книги / Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил

а неизвестные постоянные интегрирования a1(1) , a2(1) , a3(1) и a4(1) ,

входящие в выражения (3.28) и (3.30), находятся из граничных условий, заданных на боковых поверхностях тяжелого горизонтального толстостенного цилиндра.

Рассмотрим случай i > 1. Условие равенства нулю определителя системы алгебраических уравнений (3.27) позволяет определить характеристические числа ν1 , ν2 , ν3 и ν4 для i > 1:

Следует обратить внимание на то, что в выражения (3.34) для параметров ξi и ϕi под знаком квадратного корня входят

комплексы, состоящие из упругих модулей материала. Поскольку эти комплексы должны принимать только действительные значения, сформулируем ограничение в форме неравенства на возможные значения упругих модулей материала и условия существования решения при i > 1:

Определенные характеристические числа (3.33) позволяют

записать выражения для радиальных u(i>1) и окружных v(i>1)

перемещений [27, 28, 32, 33]:

91

симыми, вычисляются при помощи равенства (3.19), в котором

необходимо заменить σθθ на σ(θθi>1) и σrr на σ(rri>1) . В выражениях (3.37) приняты следующие обозначения:

92

V3i = K21ϕi + K22 (1+ iψ3i ) , V4i = K22 (1+ iψ4i ) − K21ϕi ,

N1i = ψ1iξi − ψ1i − i , N2i = ψ2iξi + ψ2i + i ,

N3i = ψ3iϕi − ψ3i − i , N4i = ψ4iϕi + ψ4i + i.

Неизвестные постоянные интегрирования a1(i) , a2(i) , a3(i) и a4(i) , входящие в выражения (3.35) и (3.37), для каждого i > 1

определяются из граничных условий.

Таким образом, получено точное аналитическое решение задачи о равновесии тяжелого бесконечно протяженного горизонтального ортотропного цилиндра, находящегося под действием гравитационных сил, а также заданной на боковых поверхностях равномерно и неравномерно распределенной нагрузки, симметричной относительно вертикальной плоскости, проходящей через центральную ось. На основе полученного решения могут быть определены перемещения и напряжения, возникающие в поперечных сечениях.

Осадочные породы имеют, как правило, ярко выраженное слоистое строение, что предопределяет тип симметрии их деформационных свойств – трансверсальную изотропию. Будем предполагать, что породы окружают монолитную крепь горной выработки цилиндрическим массивом, который, в свою очередь, состоит из отдельных цилиндрических поверхностей с изотропными механическими характеристиками. Сопрягаясь друг с другом, эти слои образую массив, оси симметрии бесконечного порядка которого совпадают с радиальным направлением, проведенным в рассматриваемую точку.

Практически важным частным случаем является тяжелое толстостенное трансверсально-изотропное цилиндрическое тело. Решение задачи о равновесии этого тела, находящегося под действием произвольной нагрузки, симметричной относительно вертикальной диаметральной плоскости, может быть записано, если во втором уравнении (3.10), формулах (3.28) и (3.35) про-

93

извести следующую замену во всех выражениях, содержащих деформационные постоянные:

ной координаты r и в ортогональном к ней направлении; G – продольный модуль сдвига (модуль сдвига в диаметральной плоскости); ν и ν – коэффициенты Пуассона, характеризующие сокращение тела в направлениях θ и z при растяжении вдоль r, и поперечные деформации в плоскости, нормальной радиус-вектору r при растяжении в той же самой плоскости соответственно.

Для любых i общее решение системы неоднородных дифференциальных уравнений (3.22) определяет зависимость радиальных и окружных перемещений в точках поперечных сечений тяжелого трансверсально-изотропного цилиндра. При i = 0 распределение перемещений u0 вдоль радиальной координаты r

будет описываться второй формулой (3.10), в которой ur нужно замерить на u0 , а показатель анизотропии n для осесимметричного тела, находящегося под действием нагрузки с таким же типом симметрии, – на значение n = E (1− ν2 ) E (1− ν2 ) ; при

i = 1 и i >1 – уравнениями (3.28) и (3.35) соответственно. Эти уравнения содержат следующие коэффициенты:

и показатель анизотропии для горизонтального трансверсальноизотропного осесимметричного тела, находящегося под действием равномерно распределенной нагрузки с вертикальной плоскостью симметрии

94

которые, как видим, в отличие от (3.21) и (3.31), значительно уп-

Решение задачи о равновесии тяжелого толстостенного изотропного цилиндра, находящегося под действием произвольной нагрузки, симметричной относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось цилиндра, может быть записано как частный случай полученных соотношений. Для этого следует произвести замену во втором уравнении (3.10), выражениях (3.28) и (3.35) деформационных постоянных следующим образом:

Er = Eθ = Ez = E , μrθ = μθr = μθz = μ zθ = μ zr = μrz = μ . (3.39)

Тогда общее решение системы неоднородных дифференциальных уравнений (3.22) можно представить в виде:

95

входящие в выражения (3.40) и (3.41), определяются из заданных на боковых поверхностях тяжелого горизонтального толстостенного цилиндрического тела граничных условий краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (3.20) с коэффициентами (3.21).

Уравнение (3.40) является хорошо известным решением задачи Ламе для изотропного толстостенного горизонтального цилиндра, находящегося под действием равномерных внутреннего и внешнего бокового давления [47, 61–63, 107]. Выражения для радиальных u1 и окружных v1 перемещений, учитывающие при

i = 1 вклад вертикальной гравитационной нагрузки, совпадают с решением, впервые полученным Г.Б. Кузнецовым [51]. Однако при решении задачи для тяжелого толстостенного изотропного цилиндра уравнения (3.25), из которых были найдены множители A и B частного решения неоднородной системы (3.22), входящие

96

в (3.41), упрощаются и принимают одинаковый вид. Поэтому из двух одинаковых уравнений автор [51] смогли определить только связь между этими коэффициентами, а не сами множители. Однако если подстановку деформационных постоянных (3.39) производить в уравнения (3.29), учитывающие ограничения на материальные константы ортотропного материала, можно определить явный вид этих коэффициентов (3.42), что принципиально нельзя было сделать ранее. Обратим также внимание на то, что в новом (3.41) и полученном ранее авторами [51] решениях связь между A и B одинакова, хотя один из этих коэффициентов, в силу произвольности выбора формы частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений (3.22) при i = 1 был выбран авторами в виде A = 2ρ (1+ μ )E .

3.3. РАВНОВЕСИЕ ТЯЖЕЛОГО БЕСКОНЕЧНО ПРОТЯЖЕННОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ЛИНЕЙНО УПРУГОГО ОРТОТРОПНОГО ЦИЛИНДРА С ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ВНЕШНЕЙ ИЛИ ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Рассмотрим равновесие горизонтального бесконечно протяженного толстостенного ортотропного цилиндрического тела с жестко закрепленной внешней или внутренней боковой поверхностью, находящегося в равновесии под действием гравитационных сил и равномерно распределенного внутреннего pa

или внешнего pb давления (рис. 3.4, а и б).

В рассматриваемых случаях граничные условия

не нарушают осевой симметрии задачи, поэтому ее решение может бытьполученос помощьюизложенноговпараграфе 3.1 метода.

97

и равенства (3.11) являются решением задачи Ламе для бесконечно протяженного ортотропного линейно упругого цилиндрического тела, находящегося под действием равномерного осесимметричного внутреннего и/или внешнего давления [94].

Постоянные интегрирования при жестком закреплении внешней поверхности цилиндрического тела определяются соотношениями (3.14), а при жестком закреплении внутренней поверхности – равенствами:

входящие в выражения для перемещений (3.28) с коэффициентами (3.29), а также для радиальных σ(rr1) , окружных σ(θθ1) и каса-

тельных σ(r1θ) напряжений (3.30) в точках поперечных сечений,

определяются из решения системы четырех линейных алгебраических уравнений [27, 33]:

если внешняя поверхность тяжелого горизонтального бесконечно протяженного цилиндра жестко закреплена, и

99

если жестко закреплена внутренняя поверхность. Коэффициенты, входящие в (3.45) и (3.46), определяются выражениями (3.32). Обратим внимание на то, что вторые уравнения в (3.45) и (3.46) соответствуют однородному распределению радиаль-