книги / Машинный анализ и моделирование электрических цепей
..pdfdX i(t) |
s |
|
- |
j ( - |
* si <*>*! <*> t ÿ i <xi « » = f i ( O , |
где / - 0 , 1 , |
N - 1 |
и S j C f ) = s O H + f ) . |
Решить уравнения можно с помощью Т -преобразований, Подобно рассмотренному выше.случаю чисто нелинейных урав нений, не содержавших произведений вида Sj (£)X ( f ) , так как Т -изображения последних легко определить по формуле.
1=А
|
Si <Ï)X> ( О х 2 S- ( I M ; ( А - О , |
(44) |
|
1=0 |
|
где Si ( к ) |
и X/ ( к ) — тейлоровские изображения функций S- (Ÿ) |
|
И |
|
1 |
Литература
1.Пухов Г.Е. О применении преобразований Тейлора к. реше
нию дифференциальшх уравнений. - Электроника и модели рование, 1976, № 11, с. 18 - 23.
2, Пухов Г.Е, Расчет электрических цепей с помощью преоб-
Казований Тейлора. - Электроника и моделирование, 1976, k 12, с. 5 - 10.
3. Пухов Г.Е. Преобразования Тейлора и связи их с интеграль ными преобразованиями Лапласа и Фурье. - В кн.: Пробле мы электроники и вычислительной техники. Киев; Наук.думка, 1976j с. 7 -1 3 .
4.Пухов Г.Е. О линеаризации нелинейностей. - Электроника
имоделирование, 1977, № 15, с. 5 - 9 .
УДК 51:62-501.3
В.Г. Васильев
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
Использование математического аппарата( применяемого в квантовой механике [\]% открывает новые пути анализа не линейных динамических систем [ 2J. В настоящей статье пока зана возможность использования этого метода для'1статистиче ского анализа нелинейных систем.
В работе [ 2 ] показано, что за основную характеристику нелинейной системы можно принять ее весовой функционал, оп ределяемый как
|
до оо |
|
К ( а ) ~ 2 J к„ |
( 1 ) |
|
fT=Û-la |
|
|
где |
7— /7-мерные ядра Вольтерра рассматриваемой |
|
системы; a (fy |
) - функция гильбертова пространства |
(комплекс |
ного в общем случае). |
|
|
Покажем, |
что математическое ожидание |
выход |
ного сигнала этой системы при подаче на ее вход нормального белого сигнала с нулевым средним и со спектральной плотно
стью, равной G * t определяется |
следующей формулой: |
J а 2( t ) c f ÿ |
|
~*оо |
|
/ К ( « ) е |
{2) |
где К( а ) - весовой функционал рассматриваемой системы, а интеграл в правой части определяется как континуальный ин теграл [ 1J в вещественном гильбертовом пространстве.
В качестве доказательства определим интеграл (2 ) для частного случая при
К ( « ) - f * a „ ( ( , . (г , - , ia „ -> a (f,}a < iz y - a ( t 2n -)<f2’ i
- « d
(нетрудно убедиться, что интеграл (2 ) при нечетномерных яд рах кп равен нулю).
Положим, что
* * * (% '* * '• ':> * * »> ~. £ |
■kif,i2' - , imeh ( *1'>eh (1 “2 Л" % ( *2 п ); ^ |
|
|
сц € к ^ |
.(4 ) |
|
^ a i ei (€k>> |
|
где |
С£( f ? - ортонормированная базисная функция; A |
|
Ctj - |
коэффициенты разложения соответствующих функции по |
|
выбранному базису. |
|
|
|
Тогда (2 ) примет |
вид |
|
|
/ « / |
cf2,,a |
|
|
|
2e* |
||
!m J w 2 f % |
- |
m |
L - (5 ) |
|
б Л Г |
||||
|
|
Если воспользоваться известными табличными интегралами
а 2 |
|
|
|
00,2 2G 2 |
S a |
= G ZV T ; |
( 6) |
|
б V T |
||
|
|
|
|
2 6 2 |
J T L |
|
(7 ) |
GV T
иучесть^ что из всех членов подынтегральной суммы (5 ) бу дут отличны от нуля лишь члены, с попарно одинаковыми ин дексами при всех возможных разбиениях этих индексов по ле рам, то
2п 2 к , |
( 8) |
При М -**о. сумма (8 ) превращается в интервал, так что, на пример. для п— 2 справедливо выражение
ÎW I # - б * f f [k f ( ffXj^ 2^2 ) +k f( |
+ |
—tf-ea |
/p\ |
■hH<f-( |
,< |
Нетрудно убедиться в том, что аналогичный результат получа ется при определении математического ожидания выходного сигнала с.помошыо ранее известных методов, например /"ЗУ.
Ранее [ 2J показано, что весовой функционал двух нели нейных систем с одним и тем же входным и выходным сигна лом, равным произведению выходных сигналов этих систем, определяется произведением весовых функционалов этих сис тем. Поэтому математическое ожидание-произведения выход ных сигналов двух систем с определенным в^ше входным сиг налом определяется, очевидно, по формуле
J a 2( t ) f à
|
K(a)H«x)e |
2G* |
П G T? 1 |
(10) |
где |
К (со и H(Я )- весовые функционалы рассматриваемых сис |
|||
тем. |
Автокорреляционная функция |
R « y (t ) |
выходного сигнала |
|
нелинейной системы может быть найдена, если определить мо дифицированный весовой функционал этой системы как
К (я , * )за£ |
Г |
|
|
. V |
я=о-*> |
|
|
||
|
|
. . . x a ( f n ) { / at |
|
|
Тогда, очевидно, |
|
|
|
|
|
|
J а 2( 0 |
d f |
|
|
|
- f t j __________________ |
( 12) |
|
Rуу ( t ) = f |
К ( a ) A (a , t ) e |
2 6 2 |
4 a |
|
|
Л |
|
||
|
|
|
G V? |
|
Подобным образом определяется и взаимно корреляционная функция двух сигналов.
Приведенные выше формулы могут рассматриваться как обобщение соответствующих формул,' известных для линейных систем.
Литература
1.Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. - М, : Наука, 1065, - 235 с.
2.Васильев В.Г. Операторный метод анализа нелинейных не прерывных стационарных систем. - Электроника и модели
рование, 1075, вып, 7, с. 7 - 0.
3.Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов, - М.: Сов.радио, 1065, - 208 с.
А.С.Рядинских
СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ С УЧЕТОМ ИЗМЕНЕНИЙ ВОЗДЕЙСТВИЯ И РЕАКЦИИ В ЗАДАННЫХ
ПРЕДЕЛАХ
Под синтезом нелинейного преобразователя понимается построение схемы и определение параметров элементов схемы электрического устройства, которое преобразует заданное воз действие в требуемую реакцию при известной нагрузке. В ка честве нелинейного преобразователя рассматривается часть цепи между источником и приемником электрической энергии, содержащая хотя бы один нелинейный элемент, или принцип действия которой основан на использовании нелинейного эф фекта.
Целью настоящей работы является разработка приемов синтеза нелинейного преобразователя, изложенных в работе Л ] , для случаев, когда воздействия и (или) реакция могут измениться в некоторых заданных пределах.
В решении поставленной задачи можно выделить два на правления. Первое связано с построением традиционными ме тодами стабилизирующего устройства для компенсации изме- * нения воздействия и развязывающей» устройства для устране ния влияния изменения нагрузки (реакции). Обычно преобразо ватель строится по “методике работы [ \ ] на воздействие и реакцию, закон изменения которых во времени известен и не изменяется.
Более целесообразно второе направление, когда стабили зирующий и развязывающий эффекты обеспечивают проектируе мый преобразователь. В этом случае преобразователь строит ся по методике работы [ \ ] на средние, минимальные или максимальные значения параметров воздействия и нагрузки (реакции). Затем по известной схеме преобразователя и опор ным значениям параметров элементов этой схемы тем или иным путем определяют линейную и нелинейную части преобра зователя при изменении воздействия и реакции в заданных пределах. Например, для уточнения параметров преобразовате ля можно воспользоваться параметрическим синтезом .(так1
|
l„ (S) |
г |
Z(s) |
п |
|
I |
|
||
> |
|
с |
|
|
|
t |
|
||
its) |
|
|
L[ud,t)J J |
|
*— |
im |
| |
|
|
|
|
НДП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис»1, |
|
|
как схема преобразователя уже найдена) или использовать |
|||||
следующую методику эквивалентных преобразований £2 J. |
|||||
Пусть для определенности построен нелинейный двухпо |
|||||
люсный преобразователь (НДП)" (рис. 1) на минимально допу |
|||||
стимые значения параметров воздействия и нагрузки. |
|
||||
На рис. 1 |
£ C S ) - изображение по Лапласу воздействия |
||||
S ( t ) ; |
I |
( s ) |
- изображение по Лапласу реакции |
i |
( t ) ; |
ZH (S ) |
- |
сопротивление нагрузки; Z ( S ) - линейная |
часть |
||
преобразователя, состоящая из дискретных элементов |
|||||
SC - символ преобразования Лапласа напряжения |
и ( i , t ) на |
||||
нелинейной частя преобразователя с вольт-амперной характе
ристикой (в.а.х. ) |
и ( 0 . |
|
|
|
|
||||
|
Эта нелинейная электрическая цепь описывается уравне |
||||||||
нием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
Z ( 3) |
+ Ztlc s } ] I ( s ) i - < £ f i / ( i , t ) J = f ( s ) , |
|
П ) |
|||
а с учетом |
отклонения параметров воздействия и нагрузки |
||||||||
|
£ Z j ( s ) - t Z aj (s>J I j fs ) + X f ü j ( î j , t ) ] ~ £ j ( S ) . |
(2) |
|||||||
|
Отсюда, следуя методике эквивалентных преобразований |
||||||||
/27, по выражениям (1 ) |
и ( 2) находим уравнение |
|
|
|
|||||
/ 2 ^ 6 )4 - ZH1(s )J l; fs ) - [ 2 |
(S ) t ZM (s)]I(s> + £ [u }(èr |
t )]= |
(3) |
||||||
для |
определения |
AZ(S).= |
Zt ( s ) - Z ( s ) и $yiîkükif}u f ( f / , f ) |
no |
|||||
методике работы £ l j или |
£ 2 J, Далее по известным |
функци |
|||||||
ям |
uf ( i f , t ) |
и |
i j ( t > |
определяем Ut ( l ) ) или |
A |
u ( A |
i ) => |
||
° Uj ( ij ) |
tl» fP’2 ^' |
|
|
|
|
|
|||
|
При использовании уравнения (3 ) возникают |
многочислен- |
|||||||
. ные частные, случаи учета допусков изменения параметров воз действия и нагрузки. Рассмотрим случай, когда нелинейная часть преобразователя не должна измениться, т.е. u(i)=Uj{tt).
Ы
Тогда, если изменяется воздействие и |
i } ~ i , |
Z н = Z |
то |
||
из уравнения (3 ) следует |
|
|
|
|
|
|
F , f s ) |
- f ( s x |
|
(4 ) |
|
Zj(S) Z ç s t r |
|
|
|
||
|
J ( s ) |
|
|
|
|
Если линейная часть преобразователя не должна изме |
|||||
ниться, то при меняющейся нагрузке и |
UetJ |
**»в,, ~Z = Z |
|
||
----------------------— |
, ----------------- -------- |
|
|
|
|
U, a, t ) = % '* { I (S )[ z„(S) - |
Z„1(s)]}+ a (i, t>. |
|
|||
По известным функциям |
ttjd, t ) |
и |
é ( t ) |
находится и |
|
реализуется в.а.х. и; ( й ) |
|
|
|
|
|
Область возможных значений изменения параметров воз действия и нагрузки определяется областью допустимых гра ниц технически, реализуемых динамических характеристик не линейных элементов и условием
Zj (S ) е /П В ф ],
где ПВФ - положительная вещественная функция.
Параметры линейной и нелинейной частей преобразовате ля могут быть определены полностью во временной области/1/ В этом случае, например, уравнение (3 ) записывается в форме
t |
|
|
|
° |
( t ~ t }^ |
' ил(^ +[ui |
(3a) |
|
.» |
' |
|
r« e |
Xj, (t )= X ~ * {[Z (s )- ZH(S)]ICS>}. |
||
Синтез |
нелинейного |
четырехполюсного преобразователя |
|
(НЧП) выполняется, например, посредством уравнения |
|||
уа (*> = ^ |
г |
(5, |
Vt ( s? |
Ff (S ) -«$?Fufif, t ) ] |
|
которому отвечает схема рис. 2 при очевидных обозначениях. Поскольку уравнение (5) при изменении параметров воз
действия и нагрузки может быть записано в форме уравне ния (3 )
У/2 ( S?/F |
Yj2(& ){F(£ )~1S[ и( i j , |
« |
/ J ( S ) - I2 ( S ) - £ [ i i(a ’; t ) - i(Uz ?t )j |
или -в форме уравнения (За) 17
г
/;
|
|
|
|
гн |
|
|
|
|
- 0- |
|
|
|
нчп |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2, |
|
|
S S it |
* (0 ~ v |
|
= |
|
О |
|
|
|
|
= */ fO -i2 (t)-£i}(u2> t>-i(c/2r t)], |
|||
Где |
илч (t? |
Yr2(6)/£(s> -£[t*(&v t)j}f |
||
to все сказанное выше об определении параметров линейной и нелинейной части преобразователя остается в силе и в случае синтеза НЧП.
В частном |
случае в числителе или знаменателе правой |
|
части уравнения |
(5 ) может отсутствовать второе слагаемое. |
|
П р и м е |
р. Заданы э.д.с. е ( |
243s in 3141 и ток |
ь(t)г=2,9[sin(a)t-37°35f)+ 0,6l]ç ~*°Bt
Требуется построить двухполюсный преобразователь так, что бы при изменении амплитуды э.д.с. Е т на ±11,3% заданный ток не изменялся больше ±3% номинального в любой момент времени.
Учитывая минимальное значение амплитуды э.д.с. (220В), строим НДП во временной области при 2Н= 0, согласно рис. 1 (эта задача решена в работе / 1 7 ). Опорные значения пара метров схемы преобразователя в нашем случае следующие:
Z*>r + sL, г ~ 60 Ом, L = 0,147 Гн,
а в.а.х. нелинейного элемента изображена сплошной линией на рис. 3, а.
Бели нелинейная часть преобразователя не изменяется,
то согласно выражению |
(4) |
L S Ilz IIIL |
ш « ? . * * _ S ,8 2 *0 ,(т е з . |
les) 64
Здесь принято, что значение тока не отклоняется от заданно го; в противном случае нужно воспользоваться уравнением (3 ) или (За). Следовательно, при изменении требуется
следящая система, которая одновременно изменяет параметры
Ги L в пределах
604 г 4 66,62, 0,747^L 4 О,№ Гн.
Если не изменять линейную часть преобразователя, то используя уравнение (1 ), находим U ( i , t ) и Kj ( ( f t t ) при минимальном и максимальном значениях f ^ , Затем по этим функциям и заданному току определяем в.а.х, нелинейного элемента (рис. 3,а). Из этого рисунка следует, что нелиней ная часть преобразователя должна быть управляемым нелиней ным элементом. Изучение характеристик нелинейных элемен тов показало, что требуемую характеристику может обеспечи
вать в.а.х. диода КД202В и выходная характеристика транзи стора П210В (включенного по'схеме с общей базой), если ди од включить в коллекторную цепь транзистора.
Для экспериментального подтверждения полученных ре зультатов был найден закон управления током транзистора (рис. 8,6), На основании этого закона и в.а.х. нелинейного элемента построена схема НДП (рис, 4). Результаты экспе римента показали, что коллекторный ток в любой момент вре мени при изменении Ет не превышает допустимого значения.
Литература
1, Карпов Е.А., Рядинских А.С. Введение в синтез нелиней ных преобразователей. - Теоретическая электротехника, 1975, вып. 19, с. 75 - 82.
2.Рядинских А.С. Преобразования нелинейных цепей и урав- нений.-Электроника и моделирование, 1975, вып. 8, с. 6-10.