книги / Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил

Равновесие симметрично нагруженной упругой сферы рассмотрено в монографиях и статьях [21, 58–62, 91], а также в работах C. Weber, E. Sternberg, F. Rosental и G. Fichera, ссылки на которые даны в [62]. Кроме перечисления частных решений для полых симметрично нагруженных сфер в работе [60] построен класс решений задач о равновесии упругих тел, ограниченных двумя концентрическими сферами и срезами по коническим поверхностям с вершинами в общем центре.

Работы [110, 115, 116, 112, 88, 69, 89, 50, 2] посвящены решению задач определения напряженного состояния в окрестности сферической полости. Термоупругое поведение сплошных

иполых сферических тел описано в статьях [52, 68, 78]. В работе [14] представлены результаты исследования симметричной деформации шара под действием гравитационных и электростатических нагрузок. Задачам исследования неупругого поведения изотропных центрально симметричных тел посвящены статьи

имонографии [2, 15, 25, 50, 64, 89], а их приложениям к изучению процессов, протекающих в породных массивах, и геомеханическим конструкциям и сооружениям, – работы [2, 50, 89].

Несмотря на то, что конструкционные материалы, используемые при создании геологических сооружений, имеют ярко выраженную анизотропию деформационных и прочностных свойств, большинство авторов ограничиваются лишь частным случаем, когда справедливо предположение об их изотропии. Решение задачи о равновесии упругой анизотропной полой сферы, приведенное в монографии С.Г. Лехницкого [56], было получено впервые в 1865 г. B. Saint-Venant [113]. Кроме

того, равновесие анизотропных сфер рассматривается также в работе [100]. В статье [48] получено решение задачи о центрально симметричной деформации полого шара из упругого радиально неоднородного трансверсально-изотропного материала, с помощью которого установлено наличие эффектов, вызванных неоднородностью, и проведено их качественное исследование.

11

Проблеме исследования напряженно-деформированного состояния толстостенных полых и составных изотропных сферических тел, находящихся в равновесии под действием внешнего и/или внутреннего давления, а также гравитационных сил посвящены работы Г.Б. Кузнецова, Л.Л. Кожевниковой, В.П. Матвеенко, А.А. Рогового и И.Н. Шардакова [44, 45, 51].

Массивные центрально симметричные конструкции и сооружения по способу изготовления (аддитивные технологии непрерывной послойной намотки предварительно пропитанными волокнами или лентами ткани, послойной выкладки, послойного наплавления, осаждения из газовой или жидкой фазы и т.п.) могут быть классифицированы как растущие тела. Механической нагрузкой для этих тел являются постепенно увеличивающиеся массовые объемные и поверхностные силы, которые задаются на изменяющейся в процессе роста внешней границе. Кроме того, при создании растущего тела возникают внутренние технологические напряжения, связанные не только с постепенным изменением геометрии и характерных размеров, но и с особенностями технологии изготовления (предварительное натяжение нитей и лент ткани, усадка при отверждении, прессование и т.п.).

Важность анализа напряженно-деформированного состояния конструкций и сооружений, которые могут быть отнесены к растущим телам, предопределила формирование и развитие Н.Х. Арутюняном, А.В. Манжировым и их учениками нового научного направления – общей математической теории наращиваемых тел [3–5]. В рамках созданных математических основ этого направления, кроме того, получены решения задач для сферических тел в упругой постановке и для вязкоупругих стареющих изотропных и анизотропных материалов [52, 66].

Полная система уравнений линейной теории упругости, записанная в сферических ортогональных координатах, включает в себя геометрические соотношения Коши:

12

13

τρϕ = 2A44ερϕ , τρθ = 2A44ερθ ,

которые для трансверсально-изотропного тела можно записать с помощью технических постоянных:

щие сокращение тела в направлениях θ и ϕ при растяжении вдоль ρ , и поперечные деформации в плоскости нормальной радиусвектору ρ при растяжении в той же самой плоскости соответственно; σii и εii (по i не суммировать) – нормальные компоненты тензора напряжений и осевые деформации, τij и εij (i ≠ j ) – каса-

тельные компоненты тензора напряжений и сдвиговых деформаций, uρ , uθ и uϕ – радиальные, меридиональные и окружные пе-

ремещения, а Fρ , Fθ и Fϕ – компонентывекторамассовыхсил.

Рассмотрим линейно-упругое тело – толстостенную сферу, ограниченную поверхностями с радиусами ρ1 и ρ2 ( ρ1 < ρ2 ),

находящуюся в состоянии равновесия под действием собственного веса и распределенной на внешней и внутренней поверхности нагрузки, симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через его геометрический центр. Будем считать, что материал сферы однородный, с постоянной плотностью по всему объему, сферически трансверсально-изотропный относительно любого радиус-вектора, проведенного из центра (в который поместим начало сферической ортогональной сис-

14

темы координат ρ , θ и ϕ ) в данную точку. Симметрия тела

и действующих сил предполагает, что компоненты вектора перемещения, напряжения и деформации не зависят от окружной координаты. Поэтому система (1.1)–(1.3) значительно упрощается: определяющие соотношения остаются неизменными (1.3), из шестигеометрическихсоотношений Коши остаются лишьчетыре:

Здесь Fρ = −γ cosθ и Fθ = γ sin θ , а γ – дельный вес материала.

Дадим следующее определение. Будем называть центрально симметричное тело тяжелым в случае, если величины Fρ и Fθ имеют один порядок с остальными слагаемыми урав-

нений (1.6) и, как следствие, при описании механического поведения возникает необходимость учета массовых сил.

В силу малости деформаций будем предполагать, что тип упругой симметрии материала сферы не изменяется в процессе приложения нагрузки.

При последовательной подстановке геометрических соотношений (1.5) в определяющие (1.3), а затем полученного результата – в уравнения равновесия (1.6) получим неоднородную систему дифференциальных уравнений Ламе в частных производных второго порядка:

15

Предположим, что на внешнюю и внутреннюю поверхности сферы действует нагрузка или задано перемещение, симметричные относительно вертикальной оси, проходящей через геометрический центр. В силу осевой симметрии нагрузки и центральной симметрии конструкции решение системы дифференциальных уравнений (1.7) можно представить в виде рядов [63, 72, 106, 107]:

Здесь Pn (cosθ) – полином Лежандра.

Подставляя выражения (1.8) в систему (1.7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях аргумента θ , получим n систем обыкновенных дифференциальных уравнений относительно радиальной координаты ρ :

16

Коэффициенты, входящие в (1.9), записываются следующим образом:

a1n = A11 , a2n = 2A11 , a3n = 2(A12 − A22 − A23 )− A44 (n +1)n , a4n = (A12 + A44 )(n +1)n , a5n = (A12 − A22 − A23 − A44 )(n +1)n ,

b1n = A44 , b2n = 2A44 , b3n = − A23 − 2A44 − A22 [(n +1)n −1] ,

b4n = − A12 − A44 , b5n = − A22 − A23 − 2A44 ,

в точках толстостенной анизотропной линейно упругой сферы, находящейся под действием гравитационных сил, можно представить в виде суперпозиции:

Коэффициенты, являющиеся множителями при тригонометрических функциях, определяются из решения n самостоятельных задач.

Заданные на границах тела перемещения, напряжения или их комбинации (которые в общем случае не являются однородными функциями) необходимо также разложить в ряды по меридиональной координате θ . Тогда для каждого n можно записать самостоятельную краевую задачу, состоящую из системы обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающую получение частного решения для заданных граничных условий.

17

При n = 0 (учитывая, что перемещение в меридиональном направлении uθ0 ≡ 0 ) система уравнений (1.9) упрощается:

было получено в [56, 113]. Входящий в показатель степеней при радиальной координате в формулах (1.11) коэффициент (1.12) является показателем анизотропии, который определяется в рассматриваемом случае для центрально симметричного тела, находящегося под действием центрально симметричной нагрузки, и отражает соотношение между деформационными постоянными. Константы интегрирования C10 и C20 вычисляются из гра-

ничных условий. Отметим, что условие неотрицательности подкоренного выражения 8E (1− ν ) ≥ E (ν − 1) в формуле (1.12)

справедливо всегда.

Если материал сферы изотропный, то, сделав подстановку:

и k = 32 , преобразуем равенство (1.11) к виду:

Уравнение (1.14) является известным аналитическим решением задачи о равновесии изотропной сферы, находящейся

18

под действием равномерно распределенных внутреннего и/или внешнего давления [61, 63].

Авторы [44] не рассматривают вклад uρ0 в радиальные

перемещения (1.10), определяемый по формуле (1.11), так как этого не требуется по постановке решенной задачи о равновесии тяжелой сферы с жестко закрепленной внешней поверхностью и имеющей свободную от напряжений внутреннюю границу.

При n =1 имеем неоднородную систему дифференциальных уравнений (1.9), решение которой можно представить суперпозицией

Подставив (1.15) в (1.9), получим равенства:

Hρ (2A12 + A22 + A23 + 4A44 ) + Hθ ( A22 + A23 − 4A44 ) = γ , (1.16)

2Hρ (3A11 + A12 − A22 − A23 − A44 ) +

+2Hθ (3A12 − A22 − A23 + A44 ) = γ,

и находим коэффициенты частного решения [33, 37]:

19

Общее решение соответствующей однородной системы будем искать в виде многочленов:

Для этого запишем характеристическое уравнение четвертого порядка, из которого определим характеристические числа λ j ( j =1, 2,3, 4 ) общих решений системы дифференциальных

уравнений (1.9):

является показателем анизотропии для центрально-симметрич- ного тела, находящегося под действием равномерно распределенной вертикальной осесимметричной нагрузки [33, 37]. Обратим внимание на то, что в отличие от k в формулах (1.12) показатель t зависит от модуля сдвига в диаметральной плоскости. Эта зависимость возникает вследствие появления сдвиговых деформаций, которые отсутствуют в случае, когда нагрузка (как и само тело) обладает центральной симметрией. Для изотропного материала показатели анизотропии k и t принимают значения k = 32 и t = 52 соответственно.

Таким образом, общее решение системы дифференциальных уравнений (1.9) при n = 1 запишем в виде [33, 37]:

20