книги / Машинный анализ и моделирование электрических цепей

ратная подматрица связи подсистем (подсхем) в общем случае

где

X* ■= x;’J в к{ [].(( Х р Г 'F, (Х*>;

Кс- "с- / 8Î[J,(4>г'*>*

Блок-схема итерационного алгоритма (12) декомпозиционного расчете решения по частям больших нелинейных систем ;урав нений с разреженной структу­ рой приведена на рис. 2. Рас­ смотренный алгоритм является более эффективным по сравне­ нию с (8 ) в отношении вычис­ лительных затрат, так как на каждом итерационном шаге метода Ньютона в соответст­

меньшие размерности. Заметим что обращение подматрицы Кс можно и не производить, а подвектор переменных, подсис­ темы связи-вычислять путем прямого решения уравнения

' К ц * с - ^ , гДе Яс = Л. &i С 1Fj ( * i ) • Алгоритм ( 12)- имеет параллельночгосшедовательный характер выполнения. Бло­

ки 3 - 6 и 11-12 относятся к параллельной части алгоритма, а блоки 7 -1 0 к последовательной.

Декомпозиционный метод Ньютона (12) может быть ис­ пользован, не только при расчетах статических режимов слож­ ных нелинейных электронных схем, но и. при динамическом ана­ лизе.

З^клю^енце. Предлагаемые алгоритмы итерационного ре­ шении больших систем линейных и нелинейных уравнений с раз­ реженной структурой имеют следующие достоинства:

могут быть эффективно реализованы на вычислительных структурах параллельно-последовательного действия1;

позволяют решать системы уравнений повышенной размер­ ности на ЭВМ с малым объемом оперативной памяти;

упрощают этап проверки условий сходимости итерационно­ го процесса за счет декомпозиции;.

Могут быть использованы при моделировании больших СЛОЖНЫХ систем другой физической природы.

Литература

1.Крон Г. Исследование сложных систем по частям - диакоптика. - М,: Наука, 1072. - 644 с.

2.Нагорный Л.Я. Об одном методе решения на ЦВМ больших систем линейных уравнений с разреженной матрицей.. - Электроника и моделирование, 1976,.вып. И , с. 84-86.

3.Прангишвили И.В., Попова Г.М., Смородинова О.Г. и др. Однородные микроэлектронные ассоциативные процессоры. - МГ: Сов,радио, 1073. - 28и с.

4.Пухов Г,Ё. Разрядно-аналоговые вычислительные устройст­ ва параллельно-последовательного действия. - Математи­ ческое^моделирование и теория электрических цепей, 1975,

5.Бахов В.А,, Ильин В.Н.» Фрбпкин В.Т. Алгоритм расчета нелинейных схем методом подсхем с использованием итера­ ций по Ньютону. - Изв.вузов. Радиоэлектроника, 1974, 17.

№6, с. 0 - 16. '

6.Нагорный Л.Я, Метод подсхем для расчета на ЦВМ элек­ тронных цепей по матрице гибридных параметров.-Иэв.ву­ зов. Радиоэлектроника, 1975, |8, № 6, с. 60-67.

7.Петренко А,И., Близаренко Г.Н., Власов А.И. Моделирова­

ние элект; энных схем на ЭЦВМ, - Управляющие системы

и машины, 1074, № 5, с. 36-45,

8.Пухов Г,Е. Теория метода подсхем. - Электричество, 1952, № 8, с. 63—78.'-

9, Нагорный Л.Я., Жуков И.А. Применение декомпозиции для итерационного решения на ЦВМ больших систем линейных уравнений. - Автоматизация проектирования в электронике, 1978, вып. 18, с. 61-68.

Ю.Жуков Й.А., Нагорный Л.Я. О методе решения на ЦВМ боль­ ших систем нелинейных уравнений с разреженной матрицей. - Автоматизация проектирования в электронике, 1977, вып. 16, с. 33 - 39.

УДК 621.372.061:681.142

И.А,Жуков

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

В работе [ 17 рассмотрен метод итерационного решения по частям больших систем линейных алгебраических уравнений вида

О )

где Н неособенная квадратная матрица коэффициентов; X - вектор независимых переменных; Ü - вектор правых частей.

Покажем; что за счет использования декомпозиции мож­ но упростить задачу оценки погрешности итерационного процес­ са, Выведем формулу для количества верных значащих цифр

щих. необходимую точность приближения g /что подвектора неизвестных.

.Пусть итерационный процесс для большой системы уравне­ ний (2 ) сходится, т.е, выполняется условие ЦТ^Ц<1 (£=1,2,...,Н). Тогда для оценки.погрешности, решения (2 ) в терминах нормы справедливы неравенства

В неравенстве (В) оценки двух норм связаны с помощью нор-

получаем выражение для количества верных значащих цифр пос­ ле запятой S/ ( S ' < $ )

Литература

1, Нагорный Л,Я ., Жуков И.А. Применение декомпозиции для итерационного решения на ЦВМ больших систем пинанных уравнений, - Автоматизация проектирования В электронике, 1978, вып, 18, с. 20-26,

3.Демидович Б.П.. Марон И,А, Основы вычислительной мате­ матики. - М .: Наука, 1970. - 664 с.

УДК SI 7.91.94

В. В.Аристов

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МЕТОДА ВЫЧИСЛЕНИЙ "ЦИФРА ЗА ЦИФРОЙ"

Для вычисления по единому алгоритму широкого набора элементарных функций предложено несколько методов /1-37, одним из которых является условно названный "цифра за циф­ рой" [ 17. Разработанные на основе этого метода алгоритмы позволяют путем выполнений вполне определенного количества операций алгебраического сложения и сдвига единообразно фор­ мировать следующие_функции: sin X ; ; arutg (х/ у ) ;

arcctff(x/ÿ) ; l/x2tу z;arcsin(x/r);arccos(x/r);fi2Vx; lxx;exp(x);

sk(x%chx; ArtA(x/y);Arctb(x/y); p3 ÿ x ty 1' и т.п.-

Вычисление любой элементарной функции методом "цифра ра за цифрой" сводится к выполнению двух этапов. На первом выполняется преобразование исходного аргумента в некоторую позиционную систему счисления с переменным основанием, на втором - определяется искомая функция посредством суммиро­ вания слагаемых вида lrt(f± â j Ь ~0, <f;- аг e t g à ~*t éj driftÙ'i

или посредством вычисления произведения в общем случае с

нимающие значения либо 0 и 1 для знакопостоянных шагов, либо -1 й +1 для знакопеременных шагов.

Имеется большое количество публикаций по анализу точ­ ности, сходимости и быстродействия рассматриваемого метода

исоответствующих ему алгоритмов, по вопросам программной

иаппаратурной реализации способов Волдера и Меджита, по их применению в различных вычислительных, управляющих и т.п. устройствах и системах. В то же время, насколько изве­ стно автору, нет ни одной работы, в которой вычисления функ­

ций методом "цифра за цифрой" рассматривались бы с общих и в то же время достаточно наглядных позиций, позволяющих четко представить .суть протекающих процессов и оценить функциональные возможности данного метода. Попытаемся за­ полнить этот пробел.

Известно, что для нахождения элементарных функций мож­ но воспользоваться определяющими системами дифференциаль­ ных уравнений. Пусть задано

Е - единичная диагональная матрица.

Соотношения (4 ) - (б ) подучены разложением матричной

но и для неявного, определяемого некоторыми дополнительны­ ми условиями, то решение (7 ) для матрицы А только второго

т.е, точное решение системы (1 ) с матрицей типа (8 ) при ука­ занных начальных условиях соответствует трехфазной косинусов де с амплитудой z . Для иных групп функциональных зависимо­ стей можно подбирать не только параметры А и дополнитель­ ные условия, но также вводить простые правые части в систе­ му (1 ) и увеличивать порядок всей системы дифференциальных уравнений в разумных пределах.

Приведенные результаты показывают, что если имеется устройство для точного решения линейных систем дифференци­ альных уравнений определенного вида, то набор реализуемых команд получается достаточно широким: кроме операций сло­ жения, вычитания и деления выполняется целый спектр триго­ нометрических, гиперболических, логарифмических, экспоненци­ альных и т.п. функций, причем алгоритмы вычислений почти не зависят от вида команд. Таким образом, устройство обладает высоким уровнем внутреннего» языка и широкой универсально­ стью, достигаемых не за Счет сложного устройства микропро­ граммного управления, а за счет, например, .специализации структуры аппаратурных средств.

При решении системы дифференциальных уравнений (1 ) численными методами.,возможно несколько вариантов. В пер­ вом - решение выполняется хотя и не точным, но зато простым методом численного интегрирования, например, методом прямо­ угольников. При этом находятся некоторые соотношения, удов­ летворение которых в конечном итоге приводит к получению . точного решения. Во втором - интегрируется не исходная сис­ тема уравнений, а некоторая иная, учитывающая возмущение, вносимое применяемым методом интегрировании /[4,57. ! Тогда результат на каждом шаге будет соответствовать точному ре­ шению исходной системы (без учета погрешностей округления).

В .третьем варианте решение, находится численным методом вы­

сокого порядка, методическая погрешность которого удовлетво­

рительна для конкретного применения.

Покажем, что первый вариант приводит к обобщению алго­ ритма Волдера, предложенного для вычисления ряда элементар­ ных функций [\ - 37. Проинтегрируем систему (1 ) методом прямоугольников

Воспользуемся результатом теории канонических переда­ точных функций Z4A7, согласно которой решение системы (1 )

численным методом, в данном случае (11), эквивалентно точно­ му решению новой системы дифференциальных уравнений того же порядка, также однородной и с постоянными коэффициента­ ми

погрешности численного интегрирования, матрицант эквивалент­ ной системы