книги / Математические методы моделирования в геологии

позволяющие усилить в преобразованном ряде X ’ir) роль периоди­ ческой составляющей. Наиболее приемлемым из них является ме­ тод, основанный на оценке спектральной плотности дисперсии Sx(<£>), получаемой в результате разложения в ряд Фурье корреляционной функции

О

При изучении изменений параметра дискретной сетью наблю­ дений спектральная плотность заменяется линейчатым энергетиче­ ским спектром. Значения энергетического спектра dk показывают, каким образом общая дисперсия признака распределяется между отдельными гармониками.

Энергетический спектр случайной полигармонической после­ довательности, рассчитанный по ограниченному количеству на­ блюдений, представляет собой сочетание резких пиков на частотах, соответствующих закономерным гармоническим колебаниям, с от­ носительно постоянными для всех других частот значениями dk, обусловленными случайной составляющей.

Величину периодов закономерных колебаний можно опреде­ лить по формуле

7* = (N - l)r / о)*,

где N - общее количество замеров по профилю;

г - расстояние между соседними пунктами наблюдений. Значения dk, обусловленные случайной составляющей, имеют

бета-распределение Фишера, плотность которого задается форму­ лой

Р(*) = (и -1 )(1 -* Г 2,

где п - общее число значений спектра.

Математическое ожидание и стандартное отклонение этого распределения соответственно равны

дисперсии линейного запаса обусловлено закономерными колеба­ ниями. Эмпирическая корреляционная функция удовлетворительно аппроксимируется полиномом:

Однако модель, основанная на разделении наблюдаемой из­ менчивости на полигармоническую составляющую и случайную составляющую, отождествляемую со случайной величиной («белым шумом»), является несколько упрощенной. Наряду с периодиче­ скими изменениями для изменчивости геологических объектов обычно характерны закономерные, но непериодические локальные изменения.

Приближенная оценка корреляционной функции составляющей hx(r) может быть получена путем последовательного вычитания из эмпирической корреляционной функции гармонических состав­ ляющих.

Таким образом, с помощью спектра амплитуд наблюдаемую изменчивость любого свойства геологических объектов можно раз­ делить на три составляющие:

-координированную, обусловленную закономерными на всем протяжении изучаемого участка изменениями свойства и описы­ ваемые с помощью тригонометрического полинома;

-коррелированную, описывающую закономерные в локальной области изменения свойства с помощью корреляционной функции, зависящей только от расстояния между точками наблюдений;

-случайную, описывающую незакономерные случайные коле­ баний свойства, которые могут рассматриваться как реализация случайной величины («белый шум»).

Координированная составляющая, описывая общие закономер­ ности изменения свойств в пространстве, отражает главные особен­ ности строения геологических объектов. С помощью координиро­ ванной составляющей можно:

-выделять элементы неоднородности в строении объектов ис­ следования на различных стадиях их изучения;

-предсказывать наиболее вероятные значения свойства в лю­ бой точке исследуемого профиля;

- оценивать степень выявления закономерных пространствен­ ных изменений в зависимости от густоты сети наблюдений.

Коррелированную закономерную составляющую нельзя ис­ пользовать для геометризации элементов неоднородности, так как она характеризует лишь средний градиент изменений изучаемого свойства в пределах расстояния корреляции. Она используется для решения задач, связанных с распространением эмпирических дан­ ных на сравнительно малый объем изучаемого объекта.

Случайная составляющая отражает незакономерные флуктуа­ ции параметров и должна учитываться при расчете точности сред­ них значений параметров.

Способ выражения закономерностей координированной со­ ставляющей изменчивости свойств геологических объектов с по­ мощью спектрального разложения имеет ряд существенных пре­ имуществ по сравнению с наиболее распространенными способами сглаживания и тренд-анализа:

- математическая модель изменчивости, на которой основан этот способ, отвечает интуитивному представлению о наличии в изменчивости реальных геологических объектов закономерностей различного порядка;

-способ не требует априорных допущений о количестве этих порядков, так как их число определяется самим методом;

-спектральное разложение корреляционной функции является эффективным селективным преобразованием для выделения зако­ номерностей любого масштаба;

-спектр амплитуд позволяет разделить закономерные измене­ ния параметров на периодические и непериодические, а обусловли­ вающие их геологические факторы на общие и частные;

-спектр амплитуд показывает, каким образом общая дисперсия признака распределяется между закономерностями разного масшта­ ба, и позволяет оценить значимость выявленных закономерностей.

Повышенное значение dk отмечается также на частоте 4, соот­ ветствующей колебаниям с периодом 11 м.

Эмпирические спектры амплитуд позволяют находить вероят­ ность и величину возможных ошибок в определении средних зна­ чений за счет периодических колебаний, кратных или равных шагу основной сети наблюдений, а также выявлять запрещенные разве­

дочные сети, шаг которых близок к периодам колебаний, домини­ рующим на том или ином уровне строения месторождения.

Для более глубокого ознакомления с математическим аппара­ том теории случайных функций может быть рекомендована книга М. Кендалла и А. Стьюарта; математический аппарат гармониче­ ского анализа подробно рассмотрен в книге А. А. Никитина. При­ меры практического использования случайных функций при геоло­ гическом картировании приведены в [20]. Опыт использования дан­ ной модели при решении задач разведки месторождений обобщен в работе А. Б. Каждана.

Контрольные вопросы

1.Что такое случайный процесс, случайная последовательность

ислучайное поле?

2.Почему случайные функции можно использовать для описа­ ния свойств геологических объектов и процессов?

3.Какие свойства геологических образований и процессов опи­ сывают автокорреляционные функции?

4.Какие геологические задачи можно решать с помощью авто­ корреляционных функций?

5.Что такое расстояние предельной корреляции? Для чего ис­ пользуется этот показатель?

6. Какие геологические задачи можно решать с помощью вза­

имных корреляционных функций (ВКФ)?

7. Какие геологические задачи можно решать с помощью дву­ мерных автокорреляционных функций (ДАКФ)?

8 . Свойства каких геологических объектов можно описывать полигармоническими случайными функциями?

9. Что такое энергетический спектр и спектральная плотность дисперсии?

10.Как можно выявить аномальные значения энергетического спектра?

11.Как можно с помощью энергетического спектра разделить наблюдаемую изменчивость на случайную и закономерную состав­ ляющие?

12.Какие геологические задачи можно решать с помощью гар­ монического анализа?

6. ФАКТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ВЫБОР И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

Выбор и эффективность использования математических мето­ дов при решении геологических задач зависят от многих факторов,

вчисле которых ведущее значение имеют:

-характер решаемых геологических задач;

-свойства изучаемых геологических объектов;

-методика изучения геологических объектов;

-полнота и объективность геологического анализа при выборе геологической модели и интерпретации полученных результатов.

При этом характер решаемой задачи обычно определяет тип используемой математической модели, а свойства геологических объектов и методика их изучения влияют главным образом на эф­ фективность тех или иных конкретных методов решения.

6.1. Влияние типа геологической задачи

на выбор математической модели

С позиции системного подхода все геологические задачи, в из­ вестной степени условно, можно разделить на две группы.

В первую группу целесообразно объединить задачи, решение которых основано на расчете средних характеристик свойств (па­ раметров) геологической системы. При этом принимается, что гео­ логическая система однородна, а особенность взаимосвязи между ее элементами не учитывается. Ведущую роль при решении таких за­ дач играют одномерные статистические модели.

Во вторую группу можно выделить задачи, при решении кото­ рых используются сведения о характере взаимосвязи элементов

в геологической системе, то есть о ее внутреннем строении (струк­ туре). Если в качестве элементов системы рассматриваются ее отдельные свойства (параметры), то используются главным образом двумерные и многомерные статистические модели. Когда эле­ ментами системы являются отдельные участки геологических объ­ ектов или определенные временные отрезки геологических процес­ сов, то есть свойства изучаемых объектов рассматриваются как

пространственные или временные переменные, используются гор­ но-геометрические модели, методы тренд-анализа или случайные функции.

Однако для решения большинства задач в той или иной степе­ ни требуются сведения как о средних параметрах геологической системы, так и о ее структуре. Поэтому часто их нельзя решать в рамках одной математической модели.

Необходимо помнить, что любая математическая модель явля­ ется упрощенным аналогом изучаемого объекта и исходит из опре­ деленных априорных допущений относительно его свойств. Поэто­ му нередко выбор наиболее эффективного метода решения требует предварительного изучения этих свойств с помощью различных моделей.

Наиболее простыми являются задачи, связанные с нахождени­ ем точенных оценок средних параметров геологических объектов. В эту группу попадают задачи, связанные с оценкой качества и под­ счетом запасов полезных ископаемых, определением прочностных свойств горных пород и руд для инженерных расчетов при выборе оптимальной технологии добычи и переработки полезных ископае­ мых и т. п. Средние характеристики свойств геологических объек­ тов не зависят от их структуры, поэтому такие задачи можно ре­ шать в рамках одномерной статистической модели. Свойства изу­ чаемого объекта и методы его изучения в данном случае влияют лишь на выбор конкретного вида модели (статистического закона распределения). Необходимость в привлечении других моделей может возникнуть лишь на этапе проверки адекватности геологиче­ ской и опробуемой совокупности. Для суждения о случайном рас­ положении выборочных наблюдений относительно элементов внут­ реннего строения геологической системы, представляющей собой определенный объем недр, целесообразно использовать простейшие модели, описывающие пространственные геологические перемен­ ные - графические (карты, проекции, разреза) или планы изолиний (топофункции).

Гораздо более сложными являются задачи нахождения интер­ вальных оценок параметров геологических объектов.

Если выборочная совокупность сформирована заведомо слу­ чайным образом и не содержит информации о пространственной

структуре изучаемой геологической системы, то величина возмож­ ной погрешности средних параметров будет зависеть только от ин­ тенсивности изменчивости (дисперсии) изучаемого свойства и объ­ ема выборки. Такая ситуация возникает, например, при расчете случайных среднеквадратичных погрешностей анализов проб, ха­ рактеризующих качество работы лабораторий.

Однако в большинстве случаев изучаемые геологические объ­ екты представляют собой тела, имеющие определенный объем, и их свойства должны рассматриваться как пространственные перемен­ ные. При этом выборочная совокупность обычно представляет со­ бой серию замеров изучаемого свойства в определенных точках координат пространства и содержит сведения не только об интен­ сивности наблюдаемой изменчивости, но и о ее характере - соот­ ношении случайной и закономерной составляющей. В этом случае для нахождения интервальной оценки необходимо с помощью ме­ тодов тренд-анализа, случайных функций или гармонического ана­ лиза проверить гипотезу об отсутствии в наблюдаемой изменчиво­ сти закономерной составляющей.

Решение многих геологических задач основано на принципе аналогии, когда недостаток информации об объекте изучения вос­ полняется сведениями, полученными при изучении сходных объек­ тов. Для определения объектов-аналогов используются различные классификации и группировки. Поэтому задачи классификации и распознавания образов очень широко распространены в геологи­ ческой практике. В качестве классификационных признаков могут выступать различные свойства геологических систем, характери­ зующие как параметры, так и структуру. Поэтому методы решения данного типа задач весьма разнообразны.

Под классификацией подразумевается разделение совокупности изучаемых объектов на естественные сообщества (классы), то есть совокупности объектов, обладающих хотя бы одним общим призна­ ком. Этот признак обычно задается априорно, исходя из существа геологической задачи, решаемой на основе классификации. Клас­ сификационным признаком могут служить: средние значения, ме­ дианы или моды одного или нескольких свойств геологических объектов, характеристики рассеяния-дисперсии или коэффициенты вариации, тип корреляционной связи между различными свойства­

ми объектов, характер изменчивости свойств объектов в простран­ стве или процессов во времени и т. д. Классифицироваться могут совокупности объектов или различные свойства одного объекта. Количество классов сгруппирования при этом может быть заранее неизвестно.

Под распознаванием образов понимается процесс классифика­ ции, когда изучаемый объект относится к одному из эталонных классов с заранее известными свойствами.

Простейшие задачи классификации заключаются в сравненинии двух объектов по одному признаку. Их решение основано на проверке гипотез о равенстве параметров распределения этого при­ знака с помощью статистических критериев согласия. Внутренняя структура сравниваемых объектов при этом не учитывается. Для решения этих задач используются одномерные статистические мо­ дели. Необходимость привлечения других моделей может возник­ нуть лишь на этапе определения границ геологической совокупно­ сти и при оценке ее адекватности опробуемой совокупности.

Для сравнения двух геологических объектов по комплексу свойств применяются многомерные статистические модели. При этом используются многомерные аналоги параметрических и непа­ раметрических критериев согласия критерии Пури-Сена-Тамуры, Джеймса-Сю и др. В качестве меры сходства или различия в этом случае можно использовать также коэффициенты сходства (Сока- ла-Миченера, Рао-Рассела и др.) или коэффициенты расстояния (Махаланобиса, Минковского и др.), которые рассчитываются с по­ мощью алгоритмов кластерного анализа.

Иногда необходимо сравнить два или более объекта по харак­ теру корреляционных связей между их различными свойствами. Такая ситуация возникает, например, при оценке комплексных гео­ химических аномалий, определении глубины эрозионного среза ме­ сторождений, выделении рудных формаций и т. д. Задачи такого типа решаются путем проверки гипотез о равенстве ковариацион­ ных матриц с помощью многомерных критериев согласия (ПуриСена, Кульбака и др.) или методами кластерного анализа путем сравнения дендрографов и дендрограмм.

Значительно реже в качестве классификационных признаков используются количественные характеристики пространственной

изменчивости геологических объектов или изменения параметров геологических процессов во времени. Автокорреляционные функ­ ции и спектры амплитуд используются также при морфологической классификации тел полезных ископаемых и сопоставлении разрезов метаморфических толщ.

Задачи распознавания образов, связанные главным образом с прогнозной оценкой территорий при поисках месторождений по­ лезных ископаемых, имеют достаточно надежные решения лишь при использовании многомерных наблюдений. Для их решения широко используются методы дискриминантного и факторного анализов.

Таким образом, для решения задач классификации и распозна­ вания образов применяются практически все типы математических моделей. Поэтому при выборе математического метода необходимо четко представлять целевое назначение классификации, а наиболее эффективный метод нередко можно найти только путем оценки ре­ зультатов, полученных разными методами.

Некоторые свойства геологических объектов иногда не подда­ ются непосредственному изучению или их изучение затруднено по техническим или экономическим причинам. Поэтому в геологиче­ ской практике широко распространены приемы прогнозирования таких свойств на основе использования обычно существующих зависимостей между элементами (свойствами) геологических систем.

Предсказание неизвестного признака по значениям одного или нескольких известных признаков осуществляется с помощью рег­ рессионного анализа, рассмотренного в главах, посвященных двумерным и многомерным статистическим моделям. Основным условием эффективного применения уравнений регрессии для предсказания является однородность изучаемой геологической со­ вокупности. Однако это условие соблюдается далеко не всегда. Ха­ рактер корреляционных связей между содержаниями химических элементов в пределах рудных тел или интрузивных образований, например, может изменяться в связи с их геохимической, минерало­ гической и текстурной зональностями. Поэтому для успешного применения регрессионных методов необходимо предварительно изучить характер пространственной изменчивости свойств геологи­ ческих объектов с помощью горно-геометрических моделей или с использованием случайных функций.