книги / Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил
..pdf
C3(11) 4A12(1) (x3(1) +1)+ A11(1) x3(1) (2t(1) −1) ρ1c
2+t(1) +
+2C2(11) 2A12(1) (x2(1) +1)− A11(1) x2(1) +
+C4(11) 4A12(1) (x4(1) +1)− A11(1) x4(1) (2t(1) +1) ρ1c
2−t(1) +
+4 Hρ(1) (A11(1) + A12(1) )+ Hθ(1) A12(1) ρ3c =
= 2C2(12) 2A12(2) (x2(2) +1)− A11(2) x2(2) +
+C3(12) 4A12(2) (x3(2) +1)+ A11(2) x3(2) (2t(2) −1) ρ1c
2+t(2) +
+C4(12) 4A12(2) (x4(2) +1)− A11(2) x4(2) (2t(2) +1) ρ1c
2−t(2) +
+4 Hρ(2) (A11(2) + A12(2) )+ Hθ(2) A12(2) ρ3c ,
−C |
(2) + x(2) |
C2(12) |
|
+ x(2)C(2)ρ−1 2+t(2) |
+ x C |
(2)ρ−1 2−t(2) = −H (2)ρ2 |
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
ρ2 |
3 |
|
3 |
2 |
|
|
4 |
4 |
2 |
|
|
|
ρ |
2 |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
C |
(2) |
|
+ |
C2(12) |
+ C(2)ρ−1 2+t(2) + C(2)ρ−1 2−t(2) |
= −H (2)ρ2 |
, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
ρ2 |
3 |
|
2 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
θ |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C(1) |
+ |
C2(11) |
|
+ C(1)ρ−1 2+t(1) |
+ C(1) |
ρ−1 2−t(1) + H (1)ρ2 |
= C(2) + |
C2(12) |
+ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
ρc |
3 |
|
|
c |
|
4 |
c |
|
|
θ |
c |
1 |
|
|
ρc |
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+C |
(2)ρ−1 2+t(2) + C(2)ρ−1 2−t(2) + H |
(2)ρ2 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
c |
|
4 |
|
c |
|
|
|
θ |
c |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x(1) |
C2(11) |
|
− C(1) + x(1)C(1)ρ−1 2+t(1) + x C(1)ρ−1 2−t(1) |
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
ρc |
|
|
|
1 |
|
3 |
3 |
c |
|
|
4 |
4 |
c |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ H (1) |
ρ2 |
= x(2) |
C2(12) |
− C |
(2) |
+ x(2)C(2) |
ρ−1 2+t(2) + |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
c |
2 |
|
ρc |
|
1 |
3 |
|
3 |
c |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x C |
(2)ρ−1 2−t(2) |
+ H |
(2)ρ2 , |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
c |
|
|
|
ρ |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
2 C2(11) A44(1) (x2(1) + 2)− C2(12) A44(2) (x2(2) + 2) +
+C3(11) A44(1) (2x3(1) − 2t(1) + 3)ρ1c 2+t(1) + 2A44(1) (Hρ(1) − Hθ(1) )ρ3c +
+ A44(1)C4(11) (2x4(1) + 2t(1) + 3)ρ1c 2−t(1) = C3(12) A44(2) (2x3(2) − 2t(2) + 3)ρ1c 2+t(2) + +2A44(2) (Hρ(2) − Hθ(2) )ρ3c + A44(2)C4(12) (2x4(2) + 2t(2) + 3)ρ1c 2−t(2) ,
но не приводятся ввиду их громоздкости.
При n >1 из-за однородности граничных условий все слагаемые, стоящие под знаком суммы в (2.8), обращаются в ноль.
Поэтому uρ(in) =0 и uθ(in) =0 .
Вчастном случае из уравнений (2.8) с постоянными (2.12)
идополнительно определенными из решения системы (2.13) ко-
эффициентами C1(1i) , C2(1i) , C3(1i) и C4(1i) , которые соответствуют
граничным условиям (2.9) и (2.10), следует решение краевой задачи о равновесии тяжелой составной изотропной сферы, жестко закрепленной по внешней поверхности и находящейся под действием равномерного внутреннего давления р. Для записи этого решения необходимо провести замену:
(i) |
= E |
(i) |
, ν |
(i) |
= ν |
(i) |
(i) |
= G |
(i) |
= |
E(i) |
|
E |
|
|
|
, G |
|
|
(2.14) |
|||||
|
|
|
|
2(1+ ν(i) ) |
в соотношениях (2.3) для каждой из частей составной централь- но-симметричной конструкции.
Учитывая то, что при замене (2.14) показатели анизотропии принимают значения k(i) = 3
2 и t(i) = 5
2 , а коэффициенты
x(i) = −1 и x(i) = 2 , получим выражения для перемещений [34]: |
||||||||||
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i) |
|
|
(i) |
|
|
|
|
|
u(i) |
= C(i) + |
C21 |
+ C(i)ρ2 |
+ |
C41 |
+ H |
(i)ρ2 |
|
sin θ , (2.15) |
|
ρ |
ρ3 |
||||||||
|
θ |
11 |
31 |
|
|
θ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
+ −C1(1i)
|
|
|
|
u(i) = |
C(i) |
|
(i)ρ + |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
10 |
|
+ C |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ρ2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
(i) |
|
|
|
|
|
|
|
(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ x(i) |
C21 |
|
+ x(i)C(i)ρ2 + 2 |
C41 |
|
+ H (i)ρ2 |
|
cos θ |
|||||||||
|
ρ |
|
ρ3 |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
31 |
|
|
|
ρ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i) |
= |
γ(i) |
(1− ν(i) ) |
|
x(i) |
4(1 |
− ν(i) ) |
|
|
|
||||||
H |
|
|
|
|
|
, |
= |
|
|
|
, |
|
|
||||
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3E(i) |
|
|
|
2 |
|
4ν(i) − 3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
H |
(i) = − 2γ(i)ν(i) |
, |
x(i) = |
4ν(i) − 1 |
. |
||
|
|||||||
|
θ |
3E |
(i) |
|
3 |
2ν(i) − 3 |
|
|
|
|
|
||||
Постоянные интегрирования, входящие в (2.15), могут быть представлены в виде [34]:
C |
(1)Z |
(2) = 2 pρ3ρ3 |
(b(1)c(2) + B(2) ), |
C |
(1)Z |
(2) = −2 pρ3 (b(1)c(2) + B(2) ), |
||||||||||||||
1 |
0 |
c |
1 |
|
|
− |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
1 |
+ |
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1(2)Z0(2) = −12A11(1) pρ3сρ13ρ32 |
, C2(2)Z0(2) |
|
= 12A11(1) pρ3сρ13 , |
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
B(α ) = b(α )ρ |
3 |
|
− b(α )ρ |
3 , b(α ) |
= − |
|
4E(α ) |
|
, b(α ) |
= |
2E(α ) |
, |
|||||||
|
α |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
c |
+ |
|
1+ ν(α ) |
|
− |
1− 2ν(α ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Z0(α ) = 6A11(β)B(α )ρβ3 − b+(β)c(β) (b−(β)c(α ) + B(α ) ), с(α ) = ρс3 − ρα3 , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
A11(α ) = |
|
|
E(α ) |
(1− ν(α ) ) |
|
|
, |
β = |
1, α = 2, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(1 |
+ ν(α ) )(1− 2ν(α ) ) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, α = 1. |
|
||||||||||
Особый интерес представляет случай, в котором рассматривается равновесие закрепленной по внешней поверхности тяжелой составной изотропной сферы со свободной от нагрузок внутренней поверхностью (отсутствует внутреннее давление). При этом формулы (2.15) при p = 0 несколько упрощаются
и совпадают с уравнениями, полученными автором [51]. Одна-
53
ко, учитывая соотношения между константами для трансвер- сально-изотропного материала в рассматриваемом частном случае, представим коэффициенты любого частного решения
неоднородной системы дифференциальных уравнений (2.5), |
||||
записанной при |
n =1, |
в |
виде: |
Hρ(i) = γ(i) (1− ν(i) ) (3E(i) ) |
и Hθ(i) = − 2γ(i)ν(i) |
(3E(i) ) |
[34, |
35, 38, |
39]. Это принципиально |
невозможно было сделать ранее [51].
2.3. РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ ТЯЖЕЛОЙ СОСТАВНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СФЕРЫ С ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
Рассмотрим равновесие находящейся под действием массовых сил и внешнего равномерного давления р составной сферы с жестко закрепленной внутренней поверхностью (левая часть составной сферы на рис. 2.1). Как и прежде, считаем, что составная сфера состоит из двух частей – центральносимметричных тел с общим центром, в который поместим начало сферической ортогональной системы координат ρ, θ и ϕ ,
ограниченной внутренней и внешней поверхностями с постоянными радиусами ρ1 и ρ2 ( ρ1 < ρ2 ). Поэтому на этих поверхностях составной сферы будут заданы условия:
uρ(1) |
|
ρ=ρ1 |
= 0 , uθ(1) |
|
ρ=ρ |
= 0 , τρθ(2) |
|
ρ=ρ |
= 0 , σρρ(2) |
|
ρ=ρ |
= − p . (2.16) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
Будем предполагать, что поверхность контакта частей составной сферы с реализуемыми на ней условиями идеального сопряжения (2.9) находится на расстоянии ρc от центра, а ее
расположение не изменяется (в силу малости деформаций) в процессе нагружения. Если также предположить, что сферически трансверсально-изотропный материал обеих составных час-
54
тей линейно-упругий однородный, с постоянной плотностью по всему объему, также не изменяющий тип симметрии в процессе нагружения, то решение задачи о равновесии составной сферы с жестко закрепленной внутренней поверхностью может быть получено с помощью метода, описанного в параграфе 2.1.
Используя (2.6) для разложения граничных условий (2.16) и условий идеального сопряжения (2.9) в ряды, определим постоянные интегрирования общих решений неоднородных систем дифференциальных уравнений (2.7) для всех слагаемых суммы (2.8), которые, по сути, для каждого n являются решениями самостоятельных краевых задач.
Из решения системы линейных алгебраических уравнений (2.11), в которой первые два равенства из четырех необходимо заменить на
ρ−1 2−k(1)C(1) + ρ−1 2+k(1)C(1) = 0, |
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
C1(2) |
2A12(2) − A11(2) (1 + k(2) ) ρ2−3 2−k(2) + |
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
(2) |
(k |
(2) |
+ |
1 |
(2) |
−3 2+k(2) |
= − p, |
|||
+C20 A11 |
|
2 |
)+ 2A12 |
ρ2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяются для n = 0 четыре константы C(i) |
и C(i) |
: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
C1(1)Z0(1) |
= −8A11(2) pk(2)ρсk(1) +k(2) ρ12k(1) ρ32 |
2+k(2) , |
(2.17) |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2(10)Z0(1) = 8A11(2) pk(2)ρсk(1) +k(2) ρ32
2+k(2) , C1(02)Z0(1) = 2 pρc2k(2) ρ32
2+k(2) (b−(2)c(1) + B(1) ) , C2(20)Z0(1) = −2 pρ32
2+k(2) (b+(2)c(1) + B(1) ).
Замена первых четырех из восьми линейных алгебраических уравнений системы (2.13) на выражения:
55
−C1(11) + x2(1)C2(11)ρ1−1 + x3(1)C3(11)ρ1−1
2+t(1) +
(2.18)
+ x4C4(11)ρ1−1
2−t(1) = −Hρ(1)ρ12 ,
2C2(12) 2A12(2) (x2(2) +1)− A11(2) x2(2) ρ122+t(2) +
+C3(12) 4A12(2) (x3(2) +1)+ A11(2) x3(2) (2t(2) −1) ρ12+2t(2) +
+C4(12) 4A12(2) (x4(2) +1)− A11(2) x4(2) (2t(2) +1) ρ2 =
= −4 Hρ(2) (A11(2) + A12(2) )+ Hθ(2) A12(2) ρ72
2+t(2) ,
2C2(12) (x2(2) + 2)ρ12 2+t(2) + C3(12) (2x3(2) − 2t(2) + 3)ρ12+2t(2) + +C4(12) (2x4(2) + 2t(2) + 3)ρ2 = 2(Hθ(2) − Hρ(2) )ρ72
2+t(2)
C1(11) + C2(11)ρ1−1 + C3(11)ρ1−1
2+t(1) + C4(11)ρ1−1
2−t(1) = −Hθ(1)ρ12 ,
позволяет вычислить восемь постоянных C1(1i) , C2(1i) , C3(1i) и
C4(1i) , входящих в (2.8) при n =1. Константы интегрирования в
остальных слагаемых выражений для радиальных и меридиональных перемещений (2.8) будут нулевыми в силу однородности систем дифференциальных уравнений (2.7) и гранич-
ных условий (2.16) при всех n >1, в результате чего uρ(in) =0
иuθ(in) =0 .
Впрактически важном частном случае замена материальных констант (2.14) в равенствах (2.3) для каждой из частей составного центрально-симметричного тела, а также подста-
новка значений для показателей анизотропии k(i) = 3
2 , t(i) = 5
2 и коэффициентов x1(i) = −1 и x4(i) = 2 позволяют запи-
56
сать выражения для меридиональных и радиальных перемещений толстостенной тяжелой изотропной составной сферы с жестко закрепленной внутренней поверхностью, находящейся в равновесии под действием равномерного внешнего давления р, в виде равенств (2.15) с константами интегрирования
C1(0i) и C2(i0) , соответствующими (2.17). Оставшиеся постоянные
C1(1i) , C2(1i) , C3(1i) и C4(1i) являются решением системы (2.18) и не приводятся ввиду их громоздкости.
2.4. ОЦЕНКА НАЧАЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ МОНОЛИТНЫХ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КРЕПЕЙ СФЕРИЧЕСКИХ ГОРНЫХ
ВЫРАБОТОК, НАХОДЯЩИХСЯ В МАССИВЕ ОСАДОЧНЫХ
ИЛИ СЫПУЧИХ ПОРОД
В качестве примера использования полученных точных аналитических решений проанализируем вклад массовых сил в напряженное состояние монолитных железобетонных крепей
иокружающего сферические подземные выработки массива осадочных пород и проведем оценку начальной прочности.
Предположим, что на некотором расстоянии от сферической крепи в породном массиве существует поверхность, перемещениями точек которой в радиальном, окружном и меридиональном направлении можно пренебречь. Тогда, рассматривая совместное деформирование монолитной крепи сферической горной выработки и окружающего массива осадочных пород, воспользуемся полученным в параграфе 2.2 решением для определения полей напряжений и перемещений.
Для этого подставим уравнения (2.8) с константами, определенными из (2.11) и (2.13), в геометрические соотношения (2.4)
иполучим компоненты тензора деформаций [34]:
57
ε(i) |
= ε(i) |
= C(i)ρ−3 2−k(i) + C |
(i)ρ−3 2+k(i) |
+ |
|
||
ϕϕ |
θθ |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(i) |
|
|
|
|
+ (1+ x2(i) ) |
C21 |
+ (1+ x3(i) )C3(1i)ρ−3 2+t(i) + |
(2.19) |
||||
ρ2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (1+ x4(i) )C4(1i)ρ−3
2−t(i) + (Hρ(i) + Hθ(i) )ρ cosθ ,
ε(ρρi) = − 12{ C1(0i) (1+ 2k(i) )ρ−3
2−k(i) + C2(i0) (1− 2k(i) )ρ−3
2+ k(i) +
(i)
+2x2(i) Cρ221 + (1− 2t(i) )x3(i)C3(1i)ρ−3
2+t(i) +
+(1+ 2t(i) )x4(i)C4(1i)ρ−3
2−t(i) − 4Hρ(i)ρ cosθ},
|
|
|
|
(i) |
+ (3 |
|
|
(i) )C3(i)ρ−3 2+t(i) |
|
|
γρθ(i) = − (2 |
+ x2(i) ) |
C21 |
+ x3(i) − t |
+ |
||||||
ρ2 |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
||
+ (3 |
|
|
(i) )C4(i)ρ−3 2−t(i) |
|
|
|
||||
+ x4(i) + t |
+ (Hρ(i) − Hθ(i) )ρ sin θ . |
|||||||||
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дальнейшая подстановка (2.19) в определяющие уравнения (2.2) позволяет записать компоненты тензора напряжений следующим образом [34]:
σ |
(i) |
= σ |
(i) |
= |
1 |
ρ |
−3 2−k(i) |
C |
(i) |
|
|
(i) |
(i) |
|
(i) |
1+ 2k |
(i) |
+ |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
2 A |
+ A |
|
− A |
|
|
|
||||||||||||||||
|
ϕϕ |
|
|
θθ |
|
|
|
|
{ |
|
|
( |
|
22 |
23 ) |
|
12 ( |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
+C2(i0) 2(A22(i) + A23(i) )− A12(i) (1− 2k(i) ) ρ2k(i)}+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
(i) |
|
|
(i) |
) (1+ x |
(i) |
)C |
(i) |
ρ− |
2 |
+ |
(1+ x |
(i) |
)C |
(i) |
ρ− |
3 2 |
+ |
t(i) |
+ |
(2.20) |
|||
|
+ (A |
+ A |
2 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
{ |
22 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
3 |
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+(1+ x4(i) )C4(i1)ρ−3
2−t(i) + (Hρ(i) + Hθ(i) )ρ − 12 A12(i) 2x2(i)C2(1i)ρ−2 +
+(1− 2t(i) )x3(i)C3(1i)ρ−3
2+t(i) + (1+ 2t(i) )x4(i)C4(i1)ρ−3
2−t(i) − 4Hρ(i)ρ }cosθ.
58
|
σ |
(i) |
= |
1 |
ρ |
−3 2−k(i) |
|
C |
(i) |
|
|
|
(i) |
|
(i) |
1+ |
2k |
(i) |
+ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ρρ |
|
|
2 |
|
|
|
|
{ |
10 |
|
|
|
|
12 |
|
11 |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ2k(i) }+ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
+C2(i) 4A12(i) − A11(i) (1− 2k(i) ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
(i) |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
(i) |
|
|
|
i |
|
i |
|
|
(i) |
|
||
|
i |
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+ 2A( ) (1+ x( |
|
) ) |
|
|
1 |
+ (1+ x( |
) )C( |
|
)ρ−3 2+t |
|
+ (1+ x( |
) )C( |
)ρ−3 2−t |
|
+ |
||||||||||||||||||
|
|
ρ2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
41 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ (H (i) + H (i) )ρ − |
1 A(i) |
2x(i) |
|
C21 |
|
+ (1− 2t |
(i) )x(i)C(i)ρ−3 2+t(i) |
+ |
|
||||||||||||||||||||||||
|
ρ2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ρ |
θ |
|
|
|
|
|
2 11 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
31 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4Hρ(i)ρ }cosθ, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ (1+ 2t(i) )x4(i)C4(i)ρ−3 2−t(i) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i) |
+(3 |
+ x3(i) −t(i) )C3(i)ρ−3 2+t(i) + |
|
|
|
|||||||||||||||
|
τρθ(i) = −A44(i) |
(2+ x2(i) ) |
C21 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
ρ2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+( |
3 + x4(i) +t(i) )C4(i)ρ−3 2−t(i) +(Hρ(i) − Hθ(i) )ρ sinθ. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные аналитические выражения (2.20) для ради- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
альных σρρ(i) , |
меридиональных σ(ϕϕi) = σ(θθi) |
и касательных τρθ(i) |
на- |
||||||||||||||||||||||||||||||
пряжений позволяют провести оценку начальной прочности монолитных железобетонных крепей сферических горных выработок и окружающего породного массива на основе многокритериального подхода, описывающего различные механизмы разрушения [20], и определить области, где это разрушение может быть инициировано.
На рис. 2.2 и 2.3 представлены распределения ненулевых независимых инвариантов тензора напряжений в объединенных механических системах– массивах осадочных пород ( E = 55,0 ГПа,
E = 23,0 ГПа, G = 29,0 ГПа, ν = 0,29 , ν = 0,32 и γ = 27 кН/м3 )
и тяжелых железобетонных крепях ( E = 40,0 ГПа, E = 25,0 ГПа,
59
G = 11 ГПа, ν = 0,075 , ν = 0,15 и γ = 40 кН/м3 ) сферических под-
земных горных выработок со свободной от давления внутренней поверхностью ( p = 0 МПа) вдоль обезразмеренной радиальной
ρ = (ρ − ρ1 )
(ρ2 − ρ1 ) и меридиональной координаты [34]. Пара-
метры геометрии геологических сооружений были выбраны следующими: ρ1 = 2,5 м, ρc = 3,1 м и ρ2 = 4,3 м (рис. 2.2);
ρ1 = 2,5 м, ρc = 3,1 ми ρ2 = 9,0 м(рис. 2.3).
Рис. 2.2. Распределение независимых инвариантов тензора напряжений (МПа) на закрепленной внешней ( JEx(•) ), свободной от нагрузок внутренней ( JIn(•) ) и контактной ( JC(•) ) поверхностях
На внутренней поверхности монолитной железобетонной крепи, которая свободна от нагрузок, ненулевым является толь-
ко первый инвариант J I . Этот инвариант нелинейно распреде-
60