книги / Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил

Проблема оценки напряженного состояния, возникающего в результате действия грунтов, вызвана широким распространением цилиндрических сооружений неглубокого залегания (напорные и безнапорные трубопроводы большого диаметра, изготавливаемые из железобетона, и обделки туннелей), для которых также необходимы оценка и учет при проектировании действия гравитационных сил и окружающего породного массива. Так, например, для безнапорного трубопровода (кроме собственного веса) основной нагрузкой является давление грунта. В напорных трубопроводах (в зависимости от величины расчетного гидравлического давления) интегральная реакция грунтового основания может составлять 30–50 % от общего внешнего силового воздействия [79].

Проблема описания взаимодействия цилиндрических тяжелых конструкций и сооружений с грунтами не нова. Однако, несмотря на большое количество теоретических и экспериментальных работ, рассматриваемый вопрос не может считаться полностью изученным. Взаимодействие грунта и массивных цилиндрических сооружений неглубокого залегания, различные подходы к описанию которого приведены в работе [79], описывается в расчетных схемах результирующими вертикальными сосредоточенными силами. Учет опорных реакций основания производится следующим образом: при диаметре тяжелого горизонтального толстостенного цилиндра, не превышающем 1500 мм, реакция грунтового основания заменяется равномерно распределенным давлением; при больших диаметрах распределение принимается неравномерным, описываемым, например, уравнением Г.К. Клейна [79]:

3G (cosθ − cosα )cosθ

qθ = ( B ) ,

rн 3sin θ + sin3 θ − 3α sin θ

которое содержит следующие парамеры: GB – равнодействующая суммарного вертикально давления, α и θ – угол опирания

71

на основание и угол, характеризующий положение рассматриваемого сечения, rн – внешний радиус и не учитывает вклад

собственного веса тяжелого цилиндра. Это не вполне корректно для массивных конструкций и сооружений. Вариант записи закона, отражающего вклад в реакцию основания собственного веса, предложен в этой главе.

3.1. РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО ТЯЖЕЛОГО ВЕРТИКАЛЬНОГО БЕСКОНЕЧНО ПРОТЯЖЕННОГО ОРТОТРОПНОГО ЦИЛИНДРА

Полная система уравнений линейной теории упругости, записанная в цилиндрических ортогональных координатах, состоит из геометрических соотношений Коши:

и определяющих соотношений:

72

σθθ = K12εrr + K22εθθ + K23ε zz ,

τθz = 2Gθzεθz , τrz = 2Grzεrz , σrθ = 2Grθεrθ ,

которые содержат следующие коэффициенты:

θ и z соответственно, коэффициентами Пуассона μrθ , μθz и μ zr ,

атакже продольным модулем сдвига Grz . Здесь, как и прежде, σii и εii (по i не суммировать) – нормальные компоненты тензо-

ра напряжений и осевые деформации, σij и εij ( i ≠ j ) – каса-

тельные компоненты тензора напряжений и сдвиговых деформаций, ur , uθ и uz – радиальные, окружные и осевые перемещения,

а Fr , Fθ и Fz – компоненты вектора массовых сил.

Рассмотрим задачу о распределении перемещений и напряжений в бесконечно протяженном вертикальном полом толстостенном цилиндрическом теле с жестко закрепленной внешней боковой поверхностью, которое находится в равновесии под действием равномерного внутреннего давления pa и собствен-

ного веса (рис. 3.1). Цилиндрическое тело ограничено боковыми поверхностями с радиусами а и b ( a < b ). Будем предполагать, что вертикально цилиндр однороден, имеет постоянную плотность по всему объему, изготовлен из цилиндрически ортотропного материала (главные оси ортотропии совпадают с цилинд-

73

рической ортогональной системой координат r, θ и z, а z совпадает с осью симметрии цилиндра).

Рис. 3.1. Бесконечно длинный с жестко закрепленной внешней боковой поверхностью тяжелый вертикальный цилиндр, находящийся под действием равномерного внутреннего давления

Симметрия тела, а также массовых и поверхностных сил обеспечивает выполнение условия независимости перемещений, деформаций и напряжений от окружной координаты θ . При решении задачи будем пренебрегать торцевыми эффектами и предполагатьнезависимость всех параметров наряженно-деформированного состояния от осевой координаты z благодаря бесконечной протяженности цилиндра. Поэтому система (3.1)–(3.3) значительно упрощается: из трехуравненийравновесия(3.2) остаютсялишь два:

где ρ – плотность материала, а g – ускорение свободного па-

дения; из шести геометрических соотношений Коши – три уравнения:

74

а из шести определяющих соотношений (3.3) с коэффициентами (3.4) – только четыре:

Дадим следующее определение. Будем называть вертикальное цилиндрическое тело тяжелым в случае, если правая часть первого уравнения (3.5) имеет такой же порядок, что и левая. Поэтому при описании механического поведения возникает необходимость учета массовых сил.

Подставив (3.6) и (3.7) в (3.5), получаем независимые друг от друга уравнения равновесия тяжелого вертикального ортотропного цилиндра в перемещениях:

является показателем анизотропии для осесимметричного тела, находящегося под действием нагрузки, также обладающей осевой симметрией.

Решения уравнений (3.8) записываются в виде:

Подставив (3.10) последовательно в (3.6) и в (3.7), получаем аналитические выражения для напряжений в поперечных сечениях тяжелого вертикального ортотропного цилиндрического тела:

75

где

Λ11 = K11n + K12 , Λ22 = K22 − K12n , Λ21 = K12 − K11n , (3.12)

Λ12 = K12n + K22 , Λ13 = K31n + K32 , Λ23 = K32 − K31n.

Поскольку вертикальное тяжелое протяженное ортотропное цилиндрическое тело с жестко закрепленной внешней боковой поверхностью под действием равномерного внутреннего давления pa , то на границах этого тела должны быть заданы

следующие условия:

uz r=b = 0 , ur r=b = 0 , σrr r=a = − pa , τrz r=a = 0 , (3.13)

которые позволяют определить константы интегрирования в выражениях (5.11):

и записать соотношения для перемещений [29, 30]:

и напряжений [29, 30]:

в точках поперечных сечений.

76

В другом частном случае, когда при определении напряжен- но-деформированного состояния можно пренебречь вкладом массовых сил, из полученных уравнений следует классическое аналитическое решение задачи Ламе для ортотропного цилиндра [94]. Изэтого решения для закрепленного по внешней боковой поверхности цилиндра со свободной от нагрузок внутренней границей следует тривиальный результат: рассматриваемое бесконечно протяженное тело находится в ненапряженном состоянии. В еще одном частном случае, когда можно пренебречь различием деформационных свойств в окружном, осевом и радиальном направлениях из полученного аналитических выражений (3.15) и (3.16) следует решение [51] для тяжелого изотропного вертикального бесконечно протяженного цилиндра, а в случае, если оказывается возможно пренебречь вкладом гравитационных сил, из формул (3.15) и (3.16) также следует и решение [47, 73].

Полученное аналитическое решение позволяет провести оценку начальной прочности конструкций и сооружений, имеющих отдельные элементы, геометрия и симметрия деформационных свойст которых аналогична рассматриваемым простейшим телам, по совокупности критериев [20]. Предполагая, что железобетон (при определенных схемах армирования) и горные породы могут описываться моделями однородных ортотропных тел, в рамках многокритериального подхода к анализу процесса разрушения проведем сравнение величин:

JσI = σrr , JσII = σθθ , JσIII = σzz , JσIV = σrz ,

вычисленных в главных осях анизотропии (совпадают с осями цилиндрической ортогональной системы координат) со своими критическими значениями (экспериментально определенными прочностными постоянными). Эти величины являются компонентами тензора напряжений, которые инвариантны относительно ортогональных преобразований, допустимых над цилиндрически ортотропным однородным телом [77, 85–87].

78

Для вертикального ортотропного цилиндра могут быть реализованы следующие механизмы разрушения: от растяжения или сжатия в радиальном, окружном и осевом направлениях (описываются нормальными компонентами тензора напряжений σrr , σθθ и σzz

соответственно) и от антиплоского (продольного) сдвига (описываются касательными напряжениями σrz ). Как и ранее, полной потере

несущей способности будет соответствовать выполнение всей совокупностикритериальныхусловийввиденеравенств[20].

Наиболее опасными для появления области поврежденного материала, потерявшего способность сопротивляться продольному сдвигу и сжатию в окружном и осевом направлении, являются точки внешней закрепленной боковой поверхности вертикального цилиндрического тела. Реализация механизмов разрушения от растяжения в осевом и окружном направлении и сжатия вдоль радиальной координаты может быть инициирована в точках, принадлежащих внутренней боковой поверхности. Кроме того, обращает на себя внимание наличие двух точек, которым соответствуют нулевые значения окружных σθθ

и осевых напряжений σzz (см. рис. 3.2).

Особенность конструкции обсадных колонн скважин, используемых при добыче полезных ископаемых (протяженные вертикальные толстостенные цилиндрические конструкции),

ивыполняемые ими функции: сдерживание давления пласта

ипредотвращение растрескивания верхней (наименее прочной) зоны, предохранение скважины от обрушения, удерживание извлекаемой из недр среды в стволе, разделение пластов и обеспечение притока только из тех зон, которые определены инжене- ром-нефтяником, позволяют сделать вывод о том, что условия нагружения и закрепления (3.13), геометрия этих сооружений

исимметрийные свойства материалов соответствуют рассмотренным. Поэтому полученные аналитические зависимости (3.15)

и(3.16) могут быть применимы к задачам определения напря- женно-напряженного состояния обсадных колон скважин [49].

79

3.2.АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

ОРАВНОВЕСИИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ТЯЖЕЛОГО БЕСКОНЕЧНО ПРОТЯЖЕННОГО ОРТОТРОПНОГО ТОЛСТОСТЕННОГО ЦИЛИНДРА

Решению задач о равновесии упругих тел, обладающих осью симметрии, посвящены работы многих исследователей. G. Lamé и B.P.E. Clapeyron [109] в 1831 г. впервые получили решение задачи о равновесии упругого изотропного бесконечного цилиндра, подверженного действию равномерно распределенного внутреннего или внешнего давления. Однако в это пионерское решение в перемещениях, полученное в цилиндрических координатах, входила только одна упругая постоянная (модуль поперечной деформации еще не был введен в определяющие уравнения теории упругости).

Решение задач о равновесии изотропного цилиндрического тела, произвольным образом нагруженного по боковой по-

атакже приведенов монографиях А. Лява [63], А.И. Лурье [61, 62], М.А. Колтунова, Ю.Н. Васильева, В.А. Черных [47] и К.В. Соля- ник-Крассы [91] с многочисленными ссылками на работы отечественных и зарубежных авторов. В этих монографиях приводятся также общие решения ряда краевых задач для сплошных и полых изотропных линейно упругих цилиндров при заданных на границах осесимметричных и неосесимметричных перемещениях или усилиях, полученные ранее авторами [1, 11, 12, 22, 23, 24, 83, 90, 97], в том числе с использованием представления А. Лява [63], Б.Г. Галеркина [22], П.Ф. Папковича [76], В.И. Блоха [11, 12, 24] и К.В. Соляник-Крассы [91, 90] для функций напряжений.

Описанию неупругого деформирования элементов геологических конструкций и сооружений в форме цилиндрических тел (в том числе и при неосесимметричном нагружении) посвя-

80