книги / Машинный анализ и моделирование электрических цепей
..pdfмерная деформация аргумента Л и искажение формы решения
за счет сомножителя |
(Е + ИГА*)Ф £ |
В дальнейшем рассмотрим |
||
более лростой случай, |
когда матрица А такова, что для |
Q |
||
(2) выполняется |
дополнительное условие |
••• |
||
-** Ут ** Ч »т,е* |
|
|
|
( 17) |
|
|
Q = $ Е . |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда (13) |
преобразуется к виду |
( 1 8 ) |
||
|
|
В e ji j A ÿ~ |
2 |
|
где |
|
'А р |
|
|
|
|
|
|
|
л |
1 |
. (1+1% И) |
A rtA V îfH |
|
|
2 t f H |
U - i f y r t ) ~ |
Щ Н -•'* |
|
|
|
|
|
( 18 ) |
Следовательно, |
“ |
|
|
|
|
||
|
|
~х |
ВХ |
f i t Ах |
а2Л*Х |
||
|
|
Л 0 =е |
=е |
’ |
е |
|
, |
и поскольку |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
е * г* . |
[ Л |
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
& Î |
~ е Я1>> *(£ + |
* !> ’ Л |
? Х( £ f |
Л2) ’ |
||
где |
- |
скалярная величина, причем |
|
||||
^ |
9 |
ШГ-9Н*)Я„ |
|
. |
х |
______ _ Jt |
|
e ^ |
x= e - ^ K |
( t ^ f f 2) Z l f = ( { 7 ^ } i r ) f . |
|||||
(20)
( 21)
После разложения первого сомножителя (20), .перемноже ния и ряда преобразований получаем
к |
- / |
|
л * [ f U ^ |
P S - V * ? f ' p г, |
||
т.е. в отличие |
от |
точного. выражения |
(4 ) меняется |
масштаб |
||
переменной |
Л |
в |
f ij раз и появляется коэффициент |
/iQ , для |
||
данного метода интегрирования не равный 1,- |
|
|||||
Перепишем выражение А д в ином виде |
|
|||||
л Л |
п |
> л |
х |
( - п |
|
|
ИЛИ
Тогда эквивалентное решение (1 ) численным методом (11) примет вид
f(x > -A ‘,Z * < f l,- 1 > (£ - E )Z |
t |
- P t fi, |
Г/f l , , j . |
|
|
|
|
|
(23) |
где |
P = (A0 - / ) ( -4~ - E) Z |
- A çZ ; |
YjA, x ) |
- точное решение сис- |
темы |
(♦!) для аргумента |
х * = р } х |
|
|
|
Следовательно, для |
нахождения точного вектора .У-(л) |
||
можно поступить следующим образом: а) изменить масштаб пе
ременной |
х |
определив фиктивную величину / |
для |
постоянно |
|||||||
го, шага |
Н , равную л = |
|
б) |
вычислить коэффициент |
л |
||||||
(21) и вектор |
|
, где |
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
• в) |
найти |
Л » ’ |
ы |
» выполнив интегрирование с шагом |
^ |
|
|||||
Y (X) |
//= — .; |
||||||||||
г ) |
определить .точное решение |
по формуле |
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
Y (X > S S fia |
|
|
|
|
|
(25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Возможен, и иной вариант. Если матрица |
( Е + |
„_/ А2) |
||||||||
(формула |
(2 0 )) |
не особенная, |
то |
умножим справа в |
(20) |
на об |
|||||
ратную ей, Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m ( ( t |
SI Z |
L |
A 2) - ' - |
n fi<‘ |
|
|
|
|
|
|
|
' |
■ 9 |
|
|
|
|
|
|
откуда, учитывая начальный вектор 2 |
получаем |
|
|
||||||||
|
|
|
|
У ( А , х > = Л ] 1 ( £ t à z L f y ’ z |
|
|
(28) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
иди
Y(fitx)-l*0 Z,
т.е. последовательность вычислений в данном случае несколько иная: а) изменяем масштаб переменной х согласно предыду щему варианту; б ) определяем модифицированный вектор на чальных условий
/ |
(27) |
*г |
|
который представляется как вектор констант; в) |
находим чис |
ленным методом (17) решение системы |
|
Y ' ( X ) = A Y |
Y(xg ) - Z . |
(28) |
Результаты вычислений при выполнении условий (2 ) не |
||
содержат методической погрешности. |
|
|
Для упрощения вычислений при интегрировании системы |
||
(1) методом "цифра за цифрой" |
шаг Н выбирается таким, |
что |
бы операцию умножения можно было заменить операцией сдви
га. Кроме того, чтобы |
получить функцию для произвольного |
||||
аргумента |
х , шаг |
И |
должен быть переменным. В связи с |
||
этим рассмотрим процесс, состоящий из к |
итераций интегри |
||||
рования |
с шагами |
Hj |
Тогда для каждого |
fij эквивалентная |
|
матрица |
Bj |
имеет |
вид |
Bj = f l y А +Д у А2, где |
|
. |
_ ArtmfiHj |
|
|
т о -у ф |
||
fl’J |
" |
V f r t j |
|
|
|
h l -------------------------- |
Запишем полный матрицант |
|
|||||
|
|
|
г* jf |
A |
w |
и • |
|
|
л |
о - |
П |
Л |
? , |
где |
|
|
|
|
|
|
|
А |
? - |
~у6 |
е ***■>., |
||
|
|
* |
|
|
|
|
Следовательно,
A ’ |
М * Л * * * * ' . ( Л - , ) ( |
л ; , |
||
где |
t |
à |
|
|
|
|
|
||
|
|
' ’ -’ А-' |
г . f t i/i - fit f; |
(28) |
* |
. 2 |
P t J H , = £ |
* * * $ * / . |
(30) |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
(31) |
При втором варианту |
|
|
||
j£ . |
|
***„ Л; (I, ùzLs,, |
||
Где /Зд |
и х определяются соответственно выражениями (28) |
и (3 0 ), |
поэтому. |
т,е. соотношения для переменного шага аналогичны соотношени
ям для постоянного шага. |
|
|
Из |
выражения (29) следует, |
что величина jig не зависит |
от знака |
Hj и это обстоятельство |
учитывается в алгоритмах |
Воллера - Меджита путем выбора суммы модулей |
шагов по |
|||
стоянной величиной. Тогда для каждого ç |
коэффициент дефор |
|||
мации |
fi» , а следовательно, и матрицы |
( Е - |
|
А 2У и |
(f-/ ig )( |
- Е ) или векторы ~ |
|
или |
(Е - /~ - А г)~2 |
будут также постоянными величинами, могут быть вычислены заранее и использоваться как константы.
Итак, с помощью процесса численного интегрирования ме тодом прямоугольников, получены соотношения (29) - (32), обобщающие известный метод "цифра за цифрой" й основанные на нем алгоритмы Волдера - Меджита. Отличительной особен ностью соотношений (29) - (32) является наличие в общем случае слагаемого
п - а -/>„)(■--[) |
(зз) |
у |
|
либо более сложной деформации начального вектора (27), кото рые могут появиться для матрицы А выше первого порядка. Для обычных тригонометрических, гиперболических, показатель
ных и т,п. функций, определяемых уравнениями, у |
которых |
||
А г* |
а. В , эта |
особенность отсутствует. Отметим, |
что слагае |
мое (33) может равняться нулю не только тогда, |
когда р>0 = 1 |
||
или. |
г ç f |
, но когда вектор, определяемый соотношением |
|
( 4 ? -£ ) Z » равен нулю при ненулевой матрице ( у |
- Е ) . |
||
* Рассмотрим пример трехфазной косинусоиды? Поскольку матрица А (8 ) имеет не единичные коэффициенты, при вычис
лении констант это можно учесть, определив их соотношением
|
|
р |
^g |
|
hj -a re /у |
= arcty ÿ j -2 |
|
Найдем величину вспомогательного вектора < v - / v r |
|||
Вычисления показывают, что |
|
||
|
-из |
-из |
-из |
i f - Е |
-г/з |
-1/3 |
-из |
9 |
-из |
-из |
-из |
Подставив начальные условия Z ~ \ Z \-z/2 \-Z/z\ для трехфазной косинусоиды, находим, что вспомогательный вектор,
независимо от величины |
|
Z , ' всегда нулевой. |
|
Второе отличие соотношений (29) - (32) от соотношений |
|||
для алгоритмов Воллера - |
Меджита заключается в количестве |
||
типов констант. Значению ф=±Л |
соответствует два типа кон |
||
стант для матрицы А с |
единичными и нулевыми компонента |
||
ми |
Л |
|
h2j = *a rctg Ь ~~S |
hjj= Arth Ь |
и |
||
В то же время в методах Волдера используется четыре типа констант, двум из которых соответствуют выражения
и ln (l-b ~ s). Уменьшение числа типов констант проис ходит благодаря обязательному наличию множителя fig во всех функциях, в том числе и в экспоненте (один множитель), независимо от ее знака. Покажем, что значение этого множи теля можно сделать равным единице, но тогда число типов констант удвоится,
Действительно, если учесть,что-для экспоненты А |
А и |
|||
подставить это в (18), |
получаем |
|
|
|
|
|
В =fl%A +fi2А2= (fl,ifl2)A. |
|
|
Тогда R * |
^ |
* * , откуда |
= 1, а два дополните |
|
льных типа констант соответственно для двух знаков |
|
|||
|
|
*3/ = Iff ( / t à ~3) |
; |
|
|
|
t M - t » ( / - Г * ) . . |
|
|
Итак, для |
вычислении методом ‘'цифра за цифрой' |
в об |
||
щем случае следует выполнять неизменное количество шагов интегрирования, определяемоё условиями сходимости, иначе возникает необходимость в нахождении коэффициентов , соотвётствуюших модулю интервала, пройденного по аргумен ту х , И в том и в другом случае наличие коэффициентов деформации решения flg существенно сужает функциональные возможности рассматриваемого метода 'цифра за цифрой' и снижает его скоростные параметры. Так, если проанализиро вать решения определяющих уравнений (1 ) с учетом коэффици ента деформации f lQ , то оказывается, что часть наборов ли бо практически не реализуема, либо существенно модифициру
ется (например, |
вместо |
xcosT |
в данном случае можно реа |
лизовать только |
со$ Г , |
вместо |
]/zf +Х2 - flg ]/zf+z£ и т.п. X |
Несмотря на то что алгоритмы Волдера - Меджита, реа лизующие метод "цифра за цифрой", теряют часть потенциаль ных возможностей метода определяющих дифференциальных уравнений, они все же отличаются универсальностью и просто той реализации по сравнению с иными методами вычисления такого же набора функций. Это и определило широкую область их применения. Используя исходные матрицы более высокого
порядка, |
например |
третьего и выше, можно существенно |
рас |
|||
ширить границы применения метода "цифра за |
цифрой", напри |
|||||
мер, для определения трехфаэной |
к о с и н у с о и д ы |
или |
вычисления |
|||
таких функций, как c b l n Z , stiff Z ,e ArT xdzi^ trch Z |
и МНогих |
|||||
других, |
Однако, |
как показали |
исследования, |
в |
таких |
слу |
чаях более эффективен интегро-алгоритмический метод вычис лений, в котором благодаря интегрированию модифицированной системы определяющих уравнений отсутствует коэффициент де формации решения flQ
Литература
1, Байков В.Д., Смолов В. Б. Аппаратурная реализация элемен
тарных функций в ЦВМ. - Л.: Изд-во Ленинград.ун-та, 1975,- 96 с.
2. |
Voider J. 5. The |
СOddiG triqonometric computinq |
technique- |
3. |
IRE Trans, on |
f. C-, 1959, 6,HS, p. 330- JJf. 9 |
r |
|
|
|
4 Аристов B.B. Влияние методической погрешности численно го интегрирования на параметры эквивалентной математиче ской модели. - Электроника и моделирование, 1977, вып. 16, с. 68-75.
б« Аристов В,В. Канонические передаточные функции блоков приближенного интегрирования: Препринт ИЭД АН УССР, 163. - Киев, 1978. - 6В с..
|
Содержание |
|
|
|
|
|
Пухов Г.Е. Метод локальных дифференциальных уравне |
|
|||||
ний |
|
. . |
|
.............. |
3 |
|
Васильев В.Г. Применение методов функционального ана |
|
|||||
лиза для определения статистических характеристик не- |
11 |
|||||
линейных |
непрерывных систем |
. |
................. |
|||
Рядинских А.С. Синтез нелинейного преобразователя с |
|
|||||
учетом изменений воздействия и реакции в заданных |
15 |
|||||
пределах |
|
. . |
|
, . |
|
|
Васильев В.Г., Филоненко А.М. Применение методов |
|
|
||||
функционального анализа для определения статистиче |
21 |
|||||
ских характеристик нелинейных дискретных систем ♦ . |
||||||
Теплов Н.Л., Бабич В.Д. О необходимой зоне обработки |
25 |
|||||
сигналов в приемниках с обеляющим фильтром . |
|
|||||
Ищенко В. А. Установление |
колебаний в резонансном уси |
3 7 |
||||
лителе |
. . |
. . |
. . . . . . . . . |
|||
Элигулашвили Б.Г. Об одном алгоритме синтеза опти |
45 |
|||||
мальных сигналов |
. |
|
. |
|
||
Эбралидзе |
Р.В. Нелинейная |
модель тиристорных струк- |
51 |
|||
Тур |
|
• • • |
• |
• • |
« • |
|
|
|
|
|
|
« |
|
Осадчук В.С., Кичак В.М.. Машинный анализ й оптими |
|
|||||
зация параметров транзисторных СВЧ |
усилителей . . . |
58 |
||||
Марцафей В.В., Цалиев Т.А/Статистические характери |
63 |
|||||
стики поляризационных параметров поля антенны |
. . |
|||||
Годлевский В.С., Хазанкина Н.П. Экспоненциальный ме-. |
|
|||||
год решения задачи Коши для жестких систем линейных |
72 |
|||||
обыкновенных дифференциальных уравнений . |
. . . |
|||||
|
» |
|
|
|
|
|
Мацевитый Ю.М., Цаканян О.С. Решение задач тепло |
|
|||||
проводности на аналого-цифровом вычислительном ком |
77 |
|||||
плексе с использованием принципа суперпозиции |
< |
|||||
Пьявченко О.Н. Разностно-квантованные схемы инте |
|
|||||
грирования на ЦИАС базовой системы дифференциаль |
|
|||||
ных уравнений |
|
|
|
|
84 |
|
Стасюк А.И. О построении разрядно-аналоговых вычис |
95 |
|||||
лительных структур на основе скаляторных блоков |
|
|||||
Борщ В.И. Аналоговые модели многосвязных регулируе |
100 |
|||||
мых систем и матричные методы их преобразования . |
||||||
Борщ В.И., Титенко В.Ф. Математические модели и ана лиз оптимальных режимов переходных процессов в сис темах фазовой автоподстройки частоты..
Воробьев Ф.П., Мануйлова А.М., Шевченко А.К., ДоильИицына Л.П. Принципы построения программы миними зации в пространстве рецепторов
Толмачев В.П, Об одном алгоритме построения итера |
127 |
|||
ционных схем решения краевых задач |
||||
Михайлова Е.Д. Машинная реализация параметрического |
|
|||
Метода синтеза на базе компонентных уравнений RL C- |
|
|||
цепей . , , |
|
|
|
133 ■" |
Первой В.В, Оптимальное расписание тестового цикличе |
140 |
|||
ского'контроля работоспособности элементов системы . |
||||
Мельников А.Н. Об одном методе контроля и диагноза |
150 |
|||
электронных схем ; |
.................................• |
|||
Чаплыгин В.И., Безотосный |
В.Ф., |
Полянский Г. А. Приме |
|
|
нение токовихревого частотно-балансного метода для |
|
|||
контроля покрытий на цилиндрических изделиях проход- |
3.60 |
|||
йымн преобразователями |
. . . |
|
||
Кашкинбаев Б, Об одном графическом методе определе |
|
|||
ния параметров аппроксимации кривой намагничивания |
ф 6 7 |
|||
Крючин А.А. Стабильность свойств носителя информации |
|
|||
на основе халькогенидного стекла |
|
3 -72 |
||
Жуков И.А, О распараллеливании итерационных алгорит |
|
|||
мов при моделировании установившихся режимов слож |
|
|||
ных электронных схем ............. . |
|
1 7 5 |
||
Жуков И. А. Оценка погрешности итерационного процес |
183 |
|||
са для систем уравнений высокого |
порядка , . . |
|||
Аристов В.В. Введение в теорию метода вычислений |
|
|||
цифра за цифрой" |
, . |
’. |
, .*. |
|
МАШИННЫЙ АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Сборник научных трудов
Печатается по постановлению ученого совета Сектора электроники и моделирования ЙЭД
АН УССР
Редактор А.В.Янковская Художественный редактор Н.И.Воэный Технический редактор В.С. Литвишко Корректор А.Л.Полищук
Подп. к печ. |
1 8 .0 8 .7 8 . БФ 092 |
77 . Формат 60x84/16 . |
|||
Бумага |
офс. |
№ 2. Усл.печ.л. 1 2 |
,0 9 . Уч.-иэд.л. |
10,13* |
|
Тираж |
6 0 0 |
экэ. |
Цена 1 руб. |
|
|
Издательство 'Наукова думка*. |
2 5 2 6 0 1 , Киев, |
ГСП,Репина,3. |
|||
Киевская книжная типография научной книги Республиканского производственного объединения 'Полиграфкнига' Госкомиздата УССР. 2 5 2 0 0 4 , Киев-4, Репина, 4.