книги / Машинный анализ и моделирование электрических цепей

ка решения, когда правая часть уравнения (14) равна нулю. Проведение последующих итераций с учетом правой части (14) показывает, что значение нормы решения изменяется в налра*

(14) решение стремится в сторону максимальной оценки реше­ ния, Если в какой-либо итерации решение окажется близким максимальной оценке, то правая часть полученного решения будет близка нулю и. в последующей: итерации оно приблизит» ся к решению уравнения (1 6 ). Следовательно, искомое реше­ ние должно лежать в интервале между первым приближением! максимальной оценкой,

При практической реализации итерационной процедуры (14) в правую часть уравнения вводится такой множитель У, чтобы от итерации к итерации значение нормы решения моно* тонно возрастало на одну и ту же величину при стремлении к некоторому постоянному, значению, соответствующему иско­ мому решению. При этом значения у изменяются от 0,1 до!.

и,%

Распределение .функции U при / =0,6 с изложенным, вы­ ше управлением сходимостью решения представлено не рисун­ ке, где 1 - точное, 2 - приближенное решение; в квадратах указаны номера итерации. Вычисления, выполнены .В.Н.Курпеней на ЦВМ " £ £ - 1020"; уравнение Лапласа решено методом релаксации [ 1]\ значение нормы равно 93,5%.

Литература

1. Козлов Э.С., Сергеев Н.П*, Николаев Н,С. Автоматизация процессов решения краевых задач с помощью сеточных АЦВМ. - М.: Энергия, 1974. - 111 с.

2. Пухов Г.Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электрических цепей, - Киев: Наук.думка, 1967, - 608 с.

3.Толмачев В.П. Решение краевых задач методом дифферен­ циальных приближений с использованием АВМ. - В кк: Методы и средства решения краевых задач. ' !Рига: Изд-во РПИ, 1975, с. 60 - 62.

4.Красносельский М .А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и пр. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука» 1Ô69. - 456 с.

5.Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная Мате­

матика. - М .: Мир, 1967. - 185 с.

6. Демидович Б.П., Марон И.А.. Шувалова Э.З. Численные ме­ тоды анализа. - М.: Наука, 1983. - 368 с.

7.Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения •диффе­ ренциальных уравнений в частных производных. - М.: Изд-во иностр.пит., 1963. - 484 с.

УДК 621.372:519.85

Е.Д.Михайлова

МАШИННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО МЕТОДА СИНТЕЗА НА БАЗЕ КОМПОНЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

RL C -ЦЕПЕЙ

Всистемах машинного проектирования параметрический синтез может быть осуществлен путем решения компонентны'; уравнений

и значения параметров X; элементов цепи с заданной тополо­ гией.

Здесь

ными) методами оптимизации /"27 и прямым решением на ба­ зе теории исилючения [ \ ] , Обычно применяют различные ва­ рианты первого способа, которые эффективны, если известно начальное приближение '“'достаточно близкое" к решению или жестко обусловленное [ 2 ], В противном случае гарантия решениг отсутствует, что при несовместности системы ( 1) мо­ жет привести к ненужным затратам времени.

Второй путь решения не требует знания начального пррб№ женяя, -относится к точным методам и дает однозначный ответ на вопрос о существовании решения (1 ). Недостатком, этого метода является сложность формирования систем результантов на каждом щаге исключения и большой объем аналитических вычислений.

Возможность применения метода исключения к решению системы (1 ) исследована в работе f â j . В результате обосно­ вана методика формирования отдельных уравнений в системах результантов непосредственно из исходной для каждого щага исключения системы уравнений; решение систем результантов расчленено на части, в которых используется ограниченное число исходных уравнений ( j ) , соответственно ограничено •число уравнен,1й в системах результантов;

Ограничение -числа уравнений в системах результантов ^о некоторого минимального числа R * 3 позволяет довести процедуру исключения неизвестных в выбранных уравнениях К до конца. Решения совместных систем уравнений (\ ) в этом

водятся уравнения в системах результангов от исключаемой на данном шаге неизвестной, и порядки результантов при еле-,

дующих предположениях.

Предположи, что система (1 ) инвариантна к последова­

тельности . исключения неизвестных, хотя реально ход решения существенно зависит от порядка исключения неизвестных, и

случае максимальна, Действительно, при выполнении этого предположении степень Sf многочлена от X£ и 6 (

Ипорядок результанта ДЛИ некоторой пары уравнений

иВ2(Х() ~ Û при St=<?i2 всегда будут связаны. следующей

ществляетсн в предположении» что свободный член в многочле­ нах относительно xf- при i > 2 отсутствует и что производит­ ся. сокращение на общие множители в виде произведений неиз­

вестных x f é x f i j 1- * ПРИ Условии Xj Ф 0 , , то на каждом шаге исключения получаются уравнения первой степени относительно X j и соответственно результанты второ­ го порядка, f i i = î, 2 , ...

Наиболее вероятной является оценка более близкая к ми­ нимальной границе, особенно для i $ 5. Как показывает опыт, степени неизвестных не превышают 4, а порядок результанта & Это объясняется наличием в исходной системе ( 1) уравнений,

не имеющих полного набора неизвестных, а также тем, что хотя каждое слагаемое в ( 1) содержит ограниченное число сомножителей п < N , но уже к третьему шагу исключения кортеж сомножителей в слагаемом представляет полный или почти полный набор неисключенных неизвестных, что на по­ следующих шагах исключения приводит к появлению общих множителей. Полагая Xj т4 0 и сокращая на общий множитель

ключении третьей неизвестной и возрастает с каждым новым шаром исключения, так как кортеж неизвестных в слагаемых уравнений становится полным набором неисключенных неизве­ стных, степени которых растут с каждым шагом исключения.

На основании изложенного о возможных реальных значе­ ниях степеней неизвестных в уравнениях и порядке результан­ тов, учитывая, что эти значения при А/$ 10 приемлемы в смыс­ ле затрат машинного времени при использовании ЭВМ,' разра­

а) выбор элементов для члена результанта, б) определение знака члена, в) определение значения члена результанта после перемножения всех его элементов и приведения подобных чле­ нов, г ) суммирование членов результанта с приведением по­ добных.

для решения задачи. Чтобы не нарушать необходимую полноту множеств, неизвестных' в процессе исключений из-за малых К, в следующую систему результантов сначала записываются (I уравнений из предыдущей системы, которые не зависели от исключаемой на этом этапе неизвестной, и только после них R или Q ~в при R>Q~tf результантов, построенных для пар уравнений предыдущей системы.

Ход решения по такому алгоритму тесно связан с чис­ лом R результантов, которые берутся для построения урав» ний в промежуточных системах, и числом тех уравнений в системе, которые зависят от исключаемой неизвестной. Поэто му алгоритмом предусмотрен переход к исключению следую­ щей неизвестной +j при условии, что неизвестная X^ ос* тается неисключенной в последующих системах, если оказыва­ ется, что имеющихся уравнений относительно неизвестной Ц недостаточно для построения R результантов, а этих же урав

статочно для проведения исключения всех неизвестных, необ­ ходимо увеличить R и повторить решение.

Если процесс исключения идет до конца и в последней системе результантов все результанты равны нулю, значит исходная система уравнений совместна, в противном случаенесовместна. При "недоопределенных" системах ( 1) получение нулевых результантов в случае совместных уравнений проис­

ходит уже в системах результантов, номер которых превыша­ ет, число заданных в (1 ) уравнений. Тогда оставшиеся нерсключенными неизвестные Xj могут принимать любые значения. Номера этих неизвестных выдаются на печать.

При совместности системы ( 1 ) осуществляется переход

действительные корни. Поэтому, получив первый такой корень для КN , подставляют его в уравнения Bj (*#-/> Хц ) а 9

( ^ - 2 )-й системы, результантов, откуда'находят корень. Хи-)* Затем в уравнения В£ (Х#-2>*л/-1>х# )=й (/V- 3)-й системы ре­ зультантов подставляют значении корней Хц и Хц- t Я опре­ деляют корень Хц~2 и т.д., пока не будут найдены рее кррни. Этот этап также легко алгоритмизуем и реализован В виде программы на языке ФОРТРАН и АНАЛИТИК для ЭВМ "МИР-2*. Для поиска корней полинома использован метод Хичкока.

Программы, реализующие алгоритм на языке АНАЛИТИК и ФОРТРАН', различаются способом записи исходной информа­ ции и обработки промежуточных результантов, имеют при реа­ лизации различные временные характеристики и разные требо­ вания к объему памяти, определяемые в основном числом Неиз­ вестных и числом слагаемых в уравнениях (1 ). Г?рн раскрытии числовых результантов, нулевые значения которых определяют совместность'системы ( 1), важным является значение нормы вектора коэффициентов уравнений / / И так как при ее малых значениях, несовместность системы ( I ) может выра­ жаться ненулевыми значениями результантов очень малых зна­ чений, равных приближенно Ц 4 [ 1 1 Во избежание этого при раскрытии результантов на последнем шаге исключения нужно вводить поправочный множитель ffÿfj//*, S 9 i » - норма векто­ ра коэффициентов / -й системы результантов.

Основное время решения задачи О ) по предложенным программам затрачивается на раскрытие результантов. Это ог­ раничивает использование метода. Усовершенствование этого блока программы позволит решать уравнения с большим чис­ лом неизвестных. Поскольку наиболее высокие порядки резуль­ тантов бывают на последних шагах йсключе|шя( для раскрытия предпоследнего шага (результант имеет вид полиномиального определителя) и последнего (результант является числовым

определителем) можно в виде подпрограмм применять извест- | ные алгоритмы, которые значительно эффективнее ислользуе- , мого в программе универсального алгоритма. Однако это свя­ зано со специальным формированием информации об определи­ теле и хранением указанных подпрограмм. В предложенной же программе вопрос о формировании информации об определителе решен простым заданием степеней неизвестных во взятой паре, уравнений и записью коэффициентов при степенях хf в каждом из уравнений, что вполне достаточно для раскрытия результан­ тов, структура которых имеет конкретный вид f \ J .

Учитывая положительные стороны применения метода ис­ ключения к решению компонентных уравнений и его идеологи­ ческие преимущества перед приближенными методами, пред­ ставляется целесообразным в дальнейшем усовершенствовать его машинную реализацию.

Литература

1, Ван-дер-Варден Б.А. Современная алгебра. - М .: ОГИЗ, Щ Т . - Ч. 2, с. 8-15.

2, /1аннэ А,А,, Саркисян Б.С. Нелинейные задачи в теории реализации электронных схем. - В кн,: Пятая Всесоюз, ‘межвуз. конференция по теории и методам расчета нелиней­ ных электрических цепей и систем (2 2 -2 4 октября 1976 г.): Теэ.докл. Ташкент, 1975, с. 21-23.

3.Михайлова Е.Д. Решение систем нелинейных уравнений при определении параметров элементов электрической цепи, - Теоретическая электротехника, 1977, вып. 2 2 , с. 34-41.

4.Михайлова Е.Д., Дерябина А.Г. Решение систем нелинейны! алгебраических уравнений по методу Ван-дер-Вардена. - Республиканский фонд алгоритмов и программ. Киев, ИК АН УССР, Регистрац. № 188 от 22.11.76 г., с. 15.

УДК 621.37/39

В. В.Первое

ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПИСАНИЕ ТЕСТОВОГО ЦИКЛИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ

Вопрос рационального использования ресурса, в част ноет! временной избыточности, отводимого на тестовый контроль те*'; нического состояния аппаратуры системы, представляет несоМ' ненный интерес. Подобные задачи при различных условиях ис-