книги / Проектирование устройств фильтрации радиосигналов

тКинематике- h*[X(t)J Радио- ское зВено канал

Рис. 2.8.

ленное изменение во времени. Эта функция, как правило, со­ держит тригонометрические зависимости. Функция hi {h2[X (/)],. t} описывает радиосигнал и быстро изменяется во времени. При импульсном излучении большую часть периода повторе­ ния эта функция равна нулю.

системы ближней навигации [43, 44]. Координаты объекта измеряются в системе хОу (рис. 2.9). По сигналам радиомаяка (РМ) можно измерить азимут 0 и дальность р. Таким образом, на борту объекта принимается сигнал

В данном примере радиосигнал содержит быстро изменяющиеся вели- •чнны щ, Ир и cosco(/—т). Модулирующие параметры дальности и азимута

р н 0 изменяются медленно.

Задача обработки сигнала \ ( t ) заключается в получении

-Л. УЧ

юценок координат объекта х и у. При обработке радиосигналов шаг квантования времени из-за быстрого изменения сигналов получается малым: доли микросекунды. При этом непосредст­ венная вычислительная реализация алгоритма расширенного фильтра Калмана оказывается невозможной. Вместе с тем, ис­ пользуя рассмотренные свойства функции h{ }, можно орга­ низовать двухэтапную обработку сигнала. На первом этапе де­ лается обработка принятого сигнала в предположении, что вектор Х(0 в пределах длительности импульса сигнала по­ стоянен. Результатом первого этапа является определение рас­ согласования между истинным значением и оценкой параметра. Если это рассогласование невелико, обработка на первом эта­ пе является линейной по отношению к рассогласованию. При этом функция h [X (/), /] принимает вид

Организация первого этапа обработки может быть опти­ мальной, при этом структура дискриминатора и величина Кд будут определяться первой и второй производными логарифма функции правдоподобия принятого сигнала точно так же, как в фильтре, реализующем метод максимума апостериорной ве­ роятности. При субоптимальной обработке структура дискри­ минатора определяется разработчиком, а величина Кд полу­ чается путем анализа. Учитывая выражение (2.59), при двух­ этапной обработке импульсного радиосигнала уравнение (2.53) можно привести к виду

где И (А) = дЬ2 ^ {к)' *1 Кд.

д\(к)

Если формирование параметров сигнала выполняется ли­ нейной моделью, то выражение (2.52) принимает вид

Формирование сигнала Yt (Л) в соответствии с выражениями (2.61) и (2.60) поясняется структурной схемой на рис. 2.10.

Рис. 2.10.

Существенное отличие этой схемы заключается в том, что ее выходом является не радиосигнал Y(£), а результат приема и обработки сигнала Yj(6), который линейно связан с модули­ рующим параметром. Дискрет времени в модели (2.61), (2.60) определяется периодом повторения радиосигналов, что сущест­ венно упрощает задачу реализации фильтра. Выражениям (2.61) и (2.60) соответствует алгоритм фильтрации:

Х (А + 1 )= Х -(/Н - 1) + К ( А + 1){Yj(k -f- 1) — h2[X"(Æ-f 1)] Кд}. (2.62)

Выражение (2.62) описывает фильтр (рис. 2.11), на вход которого поступает результат оценки параметра fc-й посылки

Рис. 2.11.

сигнала Yi(A:). Этот результат сравнивается с экстраполиро­ ванным значением параметра в вычитающем устройстве.

А

В алгоритме (2.62) оценка Х(&) не используется при обра­ ботке радиосигнала, что в конечном счете приводит к сниже­ нию помехоустойчивости обработки. Поэтому представляет ин­ терес задача построения оптимального фильтра при функции

лированнон оценки Х~(£), получим линейное приближение:

циенты. Поэтому необходимо соответственно изменить разло­ жение в ряд логарифма функции правдоподобия:

где все производные вычисляются в точке Х- (А + 1).

Вводим обозначения: zt = d\npldh2l, а1}= — д'г In p/dh2ldh2jt i, 7 = 1 , 2, 0 от, тогда (2.63) примет вид

Это выражение внешне совпадает с выражением (2.35), одна­ ко величины Z и А вычисляются в этих выражениях разными способами. В разд. 2.2 рассматривался случай модуляции ра­ диосигнала непосредственно компонентами вектора X(ft), в этом разделе предполагается модуляция компонентами вектор­ ной функции h2[X(ft), ft].

Исследование показывает, что оптимальная оценка фильтра­ ции имеет вид

=■ [Р_ (ft + I)]-1 -f-H2r (ft+1) AH2(ft-H);X“ (ft -j- 1 ) - оценка экст­

раполяции; Х~ (ft-j-1) = Ф (ft) X (ft).

Структура алгоритма (2.65), представленная на рис. 2.12, отличается от алгоритма (2.62) наличием оптимального нели-

Рис. 2.12.

нейного лдискриминатора, в котором используется оптимальная

оценка Х~(А+1). Использование оптимальной оценки с мини­ мальной дисперсией ошибки в дискриминаторе весьма сущест­ венно, так как для надежной работы измерителя истинное зна­ чение параметра должно находиться в пределах линейного уча­ стка дискриминационной характеристики.

Рассмотренный алгоритм представляет существенный прак­ тический интерес при построении системы обработки на основе микроЭВМ, которая может выполнить почти все операции, кроме оптимального дискриминирования при широкополосных сигналах.

П р и м е р 2.5. Рассмотрим построение дальномера в системе управле­ ния движением объекта, который движется на высоте А вдоль оси р. Изме­ нение р описывается уравнением (2.17).

Рис. 2.13.

Дальномер на борту объекта измеряет наклонную дальность до радио­

маяка d=y/i2+ p 2.

Уравнение наблюдения:

Спроектируем дальномер на основе соотношения (2.65). В данном слу­ чае структура дискриминатора повторяет пример 2.3, если определить

d-( k)=Vi 1г+[р-(вд.

На рис. 2.13, поясняющем устройство фильтра, выделена часть фильтра, выполняемая программными средствами в ЭВМ. Дискриминатор реализуется цифро-аналоговыми средствами. Для подключения дискриминатора к ЭВМ требуется организовать два канала обмена, по которым сигнал ошибки по­ дается в ЭВМ и принимается код экстраполированного значения оценки дальности.

3. СУБОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ФИЛЬТРАЦИИ

Использование ЭВМ и микропроцессоров при обработке ра­ диосигналов предполагает работу в реальном времени в темпе поступления сигнала, что существенно ограничивает допустимую сложность программ обработки. Таким образом, возникает за­ дача упрощения алгоритмов и уменьшения вычислительной на­ грузки на ЭВМ.

Можно предложить ряд методов, позволяющих уменьшить объем вычислений при незначительном росте погрешностей. В данном разделе обсуждаются проблемы понижения порядка фильтра и тесно связанная с ними задача упрощения фильтра при многомерном наблюдении. Затем для оптимальных и не­ оптимальных фильтров пониженного порядка производится вы­ бор наилучших стационарных коэффициентов усиления для наи­ более распространенных моделей изменения параметров в ди­ скретном времени.

3.1. Фильтр пониженного порядка

Рассмотрим линейную модель изменения параметров и оцен­ ки для дискретного времени:

=(W (Æ) W r (Æ)); R(k) = E |V (&) Vr (A)). К этой модели, как

показано в разд. 2, можно свести путем линеаризации и нелиней­ ные задачи обработки радиосигналов.

Из теории оптимальной фильтрации (Приложение 1) изве­ стно, что для получения несмещенной оценки алгоритм фильтра­ ции должен иметь структуру

X (k + 1 )= Ф (к) X (k) + К (k + 1 ) [Y (ft+1 ) — Н (Л+1 ) Ф (k) X (А:)],

(3.3)

где К(/е-М) — матричный коэффициент усиления.

Выявим условия, при которых оценка остается несмещенной при понижении порядка фильтра. Рассмотрим вектор Xi (k ) раз­ мером пи причем rti<n: Xi (k) = АХ(&), где A = [IniO], lni — единичная матрица «iX/ti.

Оценка ХД&) отличается от оценки Х(&) отсутствием ряда составляющих. Нетрудно показать, что использование оценки

X\(k) не дает смещения, если

где Фи (k) — матрица я, X п„ Ki (k) — я, X /я, Нх [It) — т X пх.

При выполнении этих условий в начальный момент времени

часть составляющих вектора оценки Х(&) с номерами больше «1 будет занята нулями. В дальнейшем при умножении на Ф и К в соответствии с выражением (3.3) эти нули сохранятся. Поэтому вместо выражения (3.3) можно использовать алгоритм

Х1(Л+1) = Ф11(й)Х?(А) + К,(Л+ 1)[Y(A+1)-H,(ft + 1) X

Может показаться, что требование равенства нулю части со­ ставляющих математического ожидания существенно ограничи­ вает применимость алгоритма (3.4). Практически это не так, по­ скольку данными о математическом ожидании Х0 проектиров­ щик, как правило, не располагает, и ошибка (априорная) оцен­ ки начального состояния моделируется как случайная вели­ чина с нулевым средним.

Метод понижения порядка, основанный на усечении части вектора X(t), не является оптимальным в том смысле, что мат­ рица А строится интуитивно. Однако с инженерной точки зре­ ния такой подход привлекателен тем, что отбрасываются пере­ менные с ненадежным описанием.

Для выбора оптимального значения Ki(6+1) составим выра­ жение для ковариационной матрицы ошибок Р(/г+1) (см. При­

где Р “ (Л+ 1) = Ф(£) Р(Л)ФГ (/s) + Q [k). Определение К| [к 4-1) для субоптимального фильтра является более сложной задачей, чем для оптимального. Простота оптимальной процедуры оцени­ вания объясняется использованием принципа оптимальности

Р. Веллмана и свойств марковских процессов [23]. Благодаря этим обстоятельствам A-шаговая задача нахождения оптималь­ ной оценки сводится к рекуррентной процедуре, содержащей k одношаговых задач оптимального оценивания. В случае суб­ оптимального фильтра оценка на одном шаге не оптимальна, и применение принципа оптимальности необосновано. (В соответ­ ствии с этим принципом оптимальная стратегия обладает тем свойством, что каковы бы ни были начальное состояние и на­ чальное решение, последующие решения должны быть опти­ мальными по отношению к состоянию, являющемуся результа­ том первого решения.) Вследствие этого затрудняется исполь­ зование рекуррентной оптимизации, и методы построения суб­ оптимальных фильтров, изложенные в работах [8, 34, 35, 52, 60], являются приближенными. В оптимальном фильтре на

А

только оценки Х(/г). В субоптимальном фильтре информация сообщения Y(é) на одном шаге полностью не используется, и поэтому Y (k) может улучшить оценку на следующих шагах. Из-за сложности многошаговых оценок их использование неце­ лесообразно, и в ряде работ [8, 30, 34, 52, 53, 60] рассмотрены одношаговые методы оптимизации субоптимальных фильтров. Однако при этом следует иметь в виду, что одношаговая опти­ мизация в случае субоптимального фильтра не дает наилучшего результата для всей рекуррентной последовательности.

Использование одношаговой оптимизации тем не менее имеет •большое практическое значение при исследовании переходных процессов в момент включения субоптимального фильтра. Как правило, отбрасывается часть вектора Х(&), соответствующая высшим производным параметра, которые в начале переходного процесса оцениваются весьма грубо. Поэтому замена оптималь-

А

ной оценки X(k) субоптимальной Xj (k) (не содержащей оценок этих производных) дает приемлемые погрешности в оценива­ нии параметра. При^больших значениях дискретного времени к одношаговая оптимизация нежелательна. Для нахождения параметров фильтра в этом случае следует выполнить предель­ ный переход в выражении (3.5) при k-+oo, Р(&)-»-Р, Р~(6)->-Р_

где КТ=[КГ 0]. Уравнение (3.6) используется при оптимиза­

ном фильтре значения Ki получаются разными. В оптимальной задаче нет смысла использовать выражения типа (3.6) и (3.7) для получения асимптотического значения коэффициента уси­ ления, так как оптимальное значение может быть получено из формулы оптимального К(&) для одного шага путем предель­ ного перехода при k-^оо. В субоптимальном фильтре подобный переход даст неверный результат, так как оптимизация одного шага не гарантирует оптимальности всей рекуррентной после­ довательности.

граторами, то он должен рассматриваться как субоптимальный. При проек­