов.

1.4. Принципы и методы геолого-математического моделирования

Применение математического моделирования в геологии со­ пряжено с рядом трудностей.

Математическая модель, как и любая другая, является упро­ щенным аналогом исследуемого объекта. Из-за сложности геологи­ ческих объектов ни одна математическая модель не может воспро­ извести все их свойства. Поэтому для описания различных свойств одного и того же объекта часто приходится использовать различные математические модели. При этом необходимо убедиться в том, что

выбранная модель достаточно полно отражает именно те свойства объекта, которые непосредственно влияют на решение поставлен­ ной задачи.

Математические модели не могут исчерпывающе полно харак­ теризовать изучаемые свойства. Они основаны на определенных допущениях о характере свойств объекта моделирования. Поэтому необходимо следить за тем, чтобы эти допущения не приводили к принципиальному искажению реальных свойств объекта в рамках поставленной задачи. В связи с тем, что встречающиеся в практике геологических исследований задачи также весьма разнообразны, может возникнуть ситуация, когда для моделирования одного итого же свойства объекта необходимо использовать различные модели.

Определенные сложности иногда возникают также из-за отсут­ ствия четких границ геологических совокупностей и рассмотренных выше особенностей их изучения.

Итак, решение геологических задач на основе математического моделирования представляет собой довольно сложный процесс,

вкотором можно выделить следующие этапы:

1)формулировка геологической задачи;

2)определение геологической совокупности, то есть установ­ ление границ геологического объекта или временного интервала геологического процесса;

3)выявление главных свойств объекта или параметров процес­ са в рамках поставленной задачи;

4)переход от геологической совокупности к опробуемой и вы­ борочной с учетом особенностей методов исследования;

5)выбор типа математической модели;

6)формулировка математической задачи в рамках выбранной математической модели;

7)выбор метода решения математической задачи;

8)решение математической задачи на основе вычисления па­ раметров математической модели объекта;

9) интерпретация полученных результатов применительно

кгеологической задаче;

10)оценка вероятности и величины возможной ошибки за счет неадекватности модели и объекта.

Таким образом, этапу собственно математического моделиро­ вания предшествуют этапы создания геологической модели (опро­ буемой и выборочной геологической совокупности). Поэтому моде­ ли, используемые для решения геологических задач математиче­ скими методами, можно назвать геолого-математическими.

Справедливость конечного вывода при решении задач на осно­ ве геолого-математического моделирования зависит от правильно­ сти решений, принимаемых на каждом этапе. Нетрудно заметить, что решения на большинстве этапов принимаются исходя из осо­ бенностей геологических задач и свойств геологических объектов, поэтому они полностью находятся в компетенции геолога. Кон­ сультант-математик может оказать существенную помощь геологу лишь при выборе метода решения математической задачи. Как по­ казал многолетний опыт, большинство ошибок, допускавшихся при использовании математических методов в геологии, были обуслов­ лены не слабой математической подготовкой геологов, а тем, что не учитывалась специфика геологических объектов и задач. Поэто­ му при изложении дальнейшего материала на эти аспекты геолого­ математического моделирования обращено особое внимание.

1.5.Место и роль математических методов

впроцессе изучения геологических объектов

Необходимость внедрения математических методов в геологии признается в настоящее время практически всеми геологами, одна­ ко по поводу путей и возможностей их использования возникают различные мнения. Некоторые геологи (Ю. А. Воронин, Э. Э. Фотиади и др.) считают, что для полноценного использования всех возможностей современной математики и вычислительной техни­ ки необходимо предварительно формализовать существующие геологические понятия и представления, т. е. перевести их с естест­ венного разговорного языка на формализованный машинный язык. По сути дела это равносильно созданию новой геологической нау­ ки, так как, по мнению упомянутых исследователей, современные теоретические представления геологии не могут служить основой для эффективного внедрения математических методов и ЭВМ в геологии.

Многие геологи считают возможным использовать математи­ ческие методы обработки и обобщения экспериментальных данных в рамках сложившихся геологических представлений и понятий, то есть главным образом в описательных целях.

Мы будем придерживаться третьего мнения - мнения о том, что при использовании математических методов в геологии они должны совершенствоваться применительно к специфике решае­ мых геологических задач, а формализации должна подвергаться не вся геологическая наука, а лишь объекты непосредственных на­ блюдений в соответствии с поставленной задачей исследования.

Таким образом, математические методы изучения земных недр следует использовать в комплексе с другими традиционными мето­ дами для расширения и углубления возможностей геологического анализа, поскольку при качественном подходе не удается в равной мере учитывать и интерпретировать всю исходную информацию. В зависимости от опыта и интуиции геолог неизбежно преувеличи­ вает роль тех или иных факторов, оставляя другие факторы без дос­ таточного внимания. Использование математических методов способствует более глубокому познанию изучаемых объектов, ко­ личественному учету и оценкам не только двумерных, но и много­ мерных связей между наблюдаемыми явлениями, исключению,

атакже в ряде случаев возможности различного толкования одних

итех же фактических данных.

Впроцессе изучения геологических объектов математическим методам отводится важная роль, поскольку их применение обеспе­ чивает возможность перехода от словесных, часто субъективных определений сложных геологических объектов к их объективным количественным оценкам, приводящим к качественно иным интер­ претациям наблюдаемых явлений.

Контрольные вопросы

1. Чем обусловлены трудности изучения геологических объек­

тов?

2. Почему геологические образования и процессы целесообраз­ но рассматривать как природные системы?

3.Что такое «геологическая совокупность»?

4.Почему геологические объекты изучаются выборочным ме­ тодом?

5.Что такое «опробуемая совокупность»?

6.Какие системы расположения точек наблюдений исполь­ зуются в геологии?

7.Чем различаются погрешности измерений и погрешности аналогий?

8.Что такое «наблюдаемая изменчивость» свойств геологиче­ ских образований и от чего она зависит?

9.Какие виды информации используются в геологии?

10.Что такое «выборочная совокупность»? Чем она отличается от «геологической» и «опробуемой совокупности»?

11.Какие шкалы измерений используются в геологии?

12.Какие виды моделирования применяются в геологии?

13.Какие типы математических моделей применяются в геоло­

гии?

14.Какие трудности возникают при математическом мо­ делировании геологических объектов?

15.На какие этапы можно разделить процесс решения геоло­ гических задач математическими методами?

16.Для чего используются математические методы в геологии?

2. ОДНОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.1. Сущность и условия применения

Геологические исследования в большинстве случаев основаны на изучении свойств геологических образований путем замеров в отдельных точках непосредственно на месте их залегания или пу­ тем анализа образцов и проб, отобранных в отдельных участках. При этом выборочные наблюдения относятся к элементарно малым пространственно разобщенным объемам недр (в искусственном или естественном обнажении), а выводы, полученные по ним, распро­ страняются на весь изучаемый объем.

Изучая сложные природные объекты выборочными методами, геологи всегда учитывали возможность получения ошибочных ре­ зультатов по ограниченному количеству наблюдений. Поэтому пер­ вые попытки математического моделирования в геологии связаны

сиспользованием математического аппарата теории вероятностей

иматематической статистики, который обеспечивает возможность получения наиболее надежных выводов по выборочным данным

ипозволяет оценить точность этих выводов.

Воснове статистического моделирования лежат два понятия: генеральной совокупности (множестве возможных значений оп­

ределенного признака изучаемого объекта или явления) и о вы­ борке (совокупности наблюдаемых значений этого признака). При использовании статистической модели геологические объекты рассматриваются как совокупности бесконечно большого количе­ ства элементарных участков, каждый из которых соответствует по размеру отдельной пробе или месту единичного замера изучае­ мого свойства.

Геологические объекты изучаются выборочными методами, при этом геологи учитывают получение ошибочных результатов. Математическое моделирование в геологии связано с использова­ нием аппарата ТВ и МС - это позволяет учесть точность выводов.

Испытание - это комплекс условий, в которых могут осущест­ вляться или не осуществляться изучаемые события. Наблюдаемые события подразделяются на:

- достоверные (события, которые обязательно произойдут при заданных условиях испытания);

-невозможные (события, которые заведомо не произойдут при определенной совокупности условий);

-случайные (события, которые при заданной совокупности ус­ ловий либо произойдут, либо нет).

Когда события многократно повторяются при неизменных ус­ ловиях опыта, их проявления подчиняются вероятностным законо­ мерностям.

События называются несовместимыми, если их появление в одном и том же испытании невозможно. Если появление одного события не исключает появления другого, то события называются

совместимыми.

События называются единственно возможными, если появле­ ние в результате испытания только одного из них является досто­ верным. Единственно возможные события попарно несовместимы. События называются равновозможными, если есть основание пред­ полагать, что ни одно не является более возможным, чем другое.

Математическая вероятность Р того, что событие А произойдет Р (А) - это отношение числа шансов тублагоприятных событию А к общему числу благоприятствующих и не благоприятствующих шансов п:

Р{А ) = - .

п

1. Вероятность достоверного события Р = 1:

Р(A ) - £ L . = £ « I .

пп

2.Вероятность невозможного события Р - 0:

Р(А) = - = 0.

3. Вероятность случайного события —это большее число, з ключенное между 0 и 1:

П

0< P (A )< 1.

4.Вероятность любого события выражается так:

О< Р(А) < 1.

Относительной частотой (частостью) Лотн(А) называется отно­ шение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу испытаний:

Лотн(А)=-.

п

Вотличие от математической вероятности, которая вычисляет­ ся до опыта, относительная частота вычисляется после опыта.

Вероятность, определяемая до испытания, называется априор­ ной. Вероятность, определяемая после опыта и приведенная к неко­ торому результату, называется апостериорной.

Вразличных опытах относительная частота различна и колеб­ лется около вероятности. Изменчивость тем меньше, чем больше число испытаний.

Классическое определение вероятности предполагает, что чис­ ло исходов дискретно и конечно. На практике число исходов может быть бесконечно или не поддаваться числовому счету. Поэтому ис­ пользуют понятие статистической вероятности, под которой пони­ мают относительную частоту, или частость. Наблюдения осуществ­ ляют относительно некоторого качественного или количественного признака. Например, производят специальные геофизические ис­ следования скважин, которые позволяют оценить такой качествен­ ный признак, как литологический состав или количественный при­ знак - диаметр скважины, сопротивление и др.

Вариантов исследования может быть два: сплошное и выбо­ рочное.

На практике сплошное исследование проводят реже, так как со­ вокупность объектов может быть большой, или исследования могут быть связаны с уничтожением объекта, или требуются большие ма-

термальные затраты. Примером является изучение обнажений гор­ ных пород вдоль берега реки, когда геологический разрез представ­ лен в ископаемом интервале полностью.

При бурении параметрических скважин вдоль профиля сплош­ ное исследование проводить экономически нецелесообразно. По­ этому проводится выборочное исследование.

Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокуп­ ность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится вы­ борка. Объем генеральной или выборочной совокупности - это чис­ ло объектов в ней. Генеральная совокупность может быть конечной и бесконечной.

Повторной называется выборка, при которой отобранный объ­ ект перед отбором следующего возвращают в генеральную сово­ купность. Бесповторной называют выборку, при которой отобран­ ный объект в генеральную совокупность не возвращают.

Для того, чтобы составить правильное представление об инте­ ресующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо достаточно полное освещение признака отобранными объектами. В этом случае говорят, что выборка должна быть репрезентатив­ ной. По закону больших чисел, выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайным образом. При этом каждый объект генеральной совокупности имеет равную возможность попасть в выборку, то есть выборка рандомизирована.

Каждое отдельное значение признака в выборке называют ва­ риантом. Варианты в выборке могут повторяться. Вариационным рядом называют упорную последовательность величин и признаков по возрастанию или убыванию.

Вариации могут быть дискретными и непрерывными. Дис­ кретная вариация - значения признака, отличающиеся друг от дру­ га на некоторую величину, то есть значения имеют наименьшее общее кратное. Непрерывная вариация - значения признака отли­ чаются друг от друга на любую, даже бесконечно малую величину (масса, дебит нефти и т. п.).

В основе статистического моделирования (СМ) лежат два по­ нятия: генеральная совокупность (ГС) и выборка. Генеральная сово­ купность —множество возможных значений определенного призна­ ка геологического явления (геологическая совокупность). Выборка

- это совокупность наблюдаемых значений этого признака (опро­ буемая выборочная совокупность).

При испытании статистической модели геологические объекты рассматривают как совокупности бесконечно большого числа эле­ ментов. Каждый из них соответствует по размеру отдельной пробе или месту единицы замера.

При СМ предполагают, что выборочная совокупность должна отвечать условиям массовости, однородности, случайности и неза­ висимости.

1. Условие массовости.

Статистические закономерности проявляются лишь в массовых явлениях, поэтому объем выборочной совокупности должен быть достаточно большим. Эмпирическим путем установлено, что на­ дежные статистические оценки получаются при объеме выборки 50...60 значений. При уменьшении объема выборки до 20-30 значе­ ний надежность оценок снижается. При еще большем снижении значений в геологии статистические методы применять нет смысла. При проведении геологических, геохимических, геофизических съемок количество наблюдений велико, условие массовости выпол­ няется, то есть выборка репрезентативна.

2. Условие однородности.

Выборочная совокупность должна состоять из наблюдений, принадлежащих одному объекту и выполненных одинаковым спо­ собом, то есть размер проб и методика наблюдений постоянны. На­ рушения этого условия связаны с ошибками при определении гра­ ниц геологической совокупности и техническими сложностями. Границы геологической совокупности задают исходя из постановки задачи. Предполагают, что все объекты, включенные в геологиче­ скую совокупность, аналогичны и внутренне однородны, однако это подтверждается не всегда. Объекты могут быть схожи по качест­ венным признакам и различаться по количественным.

Большинство геологических образований имеет сложное внут­ реннее строение. Оно обусловлено зональностью и неоднородно­ стями различного масштаба. При обобщении геологических резуль­ татов часто имеют дело с данными, полученными в различные годы и с помощью различных технических средств.