книги / Машинный анализ и моделирование электрических цепей
..pdf
|
AX{t) +K V ( t ) * P F ( t ) , |
(1) |
y |
0 X (t) * * |
систе |
где Ait?, |
----- /^-мерные матрицы-столбцы координат |
|
мы и их производных; А — квадратная матрица порядка |
л по |
|
стоянных вещественных коэффициентов или заданных функций независимой переменной (параметров объекта управления);
V( t ) - П -мерная матрица-столбец управляющих воздействий; F ( t ) - матрица-столбец размера X внешних возмущений (случайная функция); А к Р - матрицы постоянных веществен ных коэффициентов размеров пт и пМ соответственно (пара метры управляющего устройства и внешних возмущений); t - время (независимая переменная).
Уравнению (1 ) соответствует математическая модель объекта миогосвязного управления (рис, 1), поведение которо-
го характеризуется линейным уравнением как по переменным, состояния, так и по управлениям. Эта, схема представлена в виде нескольких каналов автоматического управления с разя» ными выходными величинами, связанных друг с другом пере крестными связями и имеющих один выход и несколько входа Здесь матрицы связей i.o управляемым координатам и по уп равляющим воздействиям полные (квадратная и прямоугольна Таким образом, каждый элемент этих матриц характеризует способ введения элементарных звеньев и отдельных каналов управления в сложную многосвязную систему управления.
Используя известное линейное матричное преобразование
|
Y ( t ) = СХ ( t ) , |
|
(2) |
||
приведем уравнение ( 1 ) к коагулированной форме |
|
||||
d Y (t) |
|
|
|
(3 J |
|
|
B Y ( t ) + M V ( t > + B F ( t ) , |
|
|||
где Y ( f ) и « M J |
- матрица-столбец |
размера tf |
новых иск» |
||
мых переменных и их производных; В |
- коагулированная ма |
||||
трица параметров |
объекта; М -G K ; G=GP; G - квадратная ма |
||||
трица преобразования порядка |
я |
. Предполагается, |
что матри |
||
ца G невырождена |
( dâtG FO |
и |
X i t |
гС~~ обратная ма |
|
трица), |
|
|
|
|
|
В. уравнении |
(3 ) |
|
|
|
|
В= G A G 1
Вматричном преобразовании уравнения (1 ) в уравнение
(3 ) |
выбираем матрицу G |
так, чтобы коагулированная матриШ |
|||
В |
имела квазидиагональный (канонический) вид |
||||
|
= [ £ l , ( p , ) ......£ F (t ) . |
(Я |
|
||
Здесь p i , Yè |
=1,2,...j n |
- собственные |
значения матрицы A\ |
||
£ |
- единичная |
матрица. |
|
|
|
|
Рассмотрим следующие случаи: |
1 ) |
собственные значения |
||
матрицы А различные, вещественные, комплексные (среди ни* могут' быть и кратные, которым отвечают простые элемента^ ные делители); 2) собственные значения матрицы А вещест венные, комплексные, кратные, которым отвечают элементар ные делители выше первого порядка.
В первом случае |
коагулированная |
матрица В приобретав |
ет чисто диагонааьную |
(каноническую) |
форму, обозначаемую |
102
матрицей Рд , диагональными элементами которой являются собственные значения матрицы А
"я
где â ji - символ |
Кронекера. |
|
|
|
|
Решая матричное уравнение (4 ) с учетом зависимости |
|||||
элементов матрицы |
А |
от ее |
собственных значений, |
îftxo- |
|
дим матрицу преобразования |
См , C'y s i |
элемент которой |
|||
рассчитывается по формуле |
|
|
|
||
г |
_ |
tf~t |
tPfi>JtУ3— |
(б) |
|
|
|
|
|||
. Математическая модель многосвязного по управлению объекта (каноническая структура), полученная на аналогово) вычислительной машине, показана на рис. 2. Такие системы автоматического управления с объектами, поведение которых описывается уравнением (3 ) при ВяРд , обеспечивают пере* дачу воздействий.с нескольких взаимосвязанных входов на один вьуеод. Здесь нет. прямых взаимных связей по управляе мым координатам. Матрица этих связей чисто диагональная, д изменение управляемых координат ^ t P'1 =*1,2г.,.,л в однок канале управления не оказывает влияния на другие каналы.
Во втором случае коагулирование матрица В приобретав
квазидиагональную форму, |
обозначаемую |
р Кд |
и имеющую Hq |
||
мальную жорданову форму |
7 [E & W |
f y i]* |
* 5 КОТОРОЙ,ПО |
||
главной диагонали стоят жордановые клетки |
( P f ) > ^ь2(Pi\ |
||||
•••I |
|
Ejf (р „), |
к* п ^ а |
остальные элементы |
|
матрицы |
Р^ц |
равны нулю. Число жордановых клеток к рам |
|||
числу различных элементарных делителей. Каждая клетка |
|||||
( P i ) , |
**/t2 |
П |
представляет |
собой |
квадратную ма |
трицу, порядок которой равен степени d элементарного дели*
теля ( р - p i |
отвечающего |
кратному собственному |
значе |
||||
нию матрицы APi , |
V |
|
, а именно; |
|
|||
Pi |
1 |
|
0 |
0 |
o' |
|
|
0 |
•Pi |
|
1 |
0 |
0 |
it |
|
0 |
0 |
|
Pi |
0 |
0 |
(7) |
|
• |
0 |
|
|
|
|||
0 |
|
0 |
Pi |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
d |
|
|
|
|
|
|
|
Pi\ |
|
|
шш |
d |
сп и м й ц о б |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
\Pi |
|
0 |
0 |
0 |
0' |
|
|
d |
1 |
Pi |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
1 |
Pi |
0 |
0 |
(8I |
|
‘2k i ‘ - |
|
|
|
• |
|
t |
|
|
0 |
0 |
0 |
Pi |
0 |
|
|
.0 |
0 |
Û |
i |
0. |
|
||
Если некоторому собственному значению матрицы А о т Вечает Несколько элементарных делителей, то соответствую щее число клеток в жордановой форме имеет на главной диа гонали один и тот же элемент. Элементарным делителям пер-
вой степени (первый случай) отвечают клетки первого поряд.
кв| т.6, матрицы (7 ) |
и (8 ) имеют чисто диагональный вид |
||
матрицы |
Рд . |
|
|
Решай матричное уравнение (4 ), находим матрицы прей |
|||
раэоваНия |
Gщ кд и |
СК£КД |
для одной жордановой клетки |
вида (7 ) и матрицы |
и |
G ^ KA для одной жордановов |
|
клетки вида (8 ), элементами которых являются |
|||
c.Klsï * 0 |
t S < 1 : |
|
|
или
P KHI |
О , s < i ; |
|
|
|
|
|
CK H I |
|
|
|
|
|
|
|
’ * * ? ? '* e * - '’ 3 r l - |
|
l - W , ■■■,* |
<1(l |
||
GKZel - 0 ; |
s = d - ]i l* * j+ (* i j = |
0, I , 2 ,...,d -< *; a = 2,3, |
|
|||
em i = 1; |
s = d - j ; |
l =>/+(*; j - |
0, 1,2,..., d -7 ; |
|
||
вк |
Ы |
%ki?d -t ^Pi’ Pj |
PK ^> S -d~J > |
(U 1 |
||
/ - / V |
o r ; j=f-<x,2-<*,...,d-f; a-0, -1,-2,...,-*+2, |
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
GKUI*0; s~d~Jl-j+a ;j=0,1,2,- >d'<*; tx=2,3,...,d; |
|
|||||
BK2$l~^ * s=d-j,jt1; j = 0,1,2,...,d-1/ |
|
|||||
h u t ~ t ~ n P t |
Cd-1 •' S = d - J ; |
i =J +<*; |
( 1 * |
|||
|
||||||
j =f- ( x, 2- ar , . |
. . d, -1 ; a~o,-7,'2,...,-d+2, |
|
||||
где p j , Ÿ i = 1, 2 |
, d — |
/-.кратное значение |
матрицы A >jrj |
торому отвечает |
элементарный делитель У - г о |
порядка; С^,\ |
|
количество сочетаний из |
(/ - 1 ) элементов по ( d ~1 ) члена0. |
||
107
г , |
2 , |
h |
|
l//t)
ya(t)
Ркс.4,
Приведены аналоговые модели линейного многосвязноц объекта управления (каноническая квазидиагональная струит; ра), поведение которого описывается уравнением (3 ) при
В » Р/(д |
(для |
одной жордановой клетки |
( р ( )) (рис. 3,1 |
||
Здесь помимо взаимной связи между |
Ь управляющими возд |
||||
ствиямн |
У- t |
ÿ g * J Ь |
налицо каскадное соединение |
||
инерционных звеньев (каналов |
управления), |
начиная с поел» |
|||
него (рис. 3) |
или первого (рис, 4 ). |
На рис. |
3 обозначено: |
||
T f ~ |
-j— • |
|
|
|
|
М етрик |
(5) можно упростить, |
применив к ней левые i |
|||
правые элементарные операции. .В этом случае она приобра
ет простой |
(треугольный) |
вид матриц Суд |
и Сур, |
С у j , |
|||
элемент которых равен |
|
|
|
|
|||
л |
. ! |
|
|
|
|
|
|
P |
'n Pi |
|
|
|
|
(i |
|
7УЛз1 . |
ы |
|
s < l y |
|
|
||
|
|
|
|
||||
$ |
(P i - fis ) |
|
|
|
|
||
•U si sf , |
s - l ; |
|
|
|
|
|
|
ЧШ 1 S 0 , 8 > 1 ; |
Vs =* |
; |
l ** 1,2, ...,л |
, |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
h r si “ "7 --------------- |
e> i |
; |
|
(K |
|||
П |
(рщ ~ Dt) |
|
|
|
|
||
i-s+t. |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
Gyyyj **P i $ < 11 |
|
|
% 'a tг21•••f/t• |
|
|||
Очевидно, что перемножив |
матрицы Сур и Суд |
соответ* |
|||||
венно на матрицы |
(*к1КД |
и |
^ К2КД |
получим |
матриц |
||
преобразования |
См . |
|
|
|
|
||
В.И.Борщ, В.Ф.Титенко
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМА''.
ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ
Минимальное время установления требуемого значения разности фаз (быстродействие) определяет работу системы
фазовой автоподстройки |
частоты (Ф А П Ч ), например, для сис |
тем, цепь регулирования |
которых содержит инерционные |
звенья (управитель, фильтр низких частот).
Интересно определить форму характеристики фазового дискриминатора системы ФАПЧ и пути целенаправленного ее изменения, которые позволили бы установить заданное фазо вое соотношение в кратчайший срок,
В данной работе трудности анализа оптимальных по быст* родействию систем ФАПЧ преодолеваются с помощью методов эквивалентных преобразований их математических моделей. Благодаря такому подходу найдено решение задачи в общем виде для систем высокого порядка и разработана инженерная методика их исследования. Применение управляемого фазового
детектора (Ф Д ) |
позволило без уменьшения фильтрующих спо-; |
||||||||||||
собноетей системы компенсировать не только инерционность |
|||||||||||||
управителя, но и инерционность фильтра |
низких частот |
(Ф Н Ч ). |
|||||||||||
|
Математической моделью непрерывной однопетлевой типо |
||||||||||||
вой системы ФАПЧ (объекта |
регулирования) служит нес |
гарод- |
|||||||||||
ное дифференциальное |
уравнение |
вида |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
/ |
d<P(t) |
q |
в м |
- £ |
я £ Ш |
, |
|
|
|
( 1) |
|
|
|
A ( f ) |
d t |
Ч |
|
|
A ( t ) |
|
|
|
|
|
|
где |
tp( t ) - ошибка |
системы; |
|
|
|
|
(pn2 ( t ) ; |
|
|||||
фаза эталонного |
генератора |
(Э Г ) (задающее воздействие), |
* |
||||||||||
|
фаза подстраиваемого |
генератора (П Г) |
(регулируе |
||||||||||
мая величина); |
к e t ) |
- |
нелинейный коэффициент передачи |
|
|||||||||
ФНЧ |
(инерционность управителя); |
sу |
— крутизна характерис |
||||||||||
тики управителя; U ( t y |
- мгновенное напряжение |
на входе |
уп |
||||||||||
равителя (регулирующее |
воздействие); |
Л н C f |
( t ) J |
- |
началь- |
||||||||
лая. расстройка ПГ относительно |
ЭГ |
(внешнее возмущение); |
|||||
f f t ) |
“ дестабилизирующие факторы, |
обусловливающие неста |
|||||
бильность частоты (фазы) ПГ; f |
- |
время (независимая |
пере, |
||||
менная). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если коэффициент передачи ФНЧ линейный, уравнение (I |
||||||
запишется в вида. |
|
|
|
|
|
||
I д, |
|
= I t n |
|
"2 л . |
d JZ ( t ) |
( 2) |
|
|
|
|
, d„ = 1, m ^ n , |
||||
i=] |
d t * |
а-0 |
d t У |
j =0 * |
d t J |
|
|
где |
Z ( t ) |
~ M H [ |
|
|
- |
постоянные коэффициенты |
|
(параметры системы). |
|
|
|
|
|||
|
Напряжение и его производные, подаваемые на управи |
||||||
тель, ограничены и зависят от максимального напряжения на выходе фазового детектора и формы его характеристик и от величины раствора характеристики регулирования управителя. В дальнейшем учтем следующие ограничения:
регулирующее воздействие |
|
||
Уцин |
Оуяко > |
W |
|
скорость его изменения |
(инерционность) |
|
|
d # (t ) |
|
(4I |
|
UA1UH’€ d t |
* ^'макс * |
||
|
|||
где Ущкс н UШН ~ максимальное и минимальное допустимы* |
|||
отклонения регулирующего воздействия; 0иаКС и dMUff - |
макс» |
||
мальная и минимальная скорости изменения регулирующего воздейстиия.
Сформулируем задачу анализа оптимальных по быстроде! ствию режимов переходных процессов в системе ФАПЧ: сред! всех допустимых регулирующих' воздействий u ( t ) , с помощь' которых можно достичь определенных фазовых соотношений переходных или кызипериодических процессов,, найти такое, при котором эта цель достигается за кратчайшее время, т.е. для каждого функционала
; *о
принимает наименьшее значение.
Будем считать задачу полностью решенной, если удастс* рассчитать длительность оптимального переходного ’процесса и определить его характер, ц о