книги / Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил

щены статьи и монографии [2, 40, 46, 89], а работы [2, 18, 19, 42, 54, 69, 88, 89] посвящены решению задач определения напряженного состояния в окрестности полостей, моделирующих цилиндрические горные выработки в породных массивах.

Решения задач о равновесии полых толстостенных круглых в поперечном сечении труб, изготовленных из материала с цилиндрической анизотропией частного вида, было впервые записано в 1865 г. B. Saint-Venant [113] и W. Vоigt [120]. Кроме того, решению задач о равновесии однородных анизотропных цилиндров при различных видах осесимметричных нагрузок посвящены работы [10, 16, 17, 41, 54, 55, 70, 71] и монография С.Г. Лехницкого [56]. Исследованию равновесия бесконечно протяженных анизотропных полых центрально симметричных тел, материал которых имеет непрерывную неоднородность (например, зависимость деформационных свойств от пространственных координат), посвящены статьи [57, 82, 84, 102, 114]. Различные аспекты решения задач, учитывающие изменение упругих модулей вдоль радиальной или осевой координаты, а также (в простейшем частном случае) условие пропорциональности деформационных постоянных расстоянию, рассматриваются в работах [26, 53, 80, 81]. Решение ряда частных задач для трансверсально-изотропных цилиндров конечной длины пред-

ставлено в статьях [6, 7, 104, 103, 105, 117].

Проблеме исследования напряженно-деформированного состояния находящихся в равновесии под действием внутреннего давления толстостенных тяжелых полых изотропных цилиндрических тел, жестко закрепленных во всей внешней поверхности или опирающихся на ложементы, посвящены работы Л.Л. Кожевниковой, Г.Б. Кузнецова, В.П. Матвеенко, А.А. Рогового и Н.А. Шевелева [44, 45, 51, 67]. Этими авторами с использованием аналитических и полуаналитических методов описано деформирование и взаимодействие внешних поверхностей тяжелых цилиндров с «жесткими» и «податливыми оболочками», а также конечными по длине опорами.

81

Различные цилиндрические элементы конструкций для аэрокосмической техники и машиностроения, строительные и геологические сооружения изготавливаются, как правило, путем последовательного (аддитивного) наращивания при непрерывной послойной намотке, выкладке или наплавлении на оправке, а также при поэтапной заливке бетоном армирующих каркасов. Механическими нагрузками для этих тел выступают постепенно увеличивающиеся центробежные и гравитационные объемные и поверхностные силы. При создании растущего тела возникают внутренние технологические напряжения, связанные не только с постепенным измененим геометрии и характерных размеров, но и с особенностями технологии изготовления (предварительное натяжение нитей и лент ткани, усадка при отверждении, прессование и т.п.).

Несмотря на то, что управление напряженно-деформиро- ванного состоянием в растущих цилиндрических телах, в которых материал вместе с конструкцией и сооружением создается одновременно, позволяет максимально реализовать резервы несущей способности, в настоящее время существует ограниченное число работ, посвященных развитию теории наращиваемых тел. К числу этих работ можно отнести монографии и статьи Н.Х. Арутюняна, А.В. Манжирова и их учеников [3, 4, 5, 65], а также публикации, к которых рассматриваются модели технологических процессов изготовления цилиндрических тел методами аддитивного наращивания. Так, например, в монографии [98] представлено решение линейной осесимметричной задачи о непрерывном наращивании термоупругого ортотропного полого цилиндра в произвольном нестационарном силовом и температурном поле при любом начальном напряженном состоянии материала, присоединяемого к его внутренней или внешней поверхности (при условии упругой реакции на ненаращиваемой границе). При построении этого решения принимались во внимание только внешние воздействия, вызывающие только радиальные смещения частиц, а в качестве возможного приложения

82

исследовался процесс нанесения на внутреннюю поверхность вращающейся с постоянной угловой скоростью жесткой оправки ненапряженного материала, для которого отсутствует эффект Пуассона (несвязанные деформации вдоль главных направлений). Различные не учитывающие инерционные силовые воздействия осесимметричные модели процессов силовой намотки цилиндрических тел на жесткой или податливой круговой оправке, в которых реальные витки слоев материала заменяются замкнутыми растянутыми анизотропными кольцами, рассматри-

вались в работах [8, 13, 43, 74, 75, 95, 101].

Рис. 3.3. Тяжелый ортотропный цилиндр, находящийся под действием произвольной нагрузки

Несмотря на отмеченную выше важность учета постепенного нарастания массы тяжелых конструкций, при решении задач будем предполагать, что бесконечно протяженные цилиндрические тела уже существуют, а процесс их создания не изучается.

Рассмотрим линейно-упругий бесконечно протяженный горизонтальный полый толстостенный цилиндр, ограниченный внутренней и внешней боковыми поверхностями, заданными отно-

83

сительно оси симметрии радиусами a и b ( a < b ). Будем считать, что цилиндрическое тело находится в состоянии равновесия под действием массовых сил и произвольно распределенной симметричной относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось цилиндра, нагрузки R(θ). Эта нагрузка может быть задана на

еговнешней иливнутреннейбоковой поверхности (рис. 3.3). Будем считать, что материал цилиндрического тела одно-

родный с постоянной плотностью по всему объему, цилиндрически ортотропный (главные оси ортотропии совпадают с цилиндрической ортогональной системой координат r, θ и z, причем z совпадает с осью симметрии цилиндра). В силу бесконечной протяженности рассматриваемого тела и характера действующих сил будем пренебрегать торцевыми эффектами. Поэтому функции радиальных u и окружных v перемещений, радиальных ( σrr и εrr ), окружных ( σθθ и εθθ ), осевых ( σzz ) нормальных напряжения и деформаций, касательных напряжений и сдвиговых деформаций ( σrz и εrz ) не зависят от осевой координаты z.

В силу малости деформаций будем предполагать неизменность типа упругой симметрии материала цилиндрического тела в процессе приложения нагрузки.

Сформулированные предположения позволяют существенно упростить систему уравнений (3.1)–(3.3), оставив из шести геометрических соотношений Коши (3.1) лишь три:

из трех уравнений равновесия (3.2) – два:

84

а из шести определяющих соотношений (3.3) – только четыре

эффициенты Kij , входящие в (3.7), определяются равенствами (3.4). Обратим внимание на то, что для бесконечно протяжен-

Как и ранее, дадим следующее определение. Будем называть горизонтальное толстостенное цилиндрическое тело тяжелым в случае, если величины Fr и Fθ имеют один порядок

с остальными слагаемыми уравнений (3.18), вследствие чего при описании деформирования возникает необходимость учета массовых сил.

Запишем неоднородную систему дифференциальных уравнений Ламе в частных производных второго порядка для горизонтального тяжелого ортотропногоцилиндра [27, 28, 32, 33, 99]:

Эта система была получена последовательной подстановкой геометрических соотношений Коши (3.17) в определяющие (3.7), а затем полученного результата – в уравнения равновесия

(3.18). Здесь:

85

а показатель анизотропии n вычисляется по формуле (3.9). Симметрия нагрузки относительно вертикальной диамет-

ральной плоскости и геометрическая симметрия тяжелого цилиндрического тела предопределяют поиск решения системы дифференциальных уравнений (3.20) в виде тригонометрических рядов по окружной координате θ :

подстановка которых в исходную систему (3.20) позволяет записать:

Обратим внимание на то, что система обыкновенных дифференциальных уравнений (3.22) относительно радиальной координаты r неоднородна при i = 1, а для i = 0 и i > 1 однородна. Поэтому для различных i решение системы (3.22) можно рассматривать независимо и представить перемещения и напряжения в тяжелом цилиндре в виде суперпозиции:

86

Представление (3.23) позволяет выделить механический смысл каждого из слагаемых. Так, например, слагаемые с индексом i = 0 отражают вклад равномерно распределенной нагрузки на внутренней и/или внешней боковой поверхности цилиндрического тела и соответствуют решению классической задачи Ламе. Слагаемые при i = 1 позволяют учесть гравитационные силы, а при i > 1 – неравномерно распределенную нагрузку, которую перед подстановкой в граничные условия необходимо разложить в тригонометрические ряды по окружной

а единственное уравнение системы (3.22) принимает вид, аналогичный второму уравнению (3.8), если в последнем произвести замену ur на u0 . Решением этого уравнения является вторая

функция (3.10), в которой также нужно заменить ur на u0 . Это

решение было получено ранее в работе [94]. Поэтому распределения окружных, радиальных и осевых напряжений описываются соотношениями (3.11) с коэффициентами (3.12) и равенством

(3.19), в которых нужно заменить σθθ на σ(θθ0) , σrr на σ(rr0) и σzz на σ(zz0) . Второе выражение (3.10) и формула (3.11) являются решением задачи Ламе для бесконечно длинного ортотропного

87

цилиндрического тела, находящегося под действием равномерного внутреннего и/или внешнего давления.

Решение системы дифференциальных уравнений (3.22) при i = 1 представим в виде суперпозиции:

u1 = u1 + u1* , v1 = v1 + v1*

общего решения соответствующих однородной u1 , v1 и одного из частных решений неоднородной системы:

Подстановка (3.24) в (3.22) позволяет записать систему алгебраических уравнений:

(3 − p2 )A − (2k 2 + p2 + 3)B = − γ ,

Grθ

решением которой являются неизвестные коэффициенты A и B. Определив эти коэффициенты, запишем искомое частное решение (3.24) в виде:

Решение однородной системы будем искать в виде обобщенных степенных рядов:

88

Подставив (3.26) в (3.22) и приравняв нулю коэффициен-

ты при r j+ν−2 , получим систему линейных алгебраических уравнений:

− (k 2 + 1)( j + ν ) + ( p2 + 1) a(ji) + ( j + ν )2 − ( p2 + 1) b(ji) = 0 ,

из решения которой определим характеристические числа ν и за-

напряжений, действующих в плоскости, перпендикулярной оси горизонтального цилиндра [27, 28, 32, 33, 99]:

89

Осевые напряжения σ(zz1) определяются формулой (3.19),

является показателем анизотропии для горизонтального осесимметричного тела, находящегося под действием равномерно распределенной нагрузки, имеющей вертикальную плоскость симметрии [27, 28, 32, 33, 99]. Обратим внимание на то, что в отличие от показателя n, определяемого формулой (3.9), β зависит от мо-

дуля сдвига в диаметральной плоскости. Эта зависимость является следствием появления сдвиговых деформаций, которые отсутствуют в случае, когда и нагрузка, и само тело обладают одной и той же осью симметрии. Для изотропного материала показатели анизотропии n и β принимают значения: n = 1 и β = 2 .

Коэффициенты, входящие в формулы (3.28) и (3.30), определяются следующим образом:

90