книги / Математические методы моделирования в геологии

Расчеты показывают, что различие в оценках коэффициентов рудоносности по двум уступам не очень существенно и может быть обусловлено малым количеством скважин на нижнем уступе, а не фактическим увеличением рудонасыщенности с глубиной.

2.7. Проверка гипотез о равенстве дисперсий

Сравнение геологических объектов по степени изменчивости, которая оценивается по величине дисперсии или коэффициента ва­ риации тех или иных свойств, необходимо для обоснованного при­ менения принципа аналогии при их изучении. Так, например, дис­ персия мощности рудных тел характеризует сложность их строения.

Различие в дисперсиях свойств аналогичных по составу геоло­ гических объектов может указывать и на различие в истории их формирования. Так, различие дисперсий содержаний основных по­ родообразующих минералов в двух схожих по составу комплексах магматических пород может указывать на то, что комплекс, для ко­ торого характерна большая степень рассеяния содержаний, форми­ ровался в течение более длительного периода, и в нем сильнее про­ явились процессы дифференциации.

Различные горные породы, сходные по средним значениям фи­ зических свойств - магнитной восприимчивости, электропроводи­ мости и т. п., часто отличаются по степени изменчивости этих свойств. Поэтому путем проверки гипотез о равенстве (различии) дисперсий можно проводить литологическое расчленение разрезов по данным геофизического каротажа скважин при бескерновом бу­ рении, а также интерпретировать результаты геофизических съемок при составлении геологических карт.

На сравнении дисперсий основаны также методы определения величин случайных погрешностей различных способов опробова­ ния и анализов. Если количественные данные о свойствах геологи­ ческого объекта получены различными способами, то более надеж­ ным следует признать тот из них, который дает меньший разброс значений изучаемого свойства, то есть характеризуется меньшей дисперсией.

Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий of и <з\ обычно

используется критерий Фишера F. Р. Фишером было установлено,

что в случае равенства дисперсий двух нормально распределенных

случайных величин, величина F = 5,2 / S\ при «S'2 > распределена

по закону Фишера с щ - 1 и «г - 1 степенями свободы, где щ - ко­ личество членов в выборке, по которой получена большая оценка

дисперсии S f , а л2 —объем второй выборки. Процедура проверки гипотезы сводится к нахождению эмпирического значения F- критерия и сравнению его с табличным значением для принятой доверительной вероятности ( 1 —а) и степенях свободы f = и - 1 и f = «2 —1. Если вычисленное значение критерия Фишера превы­ шает табличное, то гипотеза о равенстве двух дисперсий отвергается.

В приложении приведены критические значения F-критерия

af <ст2 , критическое значение критерия Фишера находят для уров­

ня значимости а/2 .

В условиях асимметричных распределений критерий Фишера обладает малой мощностью. В случае логнормального распределе­ ния сравниваемых совокупностей при использовании этого крите­ рия необходимо пользоваться максимально правдоподобными оценками дисперсий или проверять гипотезу о равенстве дисперсий логарифмов значений исследуемого признака.

Пример. Воспользуемся статистическими характеристиками, приведенными в табл. 3, и проверим гипотезу о равенстве диспер­ сий содержаний Na20, К20 и ТЮ2 в гранитах неизвестного воз­ раста и гранитах средне- и верхнепалеозойского комплексов при

альтернативе Н\ \ af Ф а\ и уровне значимости а/2 = 0,05.

Таблица 3 Исходные данные оценки рудоносности гранитов неизвестного

возраста (в %).

Сравнение гранитов неизвестного возраста со среднепалео­ зойскими гранитами:

по NajO: F = 1,38 = 1,14;/| = 29;/ 2 = 99; F = 1,60 1,21

по К20: ( F = 7 ^ = l«32;/1= 29;/2 = 99;/^ -1,60j;

0,225

Сравнение гранитов неизвестного возраста с верхнепалеозой­ скими гранитами:

«ONa2O:fF = b § = l,10;/, = 99;/2 =29;/^ sl,8ol;

по ТЮ2: F = 0,321 = 1,43;/= 99;/2 =29;FKps 1,0 0,225

fio всех случаях рассчитанные значения критерия Фишера ока­ зались меньше критических, следовательно, рассматриваемые гра­ ниты по степени изменчивости содержаний данных химических элементов существенно не отличаются ни от среднепалеозойских, ни от верхнепалеозойских. Поэтому характеристики изменчивости в данном случае нельзя использовать в качестве классификационно­ го признака.

В процессе решения геологических задач иногда приходится сравнивать по степени изменчивости разные признаки, например мощность рудного тела и содержание в нем полезного компонента. В этом случае проверяется гипотеза о равенстве их коэффициентов вариации V\ и V2. Для этого используется величина

г2 (

которая также распределена по закону Фишера с я ( - 1 и 1 сте­ пенями свободы, при условии, что в знаменателе стоит меньшая из

Непараметрическим аналогом критерия Фишера является кри­ терий Сиджела-Тьюки, по процедуре вычисления во многом сход­ ный с критерием Вилкоксона. Он применим для распределений лю­ бого вида и не чувствителен к аномальным значениям, поэтому весьма удобен для решения геологических задач, особенно по вы­ боркам малого объема.

Критерий Сиджела-Тьюки построен исходя из предположения о равенстве центров распределения сравниваемых совокупностей. Поэтому в случае несоблюдения этого условия исходные данные по каждой выборке необходимо центрировать относительно их меди­ ан, то есть сравнивать не сами значения изучаемых параметров, а их отклонения от медиан.

Значения сравниваемых выборочных совокупностей объеди­ няются в общую выборку и записываются в виде вариационного ряда в порядке их возрастания: х\ <х2 <х3 < ... <хд,_ь где N = п\ + п2 - объем общей выборки; щ - объем меньшей выборки. Члены вариа­ ционного ряда, в свою очередь, ранжируются следующим образом; ранг 1 приписывается наименьшему члену ряда xi; ранг 2 - наи­ большему, то есть хы, ранг 3 - значению х2; ранг 4 - значению xN^ и т. д. Если N нечетно, то медианному значению ранг не присваива­ ется. При таком ранжировании значениям выборки с меньшей дис­

В случае равенства дисперсий значения из разных выборок будут чередоваться в ранжированном ряду случайно, и сумма рангов, от­ носящихся к членам, меньшим по объему выборки, будет обладать всеми свойствами рассмотренного выше критерия Вилкоксона W. Дальнейшая проверка гипотезы о равенстве дисперсий сводится к нахождению критических значений W\ и W2 по описанной выше процедуре и сравнению с ними рассчитанного значения W.

Пример. По одному из участков молибден-вольфрамового ме­ сторождения для контроля бороздовых проб (выборка А) отобрано

16 валовых проб большой массы (выборка Б). Проверим гипотезу о авенстве средних значений и дисперсий содержаний молибдена по робам, отобранным разными способами при альтернативах

# 1 : х Ф хБ, Н[:а Л2 * и уровне значимости а = 0,1.

Результаты проверки гипотез позволяют сделать следующие выводы:

-различие в средних содержаниях молибдена по пробам раз­ ной массы несущественно, следовательно, опробование малыми пробами не приведет к систематическим ошибкам в оценке средней качества руд;

- содержания по бороздовым пробам отличаются большим раз­ бросом, следовательно, для оценки среднего содержания молибдена с заданной точностью их требуется значительно больше, чем валовых.

2.8. Анализ однородности выборочных геологических совокупностей

При использовании одномерных статистических моделей для описания свойств геологических объектов предполагается, что дан­ ный объект однороден в отношении изучаемого свойства. Обычно вопрос об однородности решается исходя из принятой геологиче­ ской модели. Исследуемый объект считается статистически одно­ родным, если он однороден по геологическому строению. Однако на ранних стадиях изучения трудно однозначно решить вопрос о еологической однородности на основе только качественной геоло­ гической информации. В этих случаях можно использовать обрат­ ный прием - получать суждение о геологической однородности объекта путем проверки гипотезы о его статистической однородно­ сти, используя количественные данные о характере изменчивости его свойств.

Задачи, основанные на проверке гипотезы о статистической од­ нородности геологических объектов, можно разделить на три типа:

-выделение аномальных значений;

-разделение неоднородных выборочных совокупностей;

-оценка степени влияния различных факторов на характер из­ менчивости свойств геологических объектов.

Выявление локальных неоднородностей (аномалий) в строении геологических объектов имеет исключительно важное практическое значение при проведении поисковых работ, так как они часто ис­ пользуются в качестве признаков, указывающих на наличие повы­ шенных концентраций полезных ископаемых.

Наличие же в выборочных совокупностях резко выдающихся значений, обусловленных локальными причинами и не характерных для данного геологического объекта, в целом снижает точность вы­

верки гипотез о равенстве средних и дисперсий.

Для выделения аномальных значений совокупность результа­ тов наблюдений рассматривается как выборка из двух различных генеральных совокупностей - «фоновой» и «аномальной». При этом аномальные значения присутствуют в выборке в очень небольшом количестве или совсем отсутствуют.

В случаях нормального распределения фоновой генеральной совокупности эта задача решается с помощью параметрических критериев Смирнова и Фергюссона.

Н. В. Смирновым было установлено, что если максимальный по значению член выборочной совокупности не является аномаль­

ным, то величина t = (xmax - x )/S ^ u имеет распределение, названное его именем. В данной формуле хтахмаксимальный член выборки;

х - среднее арифметическое; SC2Mсмещенная оценка дисперсии, которая рассчитывается через несмещенную оценку дисперсии S2

по формуле S(u = S ' / 1- 1'

\ « )

Если рассчитанное значение критерия больше допустимого, определенного по таблицам распределения Смирнова для заданной доверительной вероятности и п степеней свободы, то максимальное значение выборки следует считать аномальным.

Критерий Фергюссона основан на том, что если выборочная совокупность не содержит аномальных значений, то оценка коэф­ фициента асимметрии А будет распределена асимптотически нор­ мально с математическим ожиданием 0 и дисперсией .

Если рассчитанное значение коэффициента асимметрии пре­ вышает табличное для заданной доверительной вероятности и п степеней свободы, то максимальное значение выборки следует при­ знать аномальным. Если распределение фоновой совокупности от­ личается от нормального, то «аномальными» будут признаваться все редко встречающиеся большие значения, принадлежащие ис­ следуемой генеральной совокупности. Это ограничивает область применения обоих критериев. Они могут применяться только в том случае, если заранее известно, что распределение фоновой совокуп­ ности является нормальным.

В практике геохимических исследований за аномальные значе­ ния часто принимают маловероятные значения, по абсолютной ве­ личине превышающие За ± х или Зс ± 2 а , то есть отличающиеся от среднего на утроенное или удвоенное значение стандартного от­ клонения. Однако этот способ нельзя признать корректным, так как он не гарантирует отсутствия ошибок как первого, так и второго рода, причем вероятность этих ошибок оценить нельзя.

Таким образом, задача выявления аномальных значений невоз­ можно решить универсальными статистическими методами. Ано­ мальное значение должно определяться опытным путем на основе анализа геологических причин изменения значений изучаемых свойств. Статистические характеристики при этом будут иметь вспомогательное значение.

Если количество наблюдений, принадлежащих разным геоло­ гическим совокупностям в неоднородной выборке велико, то воз­ никает необходимость и возможность ее разделения на несколько однородных совокупностей.

Кзадачам такого типа относятся:

-расчленение разреза осадочных пород по микрофауне;

-расчленение немых толщ по петрографическому, минераль­ ному или химическому составу;

-расчленение древней коры выветривания по комплексу гео­

химических признаков;

-выделение маркирующих горизонтов;

-определение рационального комплекса геофизических мето­

дов для геологического картирования; - таксономическая классификация ископаемых организмов

по морфологическим признакам;

-классификация метаморфических и интрузивных горных по­ род по химическому составу;

-выделение однородных подсчетных блоков при подсчете за­ пасов месторождений.

Решение этих задач включает операции по проверке гипотезы

онеоднородности исходной выборочной совокупности, нахожде­ нию границ входящих в нее однородных совокупностей и оценке параметров каждой из этих совокупностей. При этом для разделе­ ния исследуемого множества наблюдений или объектов на однород­ ные совокупности используются как формальные математические методы, так и экспертный метод, когда геолог на основании опыта и представлений о структуре изучаемого сложного геологического объекта первоначально выделяет элементарные условно однородные совокупности, а окончательные границы однородных совокупностей определяются после объединения элементарных совокупностей, раз­ личия между которыми признаются статистически незначимыми.

Простейшие способы разделения неоднородных выборочных совокупностей основаны на анализе графиков эмпирических кри­ вых распределения. На неоднородность выборки может указывать наличие на графике нескольких максимумов (рис. 9). Неоднородные выборочные совокупности можно разделить с помощью специаль­ ных палеток.

* 1 р

0

Рис. 9. Классификация амфиболитов по содержанию роговой обманки (по Б. М. Роненсону и др.): а - экспериментальный график распределения со­ держаний роговой обманки; б - графики плотности вероятностей для сово­ купностей А у Б и В\ в - графики интегральной функции распределения для совокупностей А у Б и В