книги / Проектирование устройств фильтрации радиосигналов

4) при выборе т=0, что соответствует минимизации следа ковариационной матрицы ошибок фильтрации, процедура вы­ числения весовых коэффициентов субоптнмального фильтра су­ щественно упрощается, так как отпадает необходимость вычис­ ления всех поправочных членов, причем коэффициенты Ki(£) и Кг(£) в этом случае совпадают с соответствующими коэффици­ ентами оптимального фильтра, а коэффициент К4(*) вычисля­ ется путем оптимизации автономной следящей системы.

3.3. Фильтры с постоянными параметрами

Широкое применение фильтров с постоянными параметрами обусловлено следующими обстоятельствами. Решение ковариа­

и алгоритм фильтрации соответствует выражению (11). Если постоянные параметры фильтра выбраны так, что весовой ко­ эффициент алгоритма фильтрации удовлетворяет стационарному решению ковариационных уравнений (при стационарной моде­ ли сообщения), то точность такого фильтра оказывается в ста­ ционарном (установившемся) режиме не хуже, а в случае суб­ оптимальной фильтрации, как показано в разд. 3.1, может ока­ заться даже выше точности фильтра с переменными парамет­ рами. При решении большинства радиотехнических задач ста­ ционарный режим фильтрации является основным и занимает большую часть времени работы радиотехнического измерителя. Поэтому более простой фильтр с постоянными параметрами значительно удобнее и в этом отношении, чем фильтр с перемен­ ными параметрами.

Основным недостатком фильтров с постоянными парамет­ рами является невысокое качество переходных процессов, ха­ рактеризующихся сравнительно большой длительностью и колебательностью. Обусловлено это квадратичной формой функ­ ции стоимости ошибок фильтрации (оптимальный коэффициент усиления K (k+ l) из (13) минимизирует среднеквадратичную ошибку фильтрации). Учет малых ошибок с меньшим весом при постоянных параметрах фильтра приводит к длительному коле­ бательному ' переходному процессу. Сравнительно простыми средствами обычно удается обеспечить приемлемое качество переходных процессов в фильтре с постоянными параметрами. Наиболее распространенное средство — ступенчатое изменение параметров фильтра по заданной программе. В начале переход­ ного процесса (по окончании режима поиска радиосигнала) па­

раметры фильтра устанавливаются таким образом, чтобы обес­ печить быстрое окончание переходного процесса. Спустя неко­ торое известное время устанавливают заданные параметры фильтра, полученные в результате предварительного решения стационарных ковариационных уравнений.

В некоторых случаях в фильтр с постоянными параметрами вводят нелинейный элемент, обеспечивающий увеличение демп­ фирования при больших ошибках фильтрации. В стационарном режиме, когда ошибки фильтрации не превосходят некоторой известной величины, действие нелинейного элемента можно не учитывать и рассматривать алгоритм фильтрации в виде ли­ нейного алгоритма (И) с постоянным весовым коэффици­ ентом К.

Наконец, если длительность переходного процесса и стацио­ нарного режима в радиотехническом измерителе соизмеримы (например, в случае поочередной работы радиотехнического измерителя с разными радиомаяками при ограйиченной дли­ тельности сеанса работы с каждым радиомаяком), то можно рекомендовать расширенный критерий оптимизации фильтра [19, 29]. При этом минимизируется некоторая функция средне­ квадратичной ошибки фильтрации и показателя качества пере­ ходного процесса либо минимизируется среднеквадратичная ошибка фильтрации при ограничениях на качество переходного процесса. За основу показателя качества переходного процесса целесообразно выбирать аналитическую функцию длительности, колебательности, величины перерегулирования и других показа­ телей качества переходного процесса от параметров фильтра. Для непрерывных и близких к ним фильтров, эффективным ме­ тодом анализа которых является метод логарифмических ча­ стотных характеристик, таким показателем может быть запас устойчивости по амплитуде или по фазе [19]. Отметим, что использование расширенного критерия оптимизации параметров фильтра позволяет обеспечить приемлемое качество переходных процессов, но увеличивает среднеквадратичную стационарную ошибку фильтрации, хотя увеличение это невелико (ввиду ма­ лой чувствительности суммарной ошибки фильтрации к пара­ метрам фильтра).

В большинстве случаев фильтры, используемые в радиотех­ нических системах, работают в дискретном времени (в соответ­ ствии с дискретным характером поступления радиотехнической информации). Вместе с тем темп обновления радиотехнической информации часто достаточно высок, что позволяет для анализа дискретных фильтров с успехом использовать хорошо известный частотный метод анализа непрерывных фильтров [19, 31]. Чем лучше выполняется неравенство

где F„ — частота (темп) поступления радиотехнической инфор­

мации; A f — полоса пропускания фильтра, тем лучше резуль­ таты анализа непрерывного фильтра соответствуют характери­ стикам фильтра, работающего в дискретном времени.

При оптимизации стационарных параметров фильтра обычно подразумевается, что порядок модели сообщения и порядок фильтра не согласованы, т. е. осуществляется оптимизация па­ раметров фильтра пониженного порядка, а спроектированный фильтр оказывается субоптимальным. Наличие в фильтре пони­ женного порядка динамической ошибки Ad, обусловленной ди­ намикой объекта, позволяет оптимизировать параметры фильтра путем минимизации суммы квадратов динамической и флуктуа-

ционной ошибок (Дс?)2+ОфЛ. Заметим, что при согласовании порядка фильтра с порядком модели сообщения такая оптими­ зация (для полиномиальной траектории движения объекта, рас­ сматриваемой обычно в случае использования частотного метода анализа фильтра) приводит к тривиальному результату: Af-+0. В качестве примера рассмотрим фильтр с одним интегратором для сопровождения по дальности (р) объекта, движущегося с постоянной скоростью (г»р). Пусть функция передачи разомк­ нутого контура дальномера имеет вид Kv(&) =Kv/jiо (Kv— коэф­ фициент усиления фильтра, постоянный параметр, подлежащий оптимизации).

Динамическая ошибка, возникающая в фильтре первого по­

где S3KB(CO) — эквивалентная спектральная (двусторонняя) плот­ ность шума, которую в полосе пропускания фильтра Af обычно считают постоянной: 5ЭКв('<й) = S 9KB;

Для системы с импульсным излучением при действии широ­ кополосного шума выполняется следующее соотношение:

Дифференцируя это выражение по Kv и приравнивая результат нулю, найдем оптимальное значение

Качество переходных процессов в фильтре легко определя­ ется с помощью логарифмических частотных характеристик [19]. Фазовая характеристика функции /Ср(со) постоянна и равна —90° Следовательно, запас устойчивости по фазе равен 90° и переходный процесс в фильтре — апериодический. Длительность переходного процесса приблизительно оценивается величиной

1/Дf.

Полученные соотношения являются точными для фильтра, работающего в непрерывном времени. Коэффициент передачи дискретного фильтра

Точность выражения (3.39) повышается при увеличении Fn=\ITn- Для проверки неравенства (3.34) необходимо опреде­

лить полосу пропускания фильтра Д/. Поскольку ОфЛ = 2 S3UBAf, то с учетом соотношений (3.35) и (3.36) Д^= /(г./4. Область применения полученных результатов при анализе дискретных фильтров будет уточнена в разд. 3.4.

Рассмотрим также часто применяемый в радиосистемах фильтр с двумя интеграторами для сопровождения по даль­ ности (р) объекта, движущегося с постоянным ускорением ар. Пусть функция передачи разомкнутого контура дальномера имеет вид

где Ка — коэффициент усиления фильтра; тд— постоянная вре­ мени корректирующей цепи (постоянные параметры фильтра, подлежащие оптимизации).

Динамическая ошибка, возникающая в фильтре второго по­ рядка из-за движения объекта с ускорением ар: Ad=atJKa, а дисперсия флуктуационной ошибки

В оптимальном фильтре параметры Ка и тк удовлетворяют сле­ дующему соотношению [9] :

(Ad f + 02фл = all K l + S 3KBK a 2-

Оптимальные параметры фильтра определяются соотношениями

где у — заданное значение запаса устойчивости по фазе, обеспе­ чивающее приемлемое качество переходного процесса (у= 60-7-70°). Ограничение (3.42) получено из следующих сооб­ ражений. Модуль функции передачи разомкнутого контура даль­ номера

Асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная ха­ рактеристика (ЛАЧХ) дальномера, изображенная на рис. 3.6,а, состоит из двух прямых, соответствующих случаям (о<С 1/тк и

O ^ I / T I ; ( C M . выражение (3.43)). Для обеспечения приемлемого качества переходного процесса должно выполняться условие у>45°. При этом асимптотическая ЛАЧХ в окрестности точки

стика определяется выражением ф(со) = —180°+arctg(a>TK) или (ùTK= tg[(p(a)) -Н80°]. Полагая ф(ю) = — 180°+у при © —©ср, по­ лучаем ограничение (3.42).

Минимизация суммарной ошибки фильтрации при ограни­ чении (3.42) с помощью метода Лагранжа приводит к следую­ щему результату:

Для дискретного фильтра оптимальным параметрам Ка и тк со­ ответствуют значения весовых коэффициентов Ki и Kï.

(Структурная схема дискретного фильтра с двумя интеграто­ рами была показана на рис. 3.1,а).

Достоинство частотного метода анализа фильтров с постоян­ ными параметрами, работающих в непрерывном времени, за­ ключается в том, что они позволяют получать удобные при расчетах аналитические выражения. При малой величине Тп> малых значениях Nv и Na эти выражения можно использовать также для анализа дискретных фильтров. Если значение Тп ве­ лико, так что неравенство (3.34) не выполняется или выпол­ няется недостаточно хорошо, а задача проектирования фильтра должна быть решена по возможности точно, то для анализа дискретных фильтров с постоянными параметрами можно при­ менить метод 2-преобразования [48]. Заметим, однако, что ча­ стотный метод анализа дискретных фильтров достаточно прост лишь в случае простейшей полиномиальной траектории объекта. Более эффективным является временной метод анализа дискрет­ ных фильтров (метод пространства состояний), позволяющий получать аналитические результаты (для фильтров невысокого порядка) и в случае более сложной модели сообщения. Анализдискретных фильтров временным методом рассмотрен в раз­ деле 3.4. Завершая рассмотрение частотного метода анализа фильтров, приведем окончательные выражения для суммарной ошибки дискретных фильтров с одним и двумя интеграторами, полученные с помощью метода z-преобразования [31, 48].

В дискретном фильтре, как указывалось в разд. 3.1, следует