книги / Математические методы моделирования в геологии

распределена асимптотически нормально с математическим ожида­ нием 0 и дисперсией 1. Поэтому при проверке гипотезы о равенстве средних с помощью этого критерия теоретическое значение вели­ чины Z находим по таблице значений интегральной функции Лап­ ласа.

В некоторых геологических задачах, например при проверке гипотезы о комагматичности пород, гипотезу о равенстве матема­ тических ожиданий можно заменить гипотезой о равенстве центров распределения, то есть медиан. В этом случае можно воспользо­ ваться критерием Стьюдента даже при логнормальном распределе­ нии изучаемых величин, использовав оценки средних значений и дисперсий логарифмов:

t = [igjc —lgу]/yjs?gx/ и, +Sfgy/ п2.

Пример. В районе широко развиты интрузии гранитов средне- и позднепалеозойского возраста. Со среднепалеозойскими грани­ тами связаны месторождения редкометалльных пегматитов. Среднепалеозойские граниты отличаются от нерудоносных верх­ непалеозойских повышенным содержанием Na20 и ТЮ2 и понижен­ ным содержанием К20. Распределение содержаний Na20 и К20 в гранитах обоих комплексов соответствует нормальном закону, содержание ТЮ2 —логнормальному. Эти различия можно исполь­ зовать для определения возраста интрузий и оценки перспектив их рудоносности в тех случаях, когда эту задачу нельзя решить по возрастным взаимоотнощениям гранитов и осадочных пород.

При сравнении интрузии неизвестного возраста с рудоносны­ ми среднепалеозойскими гранитами ошибка первого рода будет состоять в том, что фактически перспективная интрузия того же возраста будет признана нерудоносной и поисковые работы на этом участке будут прекращены, что может привести к про­ пуску месторождения. Ошибка второго рода произойдет, если фактически нерудоносная интрузия другого возраста будет отне­ сена к рудоносному комплексу, поисковые работы будут продол­ жены, но не дадут положительного результата. Экономический ущерб от этой ошибки в данном случае заключается в непроизво­ дительных затратах на поисковые работы в пределах оцениваемой

локальной площади. Определить ущерб от ошибок первого рода сложнее, но он может быть гораздо значительнее, так как про­ пуск месторождения обычно можно восполнить только путем изучения гораздо больших по площади территорий в другом районе. Поэтому при проверке данной гипотезы уровень значимости, то есть вероятность ошибки первого рода, целесообразно принять довольно низким - 0,05, несмотря на то, что при этом увеличива­ ется вероятность ошибки второго рода.

Сравнивая ту же интрузию с заведомо нерудоносными верхне­ палеозойскими гранитами, наоборот, следует стремиться снизить вероятность ошибки второго рода. Поэтому уровень значимости целесообразно увеличить до 0,1.

Таким образом, гипотеза об идентичности средних содержа­ нии ИагО отвергается, в то время как различие по содержанию КгО можно признать несущественным. Критическое значение Z для тех же условий равно 1,96, поэтому гипотеза о равенстве со­ держаний также отвергается. Последняя гипотеза отвергается даже в том случае если уровень значимости снизить до 0,001

(Zo,9995 =3,3).

Критическое значение критерия Стьюдента t и критерия Z для уровня значимости а = 0,1 равны: t0j : т = 166; Zo,95= 1,645. Поэтому гипотеза об идентичности химического состава изучае­ мой интрузии с верхнепалеозойскими гранитами принимается для всех трех компонентов.

По совокупности проверенных гипотез можно достаточно уверенно дать отрицательную оценку перспектив рудоносности в пределах данной интрузии.

Непараметрические критерии (^-критерий Ван-дер-Вардена, критерий Вилкоксона) используются обычно при малом объеме вы­ борок или в тех случаях, когда средние значения рассчитаны по полуколичественным данным, например по результатам полуколичественного спектрального анализа.

Проверка гипотезы о равенстве средних, определенных по двум выборкам {А и Б) с помощью ^-критерия Ван-дер-Вардена, начина­ ется с того, что все значения по обеим выборкам ранжируются, то есть записываются в один ряд в порядке возрастания, ^-критерий представляет собой величину:

где n - общее число значений по двум выборкам; h - число наблюдений в выборке Б;

/-порядковый номер каждого значения выборки Б в общем ряду;

\|/(...) - функция, обратная функции нормального распределения. При л > 20 величина X распределена асимптотически нормаль­ но с математическим ожиданием 0 и дисперсией а \ . Процедура

проверки гипотезы сводится к расчету всех значений аргумента //(л + I), нахождению по таблицам обратной функции нормального распределения значений функции ц/ для этих аргументов, суммиро­ ванию значений функции \|/ и сравнению полученного значения критерия X с табличным для заданного уровня значимости, общего числа наблюдений я и разницы между объемами выборок Aw Б. Ес­ ли расчетное значение X по абсолютной величине больше таблич­ ного, гипотеза о равенстве выборочных средних отвергается.

Для функции v|/(...) существуют специальные таблицы. Однако ее значения можно найти и с помощью обычных таблиц интеграль­ ной функции нормального распределения с параметрами 0 ,1, ис­ пользуя ее в обратном порядке. При этом значения аргумента //(л + 1) приравниваются к вероятностям р, а величина у(//(л+1)) на­ ходится по значениям Z, соответствующим этим вероятностям.

Для //(и + 1) значения у(//(л + 1)) будут отрицательными, а для //(л + 1) > 0,5 - положительными.

Если систематических расхождений между выборками А и Б нет, то в ранжированном ряду значения каждой выборки будут рас­ полагаться симметрично относительно середины этого ряда, соот­ ветствующей / = и/2 и //(л+1) = 0,5, число отрицательных и положи­ тельных значений у(//(л+1)) для каждой выборки будет примерно равным, а их алгебраические суммы, то есть значения ^-критерия, близки к нулю (табл. 1 и 2 ).

Непараметрический критерий Вилкоксона (fV) также основан на процедуре ранжирования и представляет собой сумму рангов /?,•

членов меньшей выборки в общем ранжированном ряду из обеих выборок:

W = ^ R t , л,<н2.

Таблица 1 Результаты опробования разведочных выработок

на россыпном месторождении золота

Таблица 2 Проверка гипотезы о равенстве средних содержаний золота

по критерию Ван дер Вардена

Окончание табл. 2

Если гипотеза о равенстве средних по совокупностям А и Б верна, то есть Но: Зс, = Зс2, математическое ожидание статистики Вилкоксона М W и величины возможных отклонений от нее выбо­ рочных оценок W зависят только от объемов выборок пхи п2.

Для случаев, когда nt и л2 < 25, значения удвоенного математи­ ческого ожидания критерия Вилкоксона( 2М W) и его нижнего кри­ тического значения Wi для заданного уровня значимости а приве­ дены в специальных таблицах. Верхнее критическое значение кри­ терия W2 определяется из уравнения W2= 2М W -W \. Уровень значимости для VTi в этих таблицах дан для альтернативы Hi'. ':с, ФЗс2, Зс, < Зс2. Поэтому при альтернативе Н\. ххФх2,хх<х2 или Зс, > Зс2 уровень значимости для нахождения Wi необходимо умень­ шить в два раза.

Для приведенного выше примера сравнения содержаний золота по шурфам и скважинам (см. табл. 2) значение критерия Вилкоксо­ на равно 151. Для уровня значимости ос/2 = 0,05 и щ = 10, п2= 13 находим: Wx= 92, 2М1У= 240, W2 = 148. Таким образом, эмпириче­ ское значение критерия W превышает его верхнее критическое зна­ чение, следовательно, с вероятностью 0,9 гипотеза о равенстве средних содержаний золота по шурфам и скважинам отвергается.

Если п\ или л2 > 25, критические значения критерия Вилкоксона можно определить по следующим приближенным формулам:

W\ = 0,5[П|(Л| + л2 + 1) -1] - 2 Х-Z,_a/2 ^ « , w 2(«, + л2 +1);

fV2 = nl(nl +fi2+ l ) - fV b

где Zi-од - значения функции нормального распределения с пара­ метрами 0 ,1.

При наличии в объединенной выборке совпадающих значений им дается одинаковый средний ранг, равный среднему арифметиче­ скому из всех рангов, приходящихся на данную группу повторяю­ щихся значений, а формула принимает следующий вид:

где к —число групп из повторяющихся значений, принадлежащих разным выборкам;

/, - число совпавших значений в группе с номером / (/ = 1, 2 , 3, *).

Группы повторяющихся значений, состоящие полностью из значений выборки А или Б, можно не учитывать при введении поправки.

При сравнении двух случайных угловых величин обычно про­ веряется гипотеза о равенстве круговых средних направлений ц. В случае соответствия обеих выборочных распределений закону Мизеса гипотезу Н0: р, ^ р2 при альтернативе Н\. ю Ф ц можно проверить с помощью параметрического критерия ВатсонаВильямса. Для этого рассчитываются суммарные величины R\ и R2,

результирующие длины Л, и /?2, выборочные круговые средние на­ правления т\ и m2, а также общая векторная величина R =

= -у//?,2 + R j + 2 R {R 2 COS(/W, - т г ).

С помощью этих параметров вычисляется средняя общая ре­ зультирующая длина R = R/(ni+n2) и статистика ВатсонаВильямса:

д ,= (*1 + * 2) (я,+«2)

По значению R с помощью таблиц функции к = А-1 (R) опре­ деляется общая оценка параметра концентрации к\ и к2. Предполага­ ется, что параметры концентрации к\ и к2 сравниваемых угловых величин равны.

Если О <R< 0,7, а щ отличается от п2 не более чем в два раза, критическое значение статистики Ватсона-Вильямса R'Kp для уров­

ня значимости а = 0,05 можно определить с помощью номограмм. Если R ’> /?к'р, гипотеза о равенстве средних круговых направлений

отвергается.

При R < 0,7 для проверки данной гипотезы можно использо­ вать критерий Фишера. В случае 0,7 < R < 0,98 эмпирическое зна­ чение /«’-критерия рассчитывается по формуле

а если R > 0,98, то по более простой формуле

р _ (п, +п2+2 )(/?, +R2- R ) Щ+п2 - R \ ~ R-2

Гипотеза Я0 отвергается, если рассчитанное значение F превы­ шает табличное значение критерия Фишера для заданного уровня значимости а при степенях свободы (i = 1 и (2= щ + п2- 2 .

Непараметрическим аналогом критерия Ватсона-Вильямса яв­ ляется ранговый критерий равномерных меток Вилера-Ватсона-

Ходжеса, применение которого не ограничивается условием соот­ ветствия выборочных данных какому-либо определенному закону распределения.

Построение этого критерия основано на объединении двух сравниваемых выборок объемом щ (меньшая выборка) и п2в общую выборку объемом п = п\ + л2 и ранжировании всех замеров в по­ рядке возрастания угловых величин. Фактические замеры заменя­ ются величинами р = 360/?//я, где /?/ - ранг, то есть порядковый но­ мер замера в общем ранжированном ряду. Эта операция соответст­ вует размещению замеров по двум выборкам на окружности 2 к в порядке их возрастания на одном расстоянии друг от друга, рав­ ном 2п/п. Ранговый критерий равномерных меток представляет со­ бой вели чину R * = 2(п - 1) /?2 !пхпг /?\, где

то есть квадрат длины результирующего вектора для точек на ок­ ружности, соответствующих значениям меньшей по объему выборки.

Для малых выборок (п < 20) рассчитаны таблицы критических значений статистики /?*. При п > 20, если гипотеза Я0 о равенстве круговых средних верна, статистика R* распределена приближенно как х 2 с двумя степенями свободы.

Пример. В пределах рудного поля оси линейных складок и ос­ новные рудоконтролирующие разрывные нарушения ориентирова­ ны в северо-восточном направлении. Проверим гипотезу о равенст­ ве круговых средних их азимутов простирания. Для определения рангов общей выборки используются замеры по обеим выборкам,

а расчет значений Р,. и статистик R\ производится только по замерам азимутов разрывных нарушений, составляющим выборку меньшего объема. Значение критерия х2 Для уровня значимости

а - 0,1 и числа степеней свободы f =2 равно 4,605 и значительно превышает рассчитанную величину статистики, при уменьшении уровня значимости величина х 2 возрастает, поэтому нет основа­ ний отвергать гипотезу о равенстве круговых средних направлений осей складок и азимутов простирания разрывных нарушений.

Если гипотеза Н0: P\=Pi верна, величина Zlla6 распределена асимптотически нормально с параметрами 0 и 1, что дает возмож­ ность использовать таблицу функции Лапласа для нахождения кри­ тического значения ZKp при проверке данной гипотезы с заданным уровнем значимости а. Если альтернативная гипотеза заключается в том, что рх^ р2, значение Z^ по таблицам функции Лапласа на­ ходится для вероятности Р = 1 - а / 2 , а при альтернативах Н\ Р\ > pi или р2 > р\ для вероятности р = 1 - а.

Пример. Месторождение молибдена отрабатывается карье­ ром. По уступу карьера, где пробурена густая сеть буровзрывных скважин, установлено, что коэффициент рудоносности, то есть отношение скважин, вскрывших кондиционную руду (.Х\) к их обще­

Нижележащий уступ вскрыт редкой сетью разведочных сква­

жин, по которым установлено, что КРУд = х2/п2 = р2 = 10_ = 0,40. 25

Высказано предположение, что коэффициент рудоносности, а следовательно и отношение объема руды к объему пустых пород с глубиной увеличивается. Это предположение можно под­ твердить путем проверки гипотезы о равенстве коэффициентов рудоносности (Н0: pi =рг) при альтернативе Н\: р / < р2.

о равенстве коэффициентов рудоносности можно отвергнуть лишь в том случае, если уровень значимости а, то есть вероят­ ность ошибки первого рода, будет увеличен до 0,2.