книги / Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил

ГЛАВА 2 РАВНОВЕСИЕ УПРУГИХ ТЯЖЕЛЫХ

ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ СОСТАВНЫХ ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ

Результаты главы обобщают полученные выражения для перемещений, деформаций и напряжений в точках толстостенных тяжелых линейно-упругих трансверсально-изотропных сфер на случай составных анизотропных тел с центральной симметрией, находящихся в равновесии в поле массовых сил. Получены новые точные аналитические решения задач о равновесии тяжелых упругих трансверсально-изотропных составных сфер, находящихся под действием равномерно распределенных давлений, с различными условиями закрепления на внутренней или внешней поверхности. В качестве приложения полученных решений описаны закономерности совместного деформирования монолитных железобетонных крепей сферических горных выработок и окружающего массива осадочных пород или сыпучих геосред, проведена оценка начальной прочности по совокупности критериев.

2.1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ УПРУГОЙ СОСТАВНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СФЕРЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ МАССОВЫХ СИЛ

Рассмотрим равновесие составного линейно-упругого анизотропного центрально симметричного тела, представляющего собой конструкцию, состоящую из двух полых толстостенных сфер с общим центром, ограниченную внутренней и внешней поверхностями радиусов ρ1 и ρ2 ( ρ1 < ρ2 ). В центр

41

поместим начало сферической ортогональной системы координат ρ, θ и ϕ . Будем предполагать, что сферическая поверхность

контакта отдельных частей тела находится на расстоянии ρc от

центра и не изменяет в силу малости деформаций свое положение в процессе нагружения. Считаем, что материал обеих сфер однородный, линейно-упругий, имеющий постоянную плотностью по всему объему, сферически трансверсально-изотропный (относительно любого радиус-вектора, проведенного из центра вданную точку). Все константы и функции, относящиеся к внутренней части составной сферы, будем обозначать верхним индексом1, стоящимвскобках, аквнешней– индексом2 соответственно.

Пусть на центрально симметричное тело действует нагрузка, симметричная относительно диаметральной вертикальной оси, тогда радиальные и меридиональные перемещения

( ur(i) и uθ(i) ), радиальные ( σ(rri) и ε(rri) ), меридиональные ( σ(θθi) и ε(θθi) ), окружные ( σ(ϕϕi) и ε(ϕϕi) ) напряжения и деформации, касательные напряжения τ(riθ) и сдвиговые деформации ε(riθ) не

зависят (в силу симметрии тела и внешней нагрузки) от окружной координаты ϕ .

Поэтому уравнения равновесия (1.2) записываем для каждой из частей составного центрально симметричного тела:

42

Определяющие соотношения (1.3), представленные в виде:

σ(ρρi) = A11(i)ερρ(i) + A12(i) (ε(ϕϕi) + ε(θθi) ),

как и ранее, будут предполагать неизменность типа упругой симметрии для каждой части составной сферы. Здесь

для растяжения вдоль ρ и в ортогональном к нему направлении;

G(i) – модуль сдвига для диаметральной плоскости; ν(i) и ν(i) – коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечную деформацию в направлениях θ и ϕ при растяжении вдоль радиальной ко-

ординаты ρ и в направлении ρ при растяжении в направлениях θ и ϕ соответственно.

Последовательная подстановка геометрических соотношений Коши, такжезаписанныхдлякаждойизчастейсоставноготела:

43

в определяющие (2.2), а затем полученного результата – в уравнения равновесия (2.1) позволяет записать неоднородные системы дифференциальных уравнений Ламе в частных производных:

решение которых в силу симметрии задачи может быть представ-

лено в виде рядов [63, 72, 106, 107, 118, 119]:

по полиномам Лежандра, подстановка которых в выражения (2.5) и последующее приравнивание коэффициентов левых и правых частей уравнений при одинаковых функциях аргумента θ позволяет получить бесконечное число систем обыкновенных дифференциальных уравнений [34, 35, 38, 39]:

44

где

a1(ni) = A11(i) , a2(in) = 2A11(i) , a3(in) = 2(A12(i) − A22(i) − A23(i) )− A44(i)n(n + 1) , a4(in) = (A12(i) + A44(i) )n(n + 1) , a5(in) = (A12(i) − A22(i) − A23(i) − A44(i) )n(n + 1) ,

Определение перемещений в точках тяжелой толстостенной трансверсально-изотропной составной сферы сводится к решению n самостоятельных задач (2.7), каждая из которых должна быть дополнена граничными условиями. Для этого необходимо разложить в ряды по полиномам Лежандра заданные на границах тела перемещения, напряжения или их комбинации, отражающие условия закрепления и приложенные нагрузки.

Решения неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (2.5) могут быть получены при реализации последовательности подстановок и преобразований, которые были ранее описаны в параграфе 1.1. Поэтому окончательные выражения для радиальных и меридиональных перемещений запишем следующим образом:

45

являются показателями анизотропии для центрально-симмет- ричного тела, находящегося под действием равномерно распределенных центрально симметричной и вертикальной осесимметричной нагрузки [34, 35, 38, 39], а

46

i = 2 ) составной части сферы. Эти характеристические числа определяются для каждого n > 1 из решения нелинейного уравнения четвертой степени:

Постоянные интегрирования C1(0i) и C2(i0) определяются из граничных условий для краевой задачи, соответствующей n = 0 ; константы C1(1i) , C2(1i) , C3(1i) и C4(1i) – из граничных условий крае-

дифференциальных уравнений однородны и имеют тривиальные решения: uρ(in) = 0 и uθ(in) = 0 , если граничные условия, разложен-

ные в ряды по полиномам Лежандра при n = 0 и n >1, также однородны.

47

2.2. РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ ТЯЖЕЛОЙ СОСТАВНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СФЕРЫ С ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ВНЕШНЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Рассмотрим задачу о равновесии составного центрально симметричного тела с жестко закрепленной внешней поверхностью, находящейся под действием массовых сил и равномерного внутреннего давления р (правая часть составной сферы на рис. 2.1). Будем считать, что на неизменной в процессе деформирования сферической границе контакта и находящейся на расстоянии ρc от центра выполняются условия идеального со-

пряжения:

Рис. 2.1. Тяжелая трансверсально-изотропная составная сфера

48

Как и ранее, будем предполагать, что материал обеих составных частей линейно-упругий однородный, с постоянной плотностью по всему объему, сферически трансверсальноизотропный, относительно любого радиус-вектора, проведенного из центра в рассматриваемую точку.

Поскольку граничные условия на контактной (2.9), внешней и внутренней поверхности (ограничены радиусами ρ1 и ρ2 , проведенными из общего центра):

не нарушают осевой симметрии задачи, то ее решение может быть получено с помощью метода, описанного в параграфе 2.1.

Дополним каждую из неоднородных систем дифференциальных уравнений (2.7) при n = 0, 1, 2, граничными условиями (2.9) и (2.10), разложенными в ряды по меридиональной координате θ . Константы интегрирования для n = 0 , входящие в слагаемые выражений (2.8), записываются из решения системы четырех линейных алгебраических уравнений [34]:

C1(01) 2A12(1) − A11(1) (12 + k(1) ) ρc−32−k(1) + +C2(10) A11(1) (k(1) − 12)+ 2A12(1) ρc−32+k(1) = = C1(02) 2A12(2) − A11(2) (12 + k(2) ) ρc−32−k(2) + +C2(20) A11(2) (k(2) − 12)+ 2A12(2) ρc−32+k(2) ,

49

ρc−12−k(1) C1(01) + ρc−12+k(1) C2(10) = ρc−12−k(2) C1(02) + ρc−12+k(2) C2(20)

следующим образом [34]:

Z0(α ) = 4A11(β)B(α)k(β)ρβ2k(β) − b+(β)c(β) (b−(β)c(α ) + B(α ) ), (2.12)

C1(01)Z0(2) = 2 pρc2k(1) ρ132+ k(1) (b−(1)c(2) + B(2) ),

При n =1 постоянные интегрирования в формулах (2.8) находятся из решения восьми линейных алгебраических уравнений: