Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

9.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

При изменении радиальной координаты от свободной внутренней к закрепленной внешней поверхности второй инва-

риант JσII всюду монотонно возрастает, а в нижней – всюду монотонно убывает. Поскольку свои наибольшие по абсолютной величине значения JσI и JσII достигают в точках, лежащих на

центральной вертикальной оси, эти точки наиболее опасны для инициирования разрушения крепи от растяжения или сжатия в окружном и радиальном направлении.

	ˆ(•)	(МПа) в характерных сечениях
Рис. 1.3. Распределение Jσ
монолитной железобетонной крепи: 1 −			= 0,5 , 2 −	= 0,6 ,
3 −	= 0,7 , 4 −	= 0,8 , 5 −	= 0,9
Третий инвариант JσIII		во всех точках равен нулю. По-
следнее связано с тем, что σϕθ ≡ 0 , а при n = 0 и				n = 1 имеет
место равенство	окружных	и меридиональных		напряжений

σϕϕ = σθθ . Четвертый инвариант JσIV равен нулю в точках, расположенных на вертикальной центральной оси. При заданном и неизменном значении ρ инвариант JσIV возрастает по мере

увеличения угла θ в точках верхнего и убывает в точках нижнего свода, достигая своего максимума в горизонтальной диаметральной плоскости ( θ = π2 ). Кроме того, в радиальном направ-

лении JσIV монотонно возрастает, принимая свои наибольшие величины на внешней закрепленной поверхности. Поэтому

вэтих точках, принадлежащих диаметральной плоскости (при

θ= π2 ), возможно появление области материала крепи, разру-

шенного по механизму межслойного сдвига.

На рис. 1.3 показано влияние толщины сферы = ρ1 ρ2 на характер распределения ненулевых обезразмеренных инвари-

антов	ˆ(•)	(•)	(γρ1 ) тензора напряжений вдоль радиальной
	Jσ	= Jσ

координаты ρ , показавшее, что с увеличением толщины сферы (т.е. с уменьшением ) увеличивается наклон кривых и возрастают (по абсолютной величине) значения Jσ(•) в точках закрепления. Кроме того, во всех точках сферы наблюдается возрастание абсолютных значений первого инварианта JσI при увеличении ее толщины.

1.3. РАВНОВЕСИЕ УПРУГИХ ТЯЖЕЛЫХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ И ИЗОТРОПНОЙ СФЕР С ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННЫМИ ВНУТРЕННИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ, НАХОДЯЩИХСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНОГО ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ

Равновесие толстостенной тяжелой трансверсально-изо- тропной сферы обеспечивается жестким закреплением внутренней поверхности радиуса ρ1 и действием равномерного давления p на внешней поверхности, которая ограничена радиусом ρ2 (левая часть сферы см. на рис. 1.1).

Граничные условия:

uρ	ρ=ρ	= 0 , uθ	ρ=ρ	= 0 , τρθ	ρ=ρ		= 0 , σρ	ρ=ρ	= − p (1.28)

		1				2			2
	1

не нарушают осевой симметрии задачи, поэтому, применяя изложенный в параграфе 1.1 метод, запишем выражения для радиального uρ и меридионального uθ перемещений в виде рядов

(1.8) и, воспользовавшись разложением граничных условий (1.28) в ряды по полиномам Лежандра Pn (cosθ) , определим по-

стоянные интегрирования общего решения систем дифференциальных уравнений (1.9) для всех членов ряда.

Входящие в уравнение (1.11) константы интегрирования при n = 0 определяются в виде:

	C			= 2	p	ρ2k ρ3		2+k , C			= −2		p	ρ3	2+k ,	(1.29)
	C			= 2		ρ2k ρ3		2+k , C	2		= −2			ρ3	2+k ,	(1.29)
		1				1	2		2	0				2
			0		K					0			K
					K								K
K = A		(2k + 1) − 4A ρ2k + A										(2k − 1)			+ 4A ρ2k ,
11							12	1			11				12	2

при n = 1 константы из (1.19) находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений [37]:

								C2														ρ−1 2+t											ρ−1 2−t										ρ2
		x C		+ x							1	+ x C													+ x C						4							= −H						, (1.30)
		x C		+ x								+ x C													+ x C													= −H						, (1.30)
		1 1			2				ρ1						3 3							1				4							1									ρ 1
			1																	1												1

							2C					2A								(x + 1) − A x ρ1 2+t +
											21							12				2					11 2							2
				+C							4A				(x						+ 1) + A x							(2t					−	1)			ρ1+ 2t				+
						31					12							3							11 3													2
				+C					41		4A							(x + 1) − A x												(2t + 1) ρ									2	=
									41				12							4					11			4											2
						= −4 H								ρ			( A					+	A		) + H					θ		A			ρ7 2+t ,
														ρ						11				12						θ			12			2
2C		(x + 1)ρ3 2+t									+ 2C					2			(x + 2)						ρ1 2+t + C										(2x − 2t + 3)ρ1+2t +
1		1			2											2						2			2								3					3						2
	1																								= 2(H									1			)
				+C		4			(2x + 2t + 3)														ρ	2	= 2(H							θ	− H			ρ	)	ρ7 2+t ,
						4					4													2								θ				ρ		2
							1
							+			C2			+ C								ρ−1 2+t				+ C				ρ−1 2−t = −H												ρ2
				C							1															4														θ			,
				C																																							,
				1						ρ								3				1									1										1
					1					ρ									1								1
											1

и записываются выражениями (1.23), в которых необходимо провести замену ρ1 на ρ2 и ρ2 на ρ1 . При всех n > 1 будем иметь тривиальные решения систем дифференциальных уравнений (1.9) uρn = 0 и uθn = 0 в силу однородности граничных условий.

Подставляя уравнения (1.11) и (1.19) в геометрические соотношения (1.5), получим компоненты тензора деформации

[37]:

= −

(1+ 2k )ρ−3 2−k + C

(1− 2k )ρ−3 2+k +

ρρ

+ (1− 2t) x C

ρ−3 2+t + (1

+ 2t) x C

ρ−3 2−t −

cosθ

ρ2

φφ

= ε

θθ

= C ρ−3 2−k + C ρ−3 2+k

+ x )

C21

+ (1+ x )C ρ−3 2+t + (1

+ x

)C ρ−3 2−t + (H

+ H

)ρ cosθ,

ρ2

ε		= −	1		(2	+ x		)	C2	+	3	+ x − t							ρ−3 2+t +
	ρθ								1								C
																	C
			2				2		ρ2		2			3			3
			2						ρ2		2							1
+		3 + x		+ t		C	41	ρ−3 2−t + (H					ρ	− H	θ	)ρ		sin θ.
		2	4				41						ρ		θ
		2

Затем из определяющих уравнений (1.3) найдем компоненты тензора напряжений в виде (1.27) с предварительно вычисленными коэффициентами и константами интегрирования из

(1.12), (1.17), (1.18), (1.20), (1.29) и (1.30).

Если отсутствует внешнее давление, то граничные условия при n = 0 однородны. Поэтому uρ0 = 0, и решение (1.8) за-

дачи о равновесии тяжелой трансверсально-изотропной сферы с закрепленной внутренней поверхностью и свободной от нагрузок внешней может быть записано в виде (1.26). Все множители при тригонометрических функциях и постоянные интегрирования определяются из выражений (1.19) с коэффициентами

(1.17), (1.18) и (1.20) и уравнений (1.30).

Результат подстановки материальных констант (1.13) в уравнения (1.4), формулы (1.29) и найденные из решения системы алгебраических уравнений (1.30) постоянные интегрирования позволяет записать новое решение задачи о равновесии толстостенной тяжелой изотропной сферы с жестко закрепленной внутренней поверхностью, находящейся под действием внешнего давления р, выражениями (1.24) с константами, определяемыми следующим образом [37]:

3 3

1− ν− 2ν2

= − pρ

= pρ ρ

K =

(1.31)

2(1− 2ν)ρ3 + (1+ ν)ρ3

γ(ν + 1)

C11 =

3NMρ

18ρ1

(2ν

− 3ν+ 1)

− 2ρ2 (6ν

+ ν

− 5)−

−ρ13ρ52 (6ν2 + ν− 2)+ 9ρ15ρ32 (8ν2 − 12ν+ 5)

= −ρ32

(4ν2 + ν− 3),

= ρ2ρ5

γ(1+ ν)

2ρ3

(2ν− 1) − ρ3

(1+ ν)

3NM

C3 =

γ(2ν − 3)

2ρ15

(3ν2 − 4ν+ 1)− ρ52 (ν2 + ν)+ ρ12ρ32 (1+ ν)

где N = 6E (ν− 1)

и M = 2(3ν− 2)

ρ5 −

(

ν+ 1)ρ5 .

Полученные соотношения позволяют записать выражения

для деформаций [37]:

ρρ

= C

− 2

2x C

ρ − x

− 6

+ 2H

cos

θ,

3 3

εϕϕ = εθθ

= C2

C10

ρ3

(1+ x

)

+ (1

+ x

)C ρ +

+ (H

+ H

)ρ

cosθ,

ρ2

ρ4

= − 1

(2 + x

)

+ (x

− 1)C

ρ + 6

+ (H

− H

)ρ

sin θ

ρθ

ρ2

ρ4

и напряжений [37]:

σρρ = C20 (2A12 + A11 ) +

+ x

)

+ (1+ x )C

ρ +

+ (H

+ H

)ρ

−

ρ2

ρ4

− A

− 2x C

ρ + 6

−

cosθ + 2( A

−

)

ρ2

3 3

ρ4

ρ3

ϕϕ

= σ

θθ

= (

+ A − 2A

)

C10

+ C

( A

) +

)ρ

+ ( A

+ A

)

(1+ x

)

(1+ x

ρ +

+ H

−

ρ2

ρ4

− A

− 2x C

ρ +

− 2H

cosθ ,

ρ2

ρ4

τ = − A

+ x

)

+ (x

− 1)C ρ + 6

+ (H

− H

)ρ

sin θ

ρθ

ρ2

ρ4

где x2 = 4(1− ν )(4ν − 3) , x3 = (4ν −1)(2ν − 3) , Hρ = γ (1− ν)(3E и Hθ = − 2γν(3E ).

)

На основе полученного точного аналитического решения (1.24) и (1.31) можно проанализировать распределение независимых инвариантов тензора напряжений в тяжелой трансвер- сально-изотропной сфере (окружающем сферические горные выработки массиве «мягких» осадочных пород, подкрепленном недеформируемой крепью, которая моделируется жестким закреплением на внутренней поверхности) вдоль радиальной ко-

ординаты при заданной меридиональной, а также вдоль меридиональной линии при фиксированном радиусе.

На рис. 1.4 представлены распределения ненулевых независимых инвариантов тензора напряжений в тяжелой мраморной сфере, закрепленной по внутренней поверхности, вдоль и обезразмеренной радиальной ρ = (ρ − ρ1 )(ρ2 − ρ1 ) и меридио-

нальной координаты при следующих параметрах геометрии иматериальных констан тах: ρ1 = 3,0 м, ρ2 = 6,0 м; E = 55,0 ГПа,

E = 23,0 ГПа, G = 29,0 ГПа, ν = 0,29, ν = 0,32 и γ = 2,7 г/см3 .

Рис. 1.4. Распределение независимых инвариантов тензора напряжений (КПа) на свободной от нагрузок внешней ( Jσ(•)Ex ),

жестко закрепленной внутренней ( Jσ(•)In ) и серединной ( Jσ(•)Mid ) поверхностях

Только первый инвариант тензора напряжений JσI является

ненулевым на внешней свободной от нагрузок поверхности сферы (на этой границе давление p = 0 МПа). Этот инвариант вверхней

полусфере всюду возрастает вдоль радиальной координаты, а в нижней – всюду убывает. Второй инвариант JσII демонстрирует

немонотонное поведение: в верхней полусфере возрастает при 0,00 ≤ ρ ≤ 0,25 и убывает, если 0,25 ≤ ρ ≤ 1,00 , а в нижней полу-

сфере – в интервалах 0,25 ≤ ρ ≤ 1,00 и 0,00 ≤ ρ ≤ 0,25 соответст-

венно. Обнаруживает себя требующее дополнительного исследования постоянство (не зависящее от значения меридиональной ко-

ординаты θ ) расположения точки минимума для JσII в верхней полусфере и максимум– в нижней при ρ = 0,25 (при заданных геометрии сферыи деформационных свойствах мрамора).

В горизонтальной диаметральной плоскости JσI и JσII при-

нимают нулевые значения, а наибольших по абсолютной величине значений первый и второй инварианты достигают в точках, лежащих на вертикальной центральной оси. Эти точки наиболее опасны при реализации механизмов разрушения сферы от растяжения или сжатия в окружном и радиальном направлении.

Третий инвариант JσIII во всех точках тяжелой сферы равен нулю. Четвертый инвариант JσIV принимает нулевые значения

в точках, расположенных на вертикальной диаметральной оси, возрастает по мере увеличения угла θ в верхней полусфере и убывает в нижней, достигая максимума при заданной и неизменной координате ρ в горизонтальной диаметральной плоскости.

В радиальном направлении JσIV монотонно убывает с максималь-

ных значений на внутренней закрепленной поверхности до нуля на внешней свободной от нагрузок границе. Поэтому точки внутренней закрепленной поверхности при θ = π2, принадлежащие

горизонтальной диаметральной плоскости, наиболее опасны для начала разрушения сферы по механизму межслойного сдвига.

Рис. 1.5. Распределения	ˆ(•)	(МПа) в характерных сечениях
	Jσ

толстостенной железобетонной сферы:

1 − δ = 0,5 , 2 − δ = 0,6 , 3 − δ = 0,7 , 4 − δ = 0,8 , 5 − δ = 0,9

На рис. 1.5 показано влияние толщины сферы δ = ρ1 ρ2 на характер распределения ненулевых обезразмеренных инва-

риантов тензора напряжений	ˆ(•)	(•)	(γρ1 ) вдоль радиаль-
	Jσ	= Jσ
ной координаты ρ . С ростом	δ увеличивается наклон кривых

и возрастают (по абсолютной величине) значения всех ненулевых инвариантов в точках закрепления. Кроме того, расстояние, на котором происходит смена знака первого инвариан-

та JσI , смещается к внутренней закрепленной поверхности при

увеличении толщины сферы [37].

На рис. 1.6 проиллюстрировано изменение свободных от закрепления поверхностей (внутренней – справа и внешней –

слева) тяжелой мраморной сферы ( E = 55,0 ГПа, E = 23,0 ГПа, G = 29,0 ГПа, ν = 0,29 , ν = 0,32 и γ = 2,7 г/см3 ) при заданных

равномерных избыточных (превосходящих атмосферное) давлениях p = 0 МПа и p = 5 МПа и геометрических параметрах

ρ1 = 3,0 м, ρ2 = 6,0 м.

Как видим, при заданных размерах и деформационных константах материала в случае отсутствия давления перемеще-

ния точек свободной поверхности в верхней полусфере отрицательные, в нижней полусфере изменяют знак на расстояниях 0,42 м (если закреплена внутренняя) и 0,17 м (если закреплена внешняя поверхность) от горизонтальной диаметральной плоскости. Обратим внимание на то, что под действием равномерного давления p = 5 МПа каждая точка внутренней или внешней

незакрепленной поверхности получает дополнительное однородно распределенное радиальное перемещение.

Рис. 1.6. Перемещения (м) точек свободной поверхности тяжелой сферы

В другом частном случае, когда при определении напряжен- но-деформированного состояния можно пренебречь вкладом массовых сил, из полученных уравнений следует классическое аналитическое решение задачи Ламе для трансверсально-изотропной сферы [56, 113]. Из этого решения для закрепленной по внешней поверхности трансверсально-изотропной сферы со свободной от нагрузок внутренней границей следует тривиальный результат: рассматриваемоетелонаходитсявненапряженномсостоянии.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20234.17 Mб0Работа с базой данных ProQuest Dissertations & Theses Global..pdf
#
12.11.20233.82 Mб1Работа с ресурсами портала гуманитарного факультета рекомендации по созданию электронного курса..pdf
#
12.11.20231.84 Mб4Работа с электронным тахеометром GTS-105N..pdf
#
12.11.20231.4 Mб3Работа с электронными таблицами EXCEL..pdf
#
12.11.20236.76 Mб1Работы по термодинамике и кинетике химических процессов..pdf
#
12.11.20239.57 Mб2Равновесие анизотропных полых сферических и цилиндрических тел под действием массовых сил..pdf
#
19.11.202327.73 Mб1Равновесие и кинетика реакций в растворах..pdf
#
12.11.202321.62 Mб13Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1].pdf
#
12.11.202311.74 Mб4Радиолокационные системы..pdf
#
12.11.202315.75 Mб22Радиопередающие устройства..pdf
#
20.11.202322.05 Mб11Радиоприемные устройства.-1.pdf