книги / Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил

Рис. 3.8. Тяжелый ортотропный цилиндр, находящийся под действием неравномерного бокового давления

Ограничения (3.49) вызваны тем, что неравномерно распределенное давление является реакцией основания на действие собственного веса тяжелого цилиндра с радиусами a и b внутренней и внешней боковой поверхности. Здесь γ – удельный вес.

Представим решение задачи для бесконечно протяженного тяжелого толстостенного ортотропного цилиндрического тела со свободной от нагрузок внутренней поверхностью, которое находится на грунтовом основании, в виде суперпозиции решений (рис. 3.9): классической задачи Ламе ( i = 0 ), задачи о равновесии тяжелого цилиндра с жестко закрепленной внешней и свободной

111

от напряжений внутренней боковой поверхностью ( i = 1), и, наконец, с жестко закрепленной внутренней и заданным неравномерным давлением на внешней поверхности ( i > 1).

Рис. 3.9. Суперпозиция решений задач

Предположим, что площадь контактной поверхности и реакция основания известны и неизменны, а сама реакция

распределена по закону R (θ) = Aθ2 + Bθ + C. Тогда, восполь-

зовавшись условиями (3.49), можно определить коэффициенты уравнения параболы и записать частный вид реакции следующим образом [31, 32]:

R(θ) = 161 (b2 − a2 )(8π θ − 3π2 − 4θ2 )γ .

112

Закрепление цилиндров по внутренней или внешней поверхности приводит к появлению на этих участках дополнительных реакций, интегральный вклад которых определяется по формуле:

Поскольку исходная задача не предполагает каких-либо условий закрепления, то необходимо скомпенсировать реакции (3.50). Для этого предположим, что неоднородные реакции на закрепленных поверхностях могут быть заменены эквивалентными равномерно распределенными нагрузками интенсивностью: qa = Ra π и qb = Rb π . Тогда граничные условия для рас-

сматриваемой суперпозиции краевых задач (см. рис. 3.9) можно представить следующей группой равенств [31]:

ции грунтового основания в тригонометрический ряд по окружной координате. Эти условия позволяют записать выражения

для постоянных интегрирования C1 , C2 , a1(i) , a2(i) , a3(i) и a4(i)

общих решений, которые представлены вторым уравнением

(3.10), формулами (3.28) и (3.35).

113

Постоянные C1 и C2 определяются равенствами:

были вычислены ранее из решения системы линейных алгебраических уравнений (3.45) с коэффициентами (3.32). Эти по-

стоянные имеют вид (3.47). При i > 1 константы a1(i) , a2(i) , a3(i)

и a4(i) являются корнями системы линейных алгебраических уравнений:

с коэффициентами (3.34), (3.36) и (3.47), представляются после преобразований следующим образом:

114

+ i (ξi + ϕi )(K11 + K12ψ2iψ3i )](ψ1i − ψ4i ) ,

115

+ K12 [ξi (ψ3i − ψ4i )ψ1iψ2i + ϕi (ψ1i − ψ2i )ψ3iψ4i ]} .

Обратим внимание на то, что граничные условия (3.51) позволяют скомпенсировать дополнительные реакции только в радиальном направлении. Несмотря на то, что при закреплении внутренней или внешней боковой поверхности возникают усилия еще и в окружном, и осевом направлениях, попытка компенсации этих реакций привела бы к получению решения с точностью до константы, отвечающей за движение тела как жесткого целого (вращение тяжелого цилиндра вокруг оси симметрии или либо за перемещение в вертикальном направлении).

116

В качестве примера рассмотрим горизонтальный толстостенный монолитный железобетонный цилиндр, наполовину погруженный в грунтовое основание. Будем предполагать, что внешняя поверхность цилиндра, находящаяся выше грунта, и внутренняя поверхность свободны от напряжений ( pa = 0 МПа и

pb = 0 МПа). На рис. 3.10 представлены распределения радиальных u и окружных v перемещений, а на рис. 3.11 и 3.12 – радиальных σrr , касательных σrz , окружных σθθ и осевых σzz напряже-

ний в точках поперечных сечений железобетонного цилиндра на внутренней, внешней и серединной поверхности вдоль окружной θ иобезразмеренной радиальной ρ = (r − a)(b − a) координаты.

Рис. 3.10. Распределение радиальных ( u,10−6 м) и окружных ( v,10−6 м) перемещений в монолитном

железобетонном цилиндре на внутренней, внешней и серединной поверхностях

117

Особо тяжелый монолитный железобетон, из которого изготовлено тело внутренним радиусом a = 3,0 м и внешним b = 5,5 м, предполагался ортотропным, имеющим удельный вес

γ = 40 кН/м3 и следующие упругие модули: Err = 4 105 МПа,

носят немонотонный характер (рис. 3.10). Радиальные перемещения u на внутренней поверхности цилиндра всюду положительны, на серединной поверхности принимают положительные

значения до θ = 166 с максимумом при θ = 118 и минимумом

при θ = 180 . На внешней поверхности зависимость u от окружной координаты такова, что отрицательные значения имеют ме-

сто при 0 ≤ θ ≤ 18 и 158 ≤ θ ≤ 180 , а максимальные значения

достигаются при θ = 115 .

Окружные перемещения v являются нулевыми в точках на внешней поверхности верхнего свода при θ = 0 и нижнего

свода, принадлежащих при θ = 129 , θ = 115 и θ = 96 внутренней, серединной и внешней поверхности соответственно. Свои максимальные значения перемещения v достигают при

θ = 90 , θ = 62 и θ = 52 на внутренней, серединой и внешней поверхностях верхнего свода. На нижнем своде при θ = 125 ,

θ = 115 и θ = 125 происходит смена знака, а точки минимума для окружных перемещений на внутренней, серединой

ивнешнейповерхностисоответствуют θ = 125 , θ = 115 и θ = 96 . Характер зависимостей перемещений точек, принадлежащих верхнему своду тяжелого цилиндра в направлении радиальной координаты ρ , существенно изменяется при увеличении угла θ .

Перемещения u монотонно убывают при θ = 0 , монотонно возрастают при θ = π2 и имеют точку локального минимума при

118

ρ = 0,55 и θ = π4 . Зависимости v ρ имеют локальные макси-

мумы, положение которых смещается к внутренней поверхности цилиндраприувеличенииокружной координаты.

Обратим внимание еще на одну закономерность распределения радиальных u и окружных v перемещений [31]. Производные u по окружной координате θ

принимают нулевые значения:

в точках поперечных сечений тяжелых горизонтальных ортотропных цилиндров, принадлежащих вертикальной диаметральной плоскости. Этот результат не зависит от расстояния, на котором от оси вращения находится рассматриваемая точка.

Распределения радиальных σrr , окружных σθθ , осевых σzz и касательных σrθ напряжений по окружной θ и обезразмеренной

119

радиальной координате ρ имеют немонотонный характер (см. рис. 3.11 и 3.12). На внутренней поверхности зависимость σrr от окружной координаты обладает следующими закономер-

ностями: отрицательные значения имеют место при 0 ≤ θ ≤ 60

и 142 ≤ θ ≤ 180 , а максимальные по абсолютной величине положительные и отрицательные значения достигаются в точках

внутреннего свода при θ = 112 и θ = 180 соответственно. На серединной поверхности ( ρ = 0,50 ) радиальные напряжения

принимают положительные значения при изменении окружной координате в интервале от θ = 35 до θ = 145 , а на внешней поверхности – при 142 ≤ θ ≤ 180 .

Рис. 3.11. Распределение радиальных и касательных напряжений в монолитном железобетонном цилиндре на внутренней, внешней и серединной поверхностях

120