книги / Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил

11 = a2β (1+ α2 ) 7 − aβ−2bβ+ 2β 5 + b2β (1+ α1 ) 8 ,4 = K12α1β + K11 [2α1 (β − 1) − 2 + β] ,

8 = K12 [α2 (β + 2) + 2] − K11β ,

5 = K12 (α1 + α2 + 2α1α2 ) + K11 [2 + α1 (1− β) + α2 (1+ β)] ,

6 = K12α2β + K11 [2α2 (β + 1) + 2 + β],

7 = K12 [α1 (β − 2) − 2] − K11β ,

а постоянные интегрирования, входящие в (3.46), вычисляются по формулам:

и (3.48), не приводятся в виду громоздкости.

101

Для всех n >1 системы дифференциальных уравнений (3.22) будут иметь тривиальные решения ui = 0 и vi = 0 в силу

однородности граничных условий.

В частном случае, когда при определении напряженнодеформированного состояния можно пренебречь вкладом массо-

вых сил, из полученных уравнений (3.10), (3.11), (3.28), (3.30)

и(3.37) с постоянными интегрирования (3.14), (3.47) коэффицинтами (3.29), (3.32), (3.34) и показателем анизотропии (3.31) следует классическое аналитическое решение задачи Ламе о равновесии горизонтального ортотропного цилиндра, находящегося под действием равномерно распределенного внутреннего и внешнего давления [94]. Из этого решения для закрепленного по внешней поверхности цилиндра со свободной от нагрузок внутренней границей также следует очевидный тривиальный результат: рассматриваемое телобудетнаходитьсявненапряженном состоянии.

В качестве примеров, позволяющих продемонстрировать возможности полученного аналитического решения для оценки начальной прочности элементов конструкций, рассмотрим монолитные железобетонные крепь горизонтальной цилиндрической горной выработки и тяжелый горизонтальный бесконечно протяженный цилиндр. Особо тяжелый железобетон, из которого изготовлены крепь и цилиндр, будем предполагать ортотропным

с удельным весом γ = 40 кН/м3 и деформационными характерис-

На рис. 3.5 представлено распределение радиальных и окружных перемещений в поперечных сечениях железобетонной крепи цилиндрической горной выработки при pa = 0 МПа (правая

часть рисунка) и тяжелом горизонтальном железобетонном цилиндрическом теле с закрепленной внутренней поверхностью и pb = 0 МПа (левая часть рисунка) вдоль окружной и обезразме-

ренной радиальной ρ = (r − a)(b − a) координаты при следующих параметрахгеометриицилиндраикрепи: a = 3,0 ми b = 5,5 м.

102

а для железобетонного цилиндра – на внешней. Максимумы v лежат в горизонтальной плоскости, проходящей через ось симметрии конструкции и геологического сооружения.

Распределения u и v вдоль обезразмеренной радиальной координаты ρ имеют следующие закономерности: радиальные

перемещения точек верхнего свода монолитной крепи монотонно убывают, а нижнего свода – монотонно возрастают при переходе от закрепленной внешней поверхности к свободной от нагрузок внутренней (рис. 3.6). Окружные перемещения имеют точку минимума вблизи серединной поверхности при ρ = 0,55,

положение которой не зависит от выбора сечения при заданных геометрических размерах крепи, деформационных константах материала и характере приложенной нагрузки.

Радиальные перемещения u точек верхнего свода горизонтального бесконечно длинного железобетонного цилиндра также монотонно убывают, а нижнего свода – монотонно возрастают при изменении координаты ρ от внутренней закрепленной по-

верхности к свободной от давления внешней (см. рис. 3.6). Окружные перемещения v имеют при ρ = 0,75 независящую от

угла θ точку минимума.

Для описания механизмов частичной потери несущей способности, характерных для анизотропных материалов, как и ранее, будем использовать многокритериальный подход [20]. Поскольку инвариантными относительно ортогональных преобразований, допустимых над цилиндрическим ортотропным однородным телом, в главных осях анизотропии (совпадают с осями цилиндической ортогональной системы координат) являются сами отличные от нуля компоненты тензора напряжений σrr , σθθ , σzz и σrz [77, 85, 86, 87]. Сравнение значений

этих инвариантов в различных точках поперечных сечений, определенных из полученных аналитических решений, со своими критическими значениями может позволить провести оценку возможности потери несущей способности от растяже-

104

ния или сжатия в радиальном, меридиональном и осевом направлениях (описывается σrr , σθθ и σzz ) от поперечного

сдвига (описывается σrθ ) [20].

Рис. 3.6. Распределение напряжений в монолитной цилиндрической железобетонной крепи с закрепленной вдоль радиальной и окружной координаты

внешней поверхностью

На рис. 3.6 и 3.7 представлены распределения (по радиальной и окружной координате) напряжений в поперечных сечениях монолитной цилиндрической железобетонной крепи и горизонтальном бесконечно протяженном железобетонном цилиндре с закрепленными вдоль радиальной и окружной координаты внешней и внутренней поверхностью соответственно.

105

и деформационных свойствах сверхтяжелого бетона не зависит от значения меридиональной координаты. Обратим внимание на то, что универсальность указанной выше закономерности требует своего подтвержения при дополнительном исследовании.

Свои наибольшие по абсолютной величине значения осевые и окружные напряжения достигают в точках, принадлежащих вертикальной диаметральной плоскости ( θ = 0 ). Поэтому эти точки внешней поверхности верхнего и внутренней поверхности нижнего свода горизонтальной железобетонной крепи наиболее опасны из-за возможной потери несущей способности по механизму растяжения в осевом и окружном направлении, а в точках внутренней поверхности верхнего и внешней поверхности нижнего свода может быть инициировано разрушение от сжатия растяжения или сжатия в тех же направлениях.

Увеличение ρ при фиксированной окружной координате θ в пределах верхнего свода крепи приводит к монотонному росту радиальных напряжений σrr от нулевых (внутренняя по-

верхность) до максимальных (внешняя поверхность) положительных значений в точках. Эти напряжения монотонно убывают от нулевых до максимальных по абсолютной величине отрицательных значений при изменении радиальной координаты от свободной внутренней к закрепленной внешней поверхности в пределах нижнего свода. Поэтому наиболее опасными для возникновения областей материала крепи, не сопротивляющегося растяжению и сжатию в радиальном направлении, являются точки внешней жестко закрепленной поверхности крепи, принадлежащие верхнему и нижнему своду соответсвенно.

Обратим внимание на то, что в точках крепи, принадлежащих горизонтальной диаметральной плоскости ( θ = π2 ), отсуствуют все нормальные напряжения, а диаметральной плоскости при θ = 0 — касательные напряжения σrθ .

При заданном и неизменном значении радиальной координаты ρ касательные наряжения σrθ возрастают по мере увеличения угла θ в точках верхнего и убывают в точках нижнего

107

свода, достигая своих максимальных значений в горизонтальной диаметральной плоскости при θ = π2 . Кроме того, в радиальном направлении напряжения σrθ изменяются немонотонно. И на верхнем, и на нижнем своде σrθ имеют локальный минимум при ρ = 0,16 (рис. 3.6). Положение этих точек, а также расстояние

ρ= 0,32 , на котором располагается цилиндрическая поверхность

снулевыми касательными напряжениями, при заданных внутреннем и внешнем радиусе крепи и деформационных свойствах бетона не зависят от значения меридиональной координаты. Наи-

большие значения напряжения σrθ достигаются на внешней закрепленной поверхности железобетонной крепи, принадлежащих горизонтальной диаметральной плоскости ( θ = π2 ). Поэтому

в этих точках возможно появление области материала крепи, разрушенного по механизму поперечного сдвига.

На рис. 3.7 представлено распределение напряжений

впоперечных сечениях в тяжелом железобетонном горизонтальном цилиндре с закрепленной в направлении радиальной и окружной координат внутренней поверхностью. Как видим,

вотличие от монолитной железобетонной крепи касательные

напряжения σrθ всюду (за исключением вертикальной диамет-

ральной плоскости) монотонно убывают вдоль радиальной координаты от своих наибольших значений на внутренней закрепленной поверхности до нулевых величин на внешней, свободной от нагрузок ( pb = 0 МПа). Радиальные напряжения σrr

монотонно возрастают на верхнем своде и убывают на нижнем, принимая нулевые значения в горизонтальной диаметральной плоскости и на внешней незакрепленной поверхности железобетонного цилиндра.

Следовательно, с точки зрения появления разрушения по механизмам поперечного сдвига наиболее опасными являются точки внутренней поверхности цилиндра, принадлежащие гори-

108

зонтальной диаметральной плоскости ( θ = π2 ). Появление пер-

вых повреждений от растяжения и сжатия в радиальном направлении возможно в точках вверхнего и нижнего свода, оновременно принадлежащих внутренней закрепленной поверхности и вертикальной диаметральной плоскости ( θ = 0 ).

Окружные и осевые напряжения имеют точки локальных максимумов на верхнем и нижнем своде, положение которых не зависит от выбора сечения, определяется значениями радиальной координаты ρ = 0,46 и ρ = 0,68 соответственно (рис. 3.7).

Полученные результаты свидетельствуют, что наиболее опасными для частичной потери несущей способности от сжатия в окружном и осевом направлении являются точки внутренней поверхности верхнего свода горизонтального железобетонного цилиндра. Однако появление первых повреждений от растяжения в тех же самых направлениях будет иметь место на цилиндрических поверхностях нижнего сводя, которые находятся на расстояниях ρ = 0,46 и ρ = 0,68 от оси симметрии. Необходимо

отметить, что расположение этих поверхностей при заданных внутреннем и внешнем радиусе крепи и упругих свойствах материала, из которого изготовлен цилиндр, не зависят от значения θ.

Следует также обратить внимание на то, что полученные распределения напряжений в точках поперечного сечения монолитной железобетонной крепи горизонтальной цилиндрической горной выработки качественно соответствуют экспериментальным результатам исследования напряженного состояния подземных цилиндрических сооружений методами фотоупругости, приведенным в [69]. Эти экспериментальные результаты свидетельствуют о том, что распределение радиальных и окружных напряжений на контуре круглой выработки носит неравномерный характер. Максимальные значения достигаются на верхнем и нижнем сводах выработки в вертикальной диаметральной плоскости, а в горизонтальной центральной плоскости эти значения минимальны.

109

Таким образом, важность результатов заключается в том, что они могут быть применимы при уточненном анализе напря- женно-деформированного состояния массивных элементов конструкций (обделки туннелей, пульпопроводы и реагентопроводы химических производств, контейнеры для транспортировки высокоагрессивных реакционно-способных жидкостей), что является основой для прочностного анализа и оптимального проектирования этих конструкций.

3.4.ТОЧНОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

ОРАВНОВЕСИИ ТЯЖЕЛОГО БЕСКОНЕЧНО ПРОТЯЖЕННОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ОРТОТРОПНОГО ЦИЛИНДРА,

НАХОДЯЩЕГОСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕРАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО БОКОВОГО ДАВЛЕНИЯ

Рассмотрим равновесие тяжелого горизонтального толстостенного ортотропного цилиндрического тела, которое находится под действием неравномерно распределенного давления, заданного на внешней боковой поверхности (рис. 3.8). Как

ипрежде, в силу бесконечной протяженности тела радиальные u и окружные v перемещения, радиальные σrr , окружные σθθ

иосевые σzz нормальные напряжения, радиальные εrr и окружные εθθ деформации, касательные напряжения σrθ и сдвиговые деформации εrθ не зависят от осевой координаты z.

Действующее на внешнюю поверхность тяжелого цилиндра неравномерное давление, которое задается функцией R(θ) ,

симметричной относительно вертикальной центральной плоскости, может моделировать реакцию основания, например сыпучего грунта. Если предположить, что тяжелое ортотропное цилиндрическое тело на половину внешнего диаметра закопано в грунт, то на закон распределения R(θ) должны накладывают-

ся следующие ограничения [31, 32]:

110