книги / Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил

Радиальные напряжения в точках верхнего свода монотонно возрастают вдоль координаты ρ . Имеет место смена знака

σrr в следующих точках: ρ = 0,80 (при θ = 0 ) и ρ = 0,35 (при

θ= 45 ). Смещение точки перехода от внутренних сжимающих

квнешним растягивающим напряжениям σrr в направлении

внутренней боковой поверхности горизонтального железобетонного цилиндра заданной геометрии, свойствами материала

ихарактером приложенной внешней нагрузки происходит до

θ= 60 . Дальнейший рост окружной координаты до θ = 142 приводит к появлению в поперечном сечении только растягивающих радиальных напряжений при ρ = 0,35. В точках нижне-

го свода при 142 ≤ θ ≤ 180 напряжения σrr монотонно убывают вдоль ρ , принимая только отрицательные значения.

Поэтому с точки зрения возможного разрушения горизонтального железобетонного цилиндра, находящегося на грунтовом основании, по механизмам растяжения в радиальном направлении наиболее опасными являются точки, находящиеся на расстояниях ρ > 0,35 от внутренней поверхности, для которых

θ = 100 . Границы области, в переделах которой материал потерял способность сопротивляться растяжению ограничена интер-

валом 60 ≤ θ ≤ 142 . Разрушение от сжатия в радиальном направлении может быть инициировано в точках внешней боковой поверхности, лежащих на вертикальной центральной плоскости, где реакция грунтового основания максимальна, а область начального повреждения может быть ограничена значениями ок-

ружной координаты 142 ≤ θ ≤ 180 .

Характер распределения касательных напряжений по окружной θ координате на внешней поверхности цилиндра, находящегося в равновесии на грунтовом основании, таков: в точках, принадлежащих вертикальной центральной плоско-

121

сти, эти напряжения σrθ принимают нулевые, а в промежутке

0 ≤ θ ≤ 180 – отрицательные значения (см. рис. 3.11). Вместе с тем в точках серединной поверхности верхнего свода при

0 ≤ θ ≤ 87 касательные напряжения положительны, а нижнего свода – отрицательны, имеют максимум при θ = 50 и мини-

мум – при θ = 162 соответственно. На внутренней поверхности железобетонного цилиндра эти напряжения (кроме точек

вертикальной центральной плоскости, для которых θ = 0 и θ = 180 ) также отсутствуют при θ = 101 , а максимумы положительных и минимумы отрицательных величин σrθ приходятся на углы θ = 51 и θ = 152 .

Рис. 3.12. Распределение окружных и осевых напряжений в монолитном железобетонном цилиндре на внутренней, внешней и серединной поверхностях

122

Вдоль обезразмеренной радиальной координаты ρ касательные напряжения σrθ монотонно убывают. При увеличении окружной координаты θ наблюдается постепенное смещение (от внешней боковой поверхности к внутренней) точки, в которой происходит смена знака σrθ . При 0 ≤ θ ≤ 142 положитель-

ные значения этих напряжений имеют место во внутренней части цилиндра, а отрицательные – во внешней. Дальнейший рост окружной координаты приводит к появлению в поперечном сечении только отрицательных касательных напряжений σrθ , ко-

торые к тому же, начиная с углов θ = 130 , имеют точку минимума. Для рассматриваемого горизонтального тяжелого железобетонного цилиндра с заданной геометрией, свойствами материала и характером приложенной внешней нагрузки положение этой точки не изменяется по мере увеличения радиальной

координаты в интервале 142 ≤ θ ≤ 180 .

Обнаруженные закономерности распределения касательных напряжений в поперечном сечении горизонтального цилиндр свидетельствуют о том, что области материала, не сопротивляющиеся поперечному сдвигу, появляются на нижнем своде

вблизи серединной поверхности ( ρ = 0,50 ) при 142 ≤ θ ≤ 180 , где касательные напряжения σrθ максимальны по абсолютной

величине. Кроме того, опасными для возможного разрушения по механизмам сдвига являются также точки, принадлежащие внешней боковой поверхности цилиндра и горизонтальной центральной плоскости, а также внутренней поверхности нижнего

свода, для которых 101 ≤ θ ≤ 180 .

Окружные напряжения σθθ на внутренней боковой и серединной поверхности принимают только положительные значения и имеют максимумы при θ = 112 и θ = 0 соответственно. Кроме того, минимуму напряжений σθθ соответствует зна-

чение θ = 132 . На внешней поверхности горизонтального желе-

123

зобетонного цилиндра, опирающегося на грунтовое основание, область отрицательных значений σθθ появляется, если окружная

координата θ принадлежит интервалу 165 ≤ θ ≤ 180 . На этой поверхности максимальные и минимальные величины σθθ име-

ет место при θ = 115 и θ = 180 .

Изменение окружных напряжений σθθ вдоль обезразмеренной радиальной координаты немонотонно (рис. 3.11). Зави-

40 ≤ θ ≤ 65 – точку перегиба вблизи серединной поверхности,

которая при неизменном расположении, если 65 ≤ θ ≤ 155 , будет являться уже точкой минимума. Поэтому появление первых разрушений по механизмам растяжения в окружном направлении будет регистрироваться в точках верхнего свода и вертикальной центральной плоскости внутри цилиндра на расстоянии ρ = 0,12 , а область этих повреждений может быть ограничена

углом 0 ≤ θ ≤ 40 . Второй областью, в которой материал горизонтального цилиндра может потерять способность сопротивляться окружному растяжению, будет слой, выходящий на

внутреннюю поверхность, для которого 65 ≤ θ ≤ 155 . Отрицательные значения в распределениях окружных на-

пряжений σθθ вдоль координаты ρ имеют место на нижнем сво-

де при 160 ≤ θ ≤ 180 . При изменении угла θ в указанных выше пределах области материала цилиндра находящиеся вблизи контактирующей с грунтовым основанием поверхности могут потерять способность сопротивляться сжатию в направлении окружной координаты θ , а само разрушение по этому механизму может быть инициировано в точках, принадлежащих внешней поверхности и вертикальной центральной плоскости, где σθθ

достигают свои наибольшие по абсолютной величине значения.

124

Характер распределений осевых напряжений σzz по окружной координате на внутренней, серединной и внешней поверхности одинаков: в точках верхнего свода σzz принимают только положительные значения, а для нижнего свода интерва-

лы 162 ≤ θ ≤ 180 , 160 ≤ θ ≤ 180 и 160 ≤ θ ≤ 180 соответст-

вуют областям отрицательных значений осевых напряжений на внутренней, серединной и внешней поверхности. Максимумы

этих напряжений имеют место при θ = 112 , θ = 92 и θ = 112 , а минимумы для всех трех поверхностей – при θ = 180 .

Немонотонность распределения осевых напряжений σzz вдоль радиальной координаты ρ имеет свои закономерности. Зависимость σzz от ρ имеет точку максимума вблизи серединной поверхности, положение которой не изменяется при измене-

нии углов в интервале 0 ≤ θ ≤ 50 . При θ = 50 осевые напряжения однородно распределены по поперечному сечению, а если

50 ≤ θ ≤ 160 , вблизи серединной поверхности будет располагаться точка минимума, положение которой для горизонтального цилиндра с заданной геометрией, свойствами материала и характером приложенной внешней нагрузки также неизменно.

Возможное разрушение от растяжения в осевом направлении может быть инициировано в точках внутренней поверхности

при θ = 112 . Необходимо также обратить внимание на точки поперечного сечения цилиндра, соответствующие углу θ = 50 , однородность осевых напряжений σzz в которых предопределяет

распространение области материала, поврежденного от продольного растяжения, на всю толщину поперечного сечения.

В точках нижнего свода при θ = 160 обнаруживается область сжимающих осевых напряжений, которая появляется вблизи серединной поверхности и распространяется в направлении внутренней и внешней поверхности. Когда окружная коор-

125

дината принимает значение θ = 162 , сжимающие σzz появля-

ются на внешней поверхности, а при θ = 180 эти напряжения достигают максимума по абсолютной величине. Поэтому разрушение от сжатия в осевом направлении может начаться в точках, одновременно принадлежащих внешней боковой поверхности и вертикальной центральной плоскости. В этих точках реакция грунтового основания максимальна.

Для успешной инженерной практики по разработке и проектированию элементов конструкций и сооружений в виде горизонтальных протяженных цилиндрических тел, изготавливаемых из железобетона, возникает естественное желание получить метод, позволяющий определять напряженное состояние подземных сооружений, с учетом анизотропии деформационнопрочностных свойств, а также собственного веса и неравномерности внешних нагрузок, связанных давлением массива горных пород или грунтов.

Аналитическое решение, полученное в этой главе, демонстрирует такую возможность. Несмотря на то, что рассмотренная задача является модельной, она показывает, каким образом можно определять напряженное состояние в подземных цилиндрических анизотропных конструкциях и сооружениях с учетом действия собственного веса и неравномерных нагрузок, заданных как непрерывные функции окружной координаты.

126

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Абрамян Б.Л. Некоторые задачи равновесия кругового цилиндра // ДАН АрмССР. – 1958. – Т. 24, № 2. – С. 66–72.

2.Алимжанов М.Т. Устойчивость равновесия тел и задачи механики горных пород. – Алма-Ата.: Наука, 1982. – 272 с.

3.Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязкоупругопластических тел. – М.: Наука, 1987. – 471 с.

4.АрутюнянН.Х., Манжиров А.В. Контактные задачи ме-

ханикирастущихтел // ПММ. – 1989. – Т. 53, Вып. 1. – С. 145–158.

5.Арутюнян Н.Х., Манжиров А.В., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел. – М.: Наука, 1991. – 176 с.

6.Баблоян А.А. К задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра конечной длины из трансверсально-изотроп-

ного материала // Изв. АН АрмССР. – 1961. – Т. 14, № 4. –

С. 61–70.

7.Баблоян А.А. Об одной задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра конечной длины из трансверсальноизотропного материала// Докл. АН АрмССР. – 1961. – Т. 32, № 4. –

С. 189–195.

8.Модели для силового анализа намотки композитов / А.И. Бейль, А.Р. Мансуров, Г.Г. Портнов, В.К. Тринчер // Механика композит. материалов. – 1983. – № 2. – С. 303–313.

9.Биргер Б.И., Баранов В.П. Расчет температурных напряжений в ортотропном цилиндре // Механика полимеров. – 1972. – № 2. – С. 310–314.

10.Боган Ю.А. Об осесимметричной задаче теории упругости для сильно анизотропного цилиндра // Динамика сплошной среды. – Новосибирск: Изд-во НГУ, 1981. – Вып. 53. –

С. 12–21.

11.Блох В.И. Общее решение трехмерной задачи теории упругости в круговых цилиндрических координатах при наличии

127

осевой симметрии // Тр. Харьков. Автодорож. ин-та. – Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1964. – Вып. 26. – С. 145–168.

12.Блох В.И. Теория упругости. – Харьков: Изд-во Харьков.

ун-та, 1964. – 484 с.

13.Болотин В.В., Воронцов А.Н., Мурзаханов Р.Х. Анализ технологических напряжений в намоточных изделиях из композитов на протяжении всего процесса изготовления // Механика композит. материалов. – 1980. – № 3. – С. 500–508.

14.Бровман М.Я. Деформирование шара с электрическим зарядом // Изв. РАН. МТТ. – 2013. – № 3. – С. 74–77.

15.Бровман М.Я. Упругопластическая деформация шара при симметричном нагружении // Изв. РАН. МТТ. – 1994. –

№3. – С. 117–125.

16.Быркэ М.С. Расчет многослойных и неоднородных цилиндров с использованием ступенчатых функций // Изв. вузов. Машиностроение. – 1980. – № 8. – С. 5–8.

17.Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Равновесие анизотропных неоднородных полых цилиндров // Прикл. механика. – 1984. – Т. 20, № 8. – С. 11–18.

18.Васильев В.З. Осесимметричная деформация полупространства с упругоподкрепленной цилиндрической полос-

тью // Прикл. механика. – 1979. – Т. 15, № 12. – С. 17–22.

19.Васильев В.З. Осесимметричная деформация упругого изотропного полупространства с бесконечной цилиндрической выемкой // Изв. АН СССР. МТТ. – 1968. – № 5. – С. 124–129.

20.Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. – М.: Наука, 1997. – 288 с.

21.Галеркин Б.Г. Равновесие упругой сферической обо-

лочки // ПММ. 1942. – Т. 6, вып. 6. – С. 487–496.

22.Галеркин Б.Г. Упругое равновесие полого кругового цилиндра и части цилиндра // Тр. Всесоюз. науч.-исслед. ин-та гидротехники. – Л.-М.: Изд-во Главгидроэнергостроя, 1932. –

Т. 10. – С. 5–9.

128

23.Гродский Г.Д. Интегрирование уравнений равновесия упругого тела вращения при симметричном относительно его оси распределении «объемных» и поверхностных сил // Изв. АН

СССР. ОМЕН. – 1934. – № 10. – С. 1537–1550.

24.Деев В.М., Смирнов Н.С. Общие решения в статике упругой среды с цилиндрической изотропией // Динамика и прочность машин. – Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1969. –

Вып. 10. – С. 40–45.

25. Ефремов В.Г. Идеально-пластическое напряженное состояние тел вблизи сферической полости // Изв. РАН. МТТ. – 1999. – № 3. – С. 70–75.

26.Житков П.Н. Плоская задача теории упругости неоднородного ортотропного тела в полярных координатах // Тр.

Воронеж. гос. ун-та. – 1954. – № 27. – С. 20–29.

27.Распределение напряжений в поперечных сечениях контейнеров из стеклопластика и полимербетона, используемых для длительного хранения высокоагрессивных сред / А.В. Зайцев, А.В. Кислицын, А.В. Кутергин, А.А. Фукалов // Изв. Самар. НЦ РАН. – 2012. – Т. 14, № 4–5. – С. 1230–1234.

28.Зайцев А.В., Кутергин А.В. Аналитические решения краевых задач об упругом равновесии тяжелого горизонтального ортотропного цилиндрического тела // Актуальные проблемы механики сплошной среды: тр. межд. конф., посв. 100-лет. акад. НАН АрменииН.Х. Арутюняна(08–12 октября2012 г., Цахкадзор, Республика Армения). Т. 1. – Ереван: Тигран Мец, 2012. –

С. 243–247.

29.Зайцев А.В., Кутергин А.В. Упругое равновесие тяжелых вертикальных ортотропных цилиндрических тел // Молодежная наука Прикамья. – 2010. – Вып. 11. – С. 200–203.

30.Зайцев А.В., Кутергин А.В. Упругое равновесие тяжелых вертикальных и горизонтальных цилиндрических тел // Неравновесные процессы в сплошных средах (НПСС–2009): материалы всерос. конф. молодых ученых (04–05 декабря

129

2009 г., Пермь). – Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та, 2009. –

С. 107–110.

31.ЗайцевА.В., Кутергин А.В. Упругое равновесие тяжелого горизонтального толстостенного ортотропного цилиндра, находящегося под действием неравномерно распределенного бокового давления // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2010. – №4. –

С. 37–48.

32.Зайцев А.В., Кутергин А.В., Фукалов А.А. Точные аналитические решения задач о равновесии тяжелых анизотропных цилиндров и их приложения к задачам геомеханики туннелей

имонолитных крепей горизонтальных горных выработок // Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках: материалы XXII Междунар. науч. шк. им. акад. С.А. Хриистиановича (17– 23 сентября 2012 г., Алушта, Республика Крым, Украина). – Симферополь: Изд-во Тавр. нац. ун-та им. В.И. Вернадского, 2012. – С. 132–135.

33.Зайцев А.В., Кутергин А.В. Фукалов А.А. Упругое равновесие жестко закрепленных по внешней поверхности тяжелых анизотропных тел с центральной и осевой симметрией // Актуальные проблемы механики сплошной среды: тр. II Междунар. конф. (04–08 октября, Дилижан, Республика Армения). Т. 1. – Ереван:

ЕГУАС, 2010. – С. 249–253.

34.Зайцев А.В., Соколкин Ю.В., Фукалов А.А. Механизмы начального разрушения железобетонной крепи сферической горной выработки в массиве осадочных пород // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – № 4. – С. 59–74.

35.Зайцев А.В., Фукалов А.А. Об одном точном аналитическом решении задачи Ламе для составной трансверсальноизотропной толстостенной сферы // Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации – 2009: материалы XII Всерос. науч.-техн. конф. (09–10 апреля 2009 г., Пермь). – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. – С. 184–186.

130