книги / Математические методы моделирования в геологии
..pdfУсловие однородности соблюдается не всегда; при испытании статистических методов нужно учитывать анализ возможных по следствий нарушения этого условия.
3. Условие случайности.
Это условие означает непредсказуемость результата единст венного наблюдения. Сложность и изменчивость геологических объектов исключает их точную оценку до проведения наблюдения. Элемент случайности присутствует во всех геологических исследо ваниях.
Условие случайности строго выполняется лишь тогда, когда места выполнения замеров геологического признака не будут связа ны с величиной, характеризующей этот признак. На практике это достигается проведением наблюдений по равномерной сети. Все места наблюдений намечаются заранее, до проведения работ, в про цессе наблюдений они не корректируются (например, гравиметри ческие, сейсмические и другие профили). При изучении геологиче ских объектов по естественным обнажениям это условие может нарушаться.
Так, на территории со спокойным рельефом обнажения обычно располагаются в бортах речных долин. Они часто совпадают с раз рывными нарушениями. В то же время прочностные свойства пород связаны с текстурными особенностями и минеральным составом. Поэтому статистическая обработка может дать искаженное пред ставление о свойствах пород.
Также условие случайности нарушается в силу субъективности при проведении замеров. Например, гнейсы имеют различную ок раску, и их статистическая оценка может быть различной в зависи мости от того, какой цвет выбран за основу.
Свойства геологических объектов в пределах перспективных участков могут отличаться. Результаты наблюдений по участку де тализации выделяются в самостоятельную выборочную совокуп ность.
4. Условие независимости.
Результат каждого наблюдения не зависит от результатов предыдущих и последующих наблюдений. При проведении наблю дений по площади или в объеме результаты не зависят от координат пространства.
Для большинства геологических явлений условие независимо сти не соблюдается, так как геологические образования изменяются в пространстве и во времени. В этом наблюдается определенная за кономерность. Однако существуют геологические объекты, в кото рых отсутствуют закономерности изменения в пространстве и во времени. Это ограничивает применение статистической модели.
2.2.Статистические характеристики, используемые в геологии
Воснове статистического моделирования лежит понятие о ве роятности случайного события:
Р{А) = 1;
ДА) = 0.
Случайные величины могут быть прерывистыми (дискретны ми) и непрерывными. Случайная величина, принимающая только определенные числовые значения, называется дискретной. Напри мер, дискретными величинами являются: количество зерен минера ла (при изучении шлифа под микроскопом), количество скважин, вскрывших залежь, и т. п.
Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать в некотором интервале любые значения. В геологии ши роко распространены случайные угловые величины, например: за меры залегания контактов пород и разрывных нарушений; ориенти ровка осей складок; направление остаточного магнитного поля Земли.
Замеры обычных скалярных величин можно рассматривать как точки на прямой. Угловые измерения удобно рассматривать как точки на окружности или сфере (например, лимб теодолита или компаса).
Число появления события в серии испытаний называется его частотой. Отношение числа появления события к общему числу опытов в серии называется частостью. При увеличении числа опы тов, то есть объема выборочной совокупности, частость события сходится к его вероятности.
Соотношение, устанавливаю
щее связь |
между |
возможным |
значением |
случайной |
величины |
и соответствующими |
вероятно |
|
стями, называется законом или
функцией распределения (рис. 2 ). Функция распределения F(x) вы ражает вероятность того, что вы борочное значение случайной ве личины ^ окажется меньше неко торого предела, ограниченного х, где х - заданная переменная, то есть Р (£> < х).
Функция плотности распреде ления j(x) характеризует вероят ность попадания выборочного зна чения случайной величины в за данный интервал х, причем х + Ах - это вероятность события (рис. 3):
Р (х < £ < х + Ах),
где х - случайная величина, Ах - случайная составляющая
отклонения;
Эти функции связаны соотно-
х
шением F(x) = J/(*)d х, причем
-00
00
Щх), %
Рис. 2. График интегральной функции распределения
/(*),%
Рис. 3. График функции плотности распределения (дифференциальной функции распределения)
fix), %
J/(*)d х = 1
-оо
Эмпирические графики функ |
|
ции плотности распределения на |
|
зываются гистограммами (рис. 4). |
Рис. 4. Гистограмма содержания |
По оси ординат откладываются |
|
частости, соответствующие каждо |
SiC>2 в неогеновых лавах |
|
му классу значений случайной ве личины.
Графики функции распределе ния F(х) называются кумулятами (рис. 5).
По оси ординат откладывают накопленные частости, то есть суммы частостей по всем классам.
Для углового измерения анало гом гистограммы является диа грамма розы наблюдений (рис. 6 ). Для построения угловое измерение разбивают на классы, то есть сек торы круга.
Наиболее существенные осо бенности распределения выража ются с помощью числовых харак теристик положения и разброса. К важным характери
стикам положения относят матема тическое ожидание, моду, медиану.
Математическое ожидание Мх дискретной случайной величи ны - это сумма производных всех ее возможных значений х, на со ответствующей вероятности (р,).
Р(*),%
Рис. 5. Кумулята содержания Si02 в неогеновых лавах
270°
Рис. 6. Диаграмма розы наблюде ний азимутов падения швов текто нических брекчий в пределах ми нерализованной зоны дробления
1=1
Математическое ожидание непрерывной случайной величины выражается через плотность распределения
+00
М *= |дс/(x)dx,
где d* - интегрируется по х;
J[x) - плотность распределения.
Математическое ожидание |
т , % |
|
характеризует |
среднее значе |
|
ние случайной |
величины. Его |
|
используют для полного опи |
|
|
сания геологических объектов, |
|
|
например, для |
подсчета запа |
|
сов месторождений по оценке среднего содержания полезного компонента; в инженерных рас четах при оценке характеристик
прочностных свойств пород; в классификациях пород при исследо вании обломочных частиц среднего размера, среднего химического и минерального состава.
Мода (Мо) случайной величины - это ее наибольшее вероятно стное значение для дискретной случайной величины (рис. 7).
Мода соответствует вершине на графике функции плотности распределения.
Для большинства статистических законов характерна одна мо да. По наличию на графиках распределений можно сделать вывод, что изучаемая выборочная совокупность неоднородна (рис. 8 ).
Рис. 8. Распределения: а - одномодальное; б - бимодальное; в - полимодальное; г - антимодальное
Медиана (Me) случайной величины соответствует значению функции распределения, равному 0,5 F(x) = 0,5 (50 %). Медиана - это значение, для которого вероятность встречи больших и мень ших значений в выборке равны:
Р(^<М е) = Р(^>М е).
Для симметричного распределения Me совпадает с Мх и Мо. Необходимо определять степень отклонения значений случай
ной величины от ее математического ожидания. Размах варьирова ния R, то есть интервал возможных значений по выборочным дан ным, - это разница между максимальными и минимальными значе ниями:
**^max ^min*
Кхарактеристикам разброса относят центральные моменты различных порядков р. Главной характеристикой разброса является центральный момент второго порядка - дисперсия.
Дисперсия дискретной случайной величины
Ц2 = ст2= £ ( х, - М х)2 Д,
/=1
а дисперсия непрерывной случайной величины
О
Ц2 = сг2 = J(X - M X )2 fix)dx.
—со
Производными характеристиками от дисперсии является стан
дартное или среднее квадратичное отклонение о - -Jo* и коэффи
циент вариации V= ———•1 0 0 %. Мх
Дисперсия и производные от нее характеристики в геологии используются для оценки погрешности измерений и если требуется оценить степень изменчивости свойств геологических объектов.
Для оценки степени асимметрии распределения относительно Мх используется центральный момент третьего порядка ц3:
- для дискретной случайной величины
Из= £ (д :,-М х )3р,;
1= 1
- для непрерывной случайной величины
оо
Цз = J(x-M x)3y(x) djc;
—ОО
-для симметричных распределений Цз=0 .
Враспределении, у которого Mo, Me, Mr смещены от середины размаха варьирования в сторону малых значений, Цз имеет знак «плюс». Хвост на графике плотности распределения, или длинная ветвь кривой, находится справа от центра. Распределение называет ся правоили положительно-асимметричным.
Если Mo, Me, MJC смещены в сторону больших значений, ц3 имеет знак «минус». Хвост на графике, то есть длинная ветвь, нахо дится слева, и распределение называется левоили отрицательно асимметричным. Мерой остроты, или крутости графика функции плотности распределения, является эксцесс Е. Для его оценки слу жит (J4 .
/=1
ИЛИ
Щ = ](х -М х )4 Ддг)с1х.
Моменты Цз и ц4 используют при выборе типа распределения. Обычно вычисляют производные от них А = / с у3 ; Е = ц4/ ст4 - 3, которые называются показателями ассиметрии и эксцесса.
В качестве характеристик положения угловых величин исполь зуют круговое среднее значение, выборочную круговую Me и кру говую Мо. Для угловых величин наряду с Мо используют характе ристику, называемую антимодой. Она соответствует значению
с инимальной частотой. В качестве характеристики рассеяния угло вых величин используют выборочную круговую дисперсию на правлений.
2.3. Точечные и интервальные оценки свойств геологических объектов
Большинство геологических объектов определяются по еди ничным замерам, их свойства отличаются сильной изменчивостью. В геологии часто необходимо оценить среднее значение свойств и количественно выразить степень их изменчивости. Например, по среднему содержанию кремнезема Si02 решают вопрос о принад лежности интрузии к группе средних, кислых или основных пород; на средних размерах обломочных частиц основана классификация терригенных пород; в формулы подсчета запасов при промышлен ной оценке месторождений входят среднее значение мощности тел, компоненты нефтегазонасыщения, среднее значение объема, сред нее значение компонентов в руде, коэффициенты нефтегазонасы щения.
Степень изменчивости в геологии оценивают с помощью дис персии, среднего квадратичного отклонения и коэффициента вариа ции. Они используются для определения возможных ошибок. При точечной оценке неизвестная характеристика оценивается некото рым числом. При интервальной оценке она оценивается интервалом значений.
Статистические оценки могут быть точечными и интерваль ными.
Точечные оценки должны удовлетворять требованиям:
-состоятельности;
-несмещенности;
-максимальной эффективности.
Состоятельной называется оценка, которая с увеличением объема выборки сходится по вероятности к оцениваемому парамет ру. Эта оценка может обладать систематической ошибкой при ма лом объеме выборки:
НшР {[ТХ*! |
- 0 ] <е}, |
где Т - оценка; 0 - неизвестный оцениваемый параметр;
е - систематическая ошибка; п - объем выборки.
Несмещенной называется оценка, Мдс которой равно оценивае мому параметру при любом объеме выборки, то есть не имеет сис тематической ошибки:
Мд: = 0; е = 0.
Если это условие не выполняется, то оценку называют смещен
ной:
Д = М х -0,
и е А - смещение.
Несмещенной оценкой среднего значения является среднее арифметическое.
Максимально эффективной называется оценка, обладающая минимальными возможностями дисперсий, минимальной случай ной ошибкой.
Лучшая из точечных оценок та, которая является состоятель ной, несмещенной и эффективной.
Для оценки средних значений используют 1) среднее арифметическое
И
JC,ар _ i=1
П
2) среднее квадратичное
п
3) среднее гармоническое
JC,
п
тарм
4) среднее геометрическое
*геом |
..... |
5) среднее логарифмическое
_ |
____ |
хтг = 10 18*, где |
lg х = -*=!------; |
|
п |
6 ) средние взвешенные оценки
2 > ,
?вз= - 4 -----3
/ = |
где kj - коэффициент взвешивания по двум параметрам (например, отношение пористости к мощности).
По точечной оценке нельзя судить о точности результата. Чем меньше выборка, тем больше изменчивость признака и тем больше может оказаться ошибка. Если выборка мала, необходимо знать ин тервал значений признака. В него с заданной вероятностью попадет неизвестное истинное среднее значение. Граница этого интервала определяется величиной возможного отклонения оценки параметра Т от его истинного значения 0:
P = (T - X < Q < T + X )= j ,
где 0 - неизвестный оцениваемый параметр.
Вероятность того, что интервал [Т- А., Т+Х] заключает в себе параметр 0, равнау. Этот интервал называют доверительным. Оценка Т при разных вариантах выборки различна, границей дове рительного интервала является случайная величина 0 - параметр 1раницы интервала случайной величины. Говорят не о попадании 0 в интервал, а о том, что интервал накроет 0. Вероятностьу накрытия доверительным интервалом истинного значения параметра называ ется доверительной вероятностью.