книги / Машинный анализ и моделирование электрических цепей

Если известны законы распределения модуля (26) и фазы (27) поляризационного отношения, то можно определить Среднее значение и дисперсию модуля

a также среднее значение и дисперсию фазы поляризационного отношения

экспериментально результатов), хотя достаточно Лишь знания корреляционных функций этих величин, можно, используя полу­

1. Фейнберг Ё.Л. Распространениерадиоволн вдоль зёмноЙ по­ верхности, - М.: Изд-во АН СССР, 1961, - 6 39 с.

2.Ландау Л .Д ,. Лифшкц Е.М. Электродинамика сплошных, сред.- М.: Изд-во фиэ.-мат.лит-ры, 195Ô. - 390 с.

3.Левин Б.Р, Теоретические основы статистической радиотех­

ники. - М.: Сов.радио, 1974, т. 1. - 550 с.

4. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, ]эядов и произведений. - М.: Изд-во физ,-мат,лит-ры, 1963.-

УДК 518:517.01/84

В.С.Годлевский, Н.П.Хазанкина

ЭКСПОНЕНЦИАДЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ

.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

К рещению систем линейных дифференциальных уравнен#!

сводятся задачи расчета линейных электронных схем, систем с распределенными , параметрами и т.д.

Если исходная система ( 1 ) является жёсткой /17, т.е. значения модулей собственных чисел матрицы А имеют боль­ шой разброс,, то численное решение ( 1 ) связано с известным! трудностями, которые заключаются в том, что при решении жестких систем явными методами / 1 7 для обеспечения устой­ чивости решения требуется малый шаг интегрирования, имею­ щий порядок величины, обратной максимальному модулю собст ведных чисел. При решении же (1 ) неявными методами, неко­ торые из которых являются абсолютно устойчивыми й поэтому допускают большой шаг интегрирования, требуется обращать

ми методами.

В данном сообщении рассматривается развитие экспонеН" цнального метода [ 2J для решения уравнений (1 ), -Предлагав'

МЫЙ метод сильно устойчив к позволяет решать (1 ) с сущест72

венно большим шагом по сравнению с явными методами (на­

соба вычисления матричной, экспоненты и всего интеграла в

(3). Заметим, что выбрать матрицу S и способ вычисления или аппроксимации матричной экспоненты и интеграла в (3) можно различными путями. Так, например, если матрица 3 ЯРЛЯётся не диагональной или специального вида» то матрич­

югея методы типа явных (степенного, Руцре - Кутта, Адамса) или неявных.

Далее рассмотрим случай, когда в качестве S принята диагональная матрица элементов . Такой вид матрицы $ позволяет экономить объем памяти ЦВМ, поскольку в против­ ном случае, например при S =J) • требуется гораздо больший объем памяти. Вопрос выбора значений элементов S ii осве­ щен ниже. В качестве же метода вычислений интеграла (3) примем метод типа степенного.

Итак, согласно разложению в конечный ряд Тейлора, век­ тор-функции x(t),f(P) можно в формуле (3) заменить нели­

нейными аппроксимирующими полиномами

При этом-уравнение (3 ) преобразуется к виду

х (**+ 1 > т* *< **> + J e 7 '

так и численно по любой формуле численного дифференцирова­

x< *> = A x( i - ” + f c i- ” c t> .

74

Процесс вычислений x Ci* выгоднее организовать по формуле (10) в связи с тем, что по формуле (8) необходимо'на каждом шаге ' выполнять

m n ? t 2 ( è - V Л 2

6=1

умножений и примерно столько жесложений (к- тому же ‘ т я3 сложений и умножений для вычисления степени А< )• в то вре­ мя как по формуле (9) - всего лишь т (п а )2 сложений.

Экспериментальные расчеты для различных типов матри­ цы А показали, что в качестве элементов диагональной матри­ цы 5 целесообразно принимать

et=-т ах frieЛ}1, / я ,

где A j - собственные числа А , Естественно, собственные числа известны на практике весьма редко. .Поэтому в качест­ ве Sjt можно принимать приближенное .значение, или опенку сверху для et /4,5/. По-видимому, для многих практических'

Отметим, что порядок точности решения (1) предлагаемым методом определяется порядком погрешности аппроксимации (4). При точном вычислении производных в уравнениях (.5) - (7 ) главный член погрешности решения меньше главного члена по­ грешности решения (1) степенным методом и составляет

где h = * t ic + t - * k

Укажем, что в работе [ 2 ] излагается метод, близкий к освещённому в данной статье. Отличие состоит в следующем; диагональная матрица в * не аппроксимируется степенным по­ линомом, а вычисляется точно; значения производных X вы­ числяются по рекуррентной формуле (9 ), а не путем численно­

шой выигрыш по величине шага интегрировании, до сравнению с классическими явными методами, Р том случае, когда исход­ ная матрица А имеет диагональные элементы, преобладающие над остальными, и большой разброс собственных значений.

Так, при счете системы 10-го порядка с треЯдиагональкой матрицей

5.Годлевский В.С., Ефимов И.Е. О вычислении и оценках норм обратных матриц. - Точность и надежность кибернетических систем, 1973, выл. 1, с. 8 -1 3 .

6.Пухов Г.Е. Расчет электрических цепёй с помощью преобра­ зования Тейлора. - Электроника и моделирование, 1976, выл. 12, с. 5 - 11.

УДК 681.34

Ю.М. Мацевитый, О.С.Цаканян

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА АНАЛОГОЦИФРОВОМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ КОМПЛЕКСЕ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИНЦИПА СУПЕРПОЗИЦИИ,

При проектировании гибридных вычислительных систем (ГВС) необходимо исходить из ряда критериев, основными из которых являются стоимость, быстродействие и возможности системы (класс решаемых задач). Хотя первые два критерия связаны обратно пропорциональной зависимостью, поиск путей сокращения стоимости ГВС приобретает, первостепенное значе­ ние, так как стоимостные характеристики вычислительной тех­ ники зачастую являются определяющими.

Один из путей снижения стоимости гибридных систем - сокращение количества кодоуправляемых каналов в аналоговом процессоре (А П ). Это достигается, во-первых, за счет пред­ варительной обработки математической модели, позволяющей при решении нелинейных дифференциальных уравнений в част­ ных производных второго порядка линеаризовать левую часть исходного уравнения, содержащую частные производные от тем­ пературы. по пространственным переменным и коэффициент теп­ лопроводности, зависимый от температуры. Такая линеаризация легко, осуществляется с помощью ряда известных подстановок, например подстановки Кирхгофа. Решение'линеаризованных уравнений может быть выполнено на структурах с двумя или даже одним кодоуправляемым элементом в узле, т.е. число кодоуправляемых каналов сокращается в 3 -5 раз по сравне­

Благодаря такому подходу к моделированию правой части уравнения (4 ), практическая реализация принципа суперпози­ ции в AUBK состоит в том, что кодоуправляемые элементы, количество которых в целое число раз меньше количества уз­ лов сетки, подключаются в процессе решения последовательно в соответствующие группы узлов, обходя таким образом все узлы по заранее составленной программе. В пределе количеств во кодоуправляемых элементов может-быть сведено к одному (лучше - к двум, как показано на рис. 1). Тогда процесс ре­ шения в пределах одной итерации '"сводится к следующему. Сначала, задавая граничные условия на поверхности исследуе­ мого тела, решаем уравнение Лапласа (правая часть уравне­ ния (4) равна нулю). Передав значения потенциалов в узлах сетки в запоминающее устройство ЭЦВМ, приступаем к опре­ делению поля потенциалов от действия источника и .стока, ко»*, торые моделируются токами, идущими в цепях КТ и КС, обхо­ дя последовательно все узлы ^исследуемой области.

Результаты измерений, передаваемые в ЭЦВМ, суммиру­ ются. В итоге, после обхода источником всех узлов сетки, в ЭЦВМ оказываетсяполная информация о значениях функции во . всех узлах аналоговой части системы на данном приближе­ нии, и ГВС может переходить к следующей итерации. Хотя

вующее количество раз снижает стои­

Рис,1.

мость аналоговой части ГВС, а если

учесть, что в большинстве случаев 79

сетка работает не с полной загрузкой, то такой "промежуточ ННй*' вариант ГВС с применением принципа суперпозиции мо­ жет оказаться оптимальным по комплексу характеристик:

быстродействию, стоимости, простоте реализации, трудоемко­ сти изготовления и последующей эксплуатации.

Упрощенная .блок-схема аналого-цифрового вычислитель­ ного комплекса (АЦВК), основанная на использовании принщ па суперпозиции, показана на рис. 1 [ 2 ] . АЦВК состоит из аналогового процессора АП, -ЭЦВМ, двух коммутаторов К, устройств связи и управления УС, аналого-цифрового преобра зователя АЦП и кодоуправляемых элементов: сопротивления КС и токоввода КТ. связанных через коммутатор с аналого­ вым процессором* а через устройство связи и управления - с ЭЦВМ.

АЦВК работает следующим образом. Сначала осуществ­ ляется чисто аналоговый цикл решения, когда решается урав­ нение Лапласа при соответственно заданных граничных услов ях. Результаты из узлов аналогового процессора через комм; татор К-2, аналого-цифровой преобразователь к устройство связи УС-2 передается в ЭЦВМ, где запоминаются в ее запс минающем устройстве. Затем по команде с ЭЦВМ управляю­ щие сигналы через устройство связи УС-1 подаются на кодоуправляемое сопротивление и кодоуправляемый токоввод, в результате чего их параметры приводятся в •соответствие с выражениями (5 ) и- ( 6 ) ДЛЯ данного приближения. После этог по команде с ЭЦВМ коммутатор К-1 соединяет элементы КТ и КС с соответствующим узлом аналогового процессора, в к( торый помимо токов от КС и КТ поступают еще токи из со седних узлов сетки через резисторы R Коммутатор К-2 та: же по команде с ЭЦВМ производит опрос узловых точек, пе­ редавая Информацию через АЦП и УС -2 в ЭЦВМ, где она за* поминается. &атем по команде с ЭЦВМ коммутатор К-1 соед няет элементы КТ и КС с очередным узлом и т.д. Результа* ты измерений, передаваемые в ЭЦВМ, суммируются. В итоге в ней оказывается полная информация о значениях функции в всех узлах аналоговой части' системы. После этого АЦВК пе реходит к осуществлению следующего приближения и т.д.

Как было отмечено, большая кратность применения при* ш та суперпозиции не имеет практического значения в силу пропорционального онцжения быстродействия АЦВК, Опыт экс плуатации работающих ГыС свидетельствует о 10-20-кратном