книги / Проектирование устройств фильтрации радиосигналов

ная ошибка имеет порядок, определяемый размерами диаграм­ мы неопределенности принимаемого сигнала, которая, напри­ мер зависит от ширины диаграммы направленности антенны или протяженности автокорреляционной функции импульса сигнала.

Алгоритм фильтрации строится рекуррентно. по периодам повторения сигнала на основе выражения (2.12). Так как плот­ ность /j[Y(/;t+i)] непосредственно от X не зависит, заменим ее постоянным множителем С:

Р [X '/*„). tk», Y (tM )]=Cp [X (tkH). **+1/Y (t„\)p [Y(/*„), X (f* ,n . (2.29^)

В выражении (2.29) плотность p [Y (/fc4.,)/X (^*ч)1 является функ­ цией правдоподобия принятого сигнала Y (/АМ). Плотность

вероятности p [X (/АН), tM j \ <£*)] образуется.путем преобразова­ ния распределения плотности p [ X (tk), tki \ (/*)]. за период повто­ рения сигнала Т„ и выполняет роль априорного распределения в выражении (2 29).

Выражение (2.29) описывает процесс объединения априор­ ной информации с новой информацией, содержащейся в при­ нятом сообщении Y(4+i).

При рекуррентной обработке предполагается, что извест­ ны параметры плотности распределения p [Х(/А1, fA'Y (£*)| после

ниями, вычисление выражения (2.29) существенно упрощается, так как при умножении нормальных распределений получается новое нормальное распределение. Рассмотрим этот случай под­ робнее. Пусть после приема ft-го импульса сигнала было полу­ чено распределение

р \ Х , /*/Y <**)! =

= (2*)-**|det Р(А )]-1'2 ехр { - ± . \ Х - Х ( к ) \ гР-1(к) [ Х - Х (£)))„

Функция правдоподобия /?[Y(4+i)/X] в общем случае име­ ет произвольную форму, но вблизи точного значения она мо­ жет быть приближенно представлена нормальным распределе­ нием. Чтобы найти параметры этого распределения, запишем функцию правдоподобия в виде

P [Y (^ +1)/Х] = ехр [Inp [Y

При использовании этого выражения следует учитывать специ­

ют в модуляции сигнала. Так как часть составляющих вектора

/0 [ X ( W .W Y ( ^ ,) ] = C e x p { -y [X - X -(A + l)]r [(P-(A + l))-, +

Найдем требование, при выполнении которого условное рас­ пределение имеет вид

всем добавляем величину X(ft+1) и выносим в постоянный мно­ житель слагаемые, не содержащие переменную X:

P [X (4 +1), W Y (7ft+,)] = С, exp { - 4 IX - X (ft + 1)1г X

А

X (/г -f- 1) будет соответствовать максимуму распределения, если

симум смещается относительно точного значения случайным! образом, значение

s _ 0 1n/»[Y(/fefl)/X1|

является случайной величиной с нулевым средним. Значение второй производной вблизи максимума есть почти постоянная величина:

Таким образом, величина z t может., рассматриваться как выход оптимального дискриминатора, состоящий из полезного-

А

сигнала ошибки /С[Хг(&+1)—Хг(А + 1)] и случайной погреш­

ности li. Крутизна оптимального дискриминатора при малых: ошибках является практически постоянной величиной и зави­ сит от ширины функции правдоподобия, которая определяется отношением сигнал/шум в радиоканале. С ростом шумов функ­ ция правдоподобия расширяется и крутизна К падает.

Построим в соответствии с выражением (2.40) схему опти­ мального нелинейного фильтра, реализующего оценку по прин­ ципу максимума апостериорной вероятности. Фильтр содержит' нелинейный дискриминатор (рис. 2.5), вырабатывающий сиг-

Рис. 2.5.

нал рассогласования Z между экстраполированным и точным: значением параметров. В линейной части фильтра сигнал рас­

согласования оптимальным, образом объединяется с экстрапо-

/ч

лированной оценкой Х -(£+1). При линейном наблюдении вида;

где E (V (A-f 1) Vr (ft+ 1)| = R (ft+ П. метод максимума апос­ териорной вероятности приводит к известному алгоритму диск-

мера [3] R(k) = Wa‘q)~', где q — отношение снгнал/шум; р0 — среднеквадра­ тичная ширина энергетического спектра.

Использование метода максимума апостериорной вероятно­ сти позволяет строить фильтры параметров сигнала на основе хорошо развитой статистической теории обработки сигналов, что и позволяет применять известные результаты при построе­ нии функций правдоподобия радиосигналов.

При сравнении двух рассмотренных методов вычисления по­ ложения максимума апостериорной вероятности следует иметь

ввиду, что кроме чисто вычислительных различий (по объему вычислений) эти методы существенно отличаются требованиями

каприорным данным. Вычислительный подход дает возмож­ ность получить экспериментальную оценку точности измерений,

вто время как метод квазилинейной фильтрации в рассмотрен­

ном виде основан на расчете ковариационной матрицы оши­ бок по априорным данным.

2.3. Расширенный фильтр Калмана

Существенные вычислительные трудности, связанные с при­

х (0 = 11(0 + *Х (О,

где р ( t ) — априорное среднее; 5 Х (0 — малое случайное от­ клонение, то для уравнений (2.1) и (2.2) можно получить линеа­ ризованные выражения для малого отклонения 6Х(/) и затем построить линеаризованный фильтр Калмана, дающий оценку

А

ôX(if). Оценка вектора Х(/) затем определяется как' сумма

Х ( 0 = р ( 0 + ô X ( 0 .

Подобный метод предполагает наличие надежных априор­ ных данных о величине р (f), так как погрешность в их опре­ делении входит, в погрешность оценки. Поэтому возникает не­

обходимость в построении других алгоритмов, менее чувстви- /ч

тельных к априорным данным. При известной оценке X(f); можно разложить в ряд Тейлора нелинейные функции в. выра­ жениях (2.1) и (2.2):

Выражения( 2.46) и (2.47) представим затем в виде

ся известными возмущениями, которые легко учитываются при составлении уравнений фильтрации. Дальнейшее использова­ ние теории линейной фильтрации приводит к получению выра­

Оценка фильтрации строится как линейная оценка с минималь­ ной дисперсией:

Х(А4-1)=Х"(А-|-1) 4-К (А -|-1 ) IYV(A 4-1) — Н(Л-}-1) Х- (А -f 1 )|~

— X" (А 4-1) + К (А+ 1) (Y (А -|- 1) — H [X" (А + 1), А + 1 ]|. (2.55)

Оптимальный коэффициент усиления К(А+1) определяется

(2.56), называется расширенным дискретным фильтром Калмана. Этот алгоритм представляет большую практическую цен­ ность, поскольку алгоритм для непрерывного времени, опреде­ ляемый выражениями (2.4) и (2.5), практически нереализуем с помощью современных вычислительных средств. При исполь­ зовании аналоговой вычислительной техники возникает пробле­ ма обеспечения необходимой точности решения нелинейного уравнения (2.5), что ограничивает ее применение простейшими задачами. Для решения дифференциальных уравнений с помо­ щью цифровых вычислительных средств осуществляется пере­ ход к дискретному времени. Поэтому постановка задачи в дис­ кретном времени позволяет существенно сократить расходы на математическое обеспечение и машинное время.

Рассмотрим проблемы, возникающие при использовании расширенного фильтра Калмана при обработке радиосигналов. Измеряемый параметр в радиотехнических системах описыва­ ется, как правило, дифференциальным уравнением вида (2.1), но так как полезные параметры изменяются относительно мед­ ленно, то существенных затруднений при переходе от диффе­ ренциальных уравнений к разностным не возникает. Изменение параметра на малых интервалах времени описывается простей­ шими моделями случайных процессов, и функция Ф[Х(А), А] часто оказывается линейной, а Г [Х(А), А]— постоянной.

Особенность радиотехнических задач заключается в суще­ ственно нелинейном характере функции h[X(f), /] и быстром из­ менении ее во времени. В подобных задачах характерна функ­ циональная зависимость вида

примере радиотехнической системы управления движением объ­ екта. В кинематическом звене устанавливается связь между модулирующим параметром hs[X(/)] и координатами движу­ щегося объекта, содержащимися в векторе состояния Х(/). Особенностью функции h2[X(f)] является сравнительно мед-