книги / Микронапряжения в конструкционных материалах
..pdfИзменение интенсивности разрешающих напряжений опреде ляется по формулам
T(Xk, 0 = |
&kXkt |
ХкХк — 1» |
|
|
|
|
|
(3.193) |
|||
SkXk + |
it, |
XkX'kФ ± 1; |
|
|
|
||||||
|
|
цгkXk + skXk -f- (1 |
+ |
л ) |
|
Xkk’k = — |
1» |
||||
где положено * = j |
+^ ^- F kf k ; |
s k = |
A 2e pk. |
|
|
||||||
Жесткое нагружение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В х Н = (Gw- j q |
L |
F kF t ) f r, |
h |
= |
e k - В Л \ |
|
|||||
h = 2G(ek - e k),p |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.194) |
||
где Ght, Fk, Q, dQ и Я* |
определяются |
по |
формулам (3.191). |
||||||||
Для построения области направлений активного микропласти- |
|||||||||||
ческого |
деформирования |
в |
этом |
случае |
получаем |
||||||
Е (%к, |
0 < |
ehXk; |
rhXh - |
|
|
|
|
> |
°- |
О-195> |
|
Изменение интенсивности разрешающих деформаций опреде |
|||||||||||
ляется с использованием формул |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ёк%к, |
ХкХ'к = |
|
1; |
|
|
|
|
|
|
Е(Хк, 0 = |
А%ёркХк + |
it, |
Хккк Ф =Ь 1'» |
|
|
(3.196) |
|||||
|
|
X kXk + В2ёрк% —|—(1 -(- т]) х, |
Хккк = |
—1, |
|||||||
где положено х = 1 + ьа Fk?к> |
|
|
|
|
|
|
Приведенные выше формулы позволяют полностью решить вопрос об описании произвольного мягкого или жесткого нагру жения.
Для численной реализации приведенных выше соотношений представим траекторию нагружения (деформирования) в виде многозвенной ломаной. Тогда задача построения соответствующих им траекторий деформирования (нагружения) сведется к задаче нахождения приращений напряжений и деформаций на каждом шаге нагружения и последующего их суммирования. Для вы числения интегралов (3.191) использовались квадратурные фор мулы типа Гаусса и' изменение интенсивности разрешающих на пряжений или деформаций строились в узлах квадратурных фор мул. Построение области £2 в обоих случаях осуществлялось ите рационным способом, как и в случае плоской траектории нагру жения. Отметим одно важное обстоятельство, позволяющее су щественно упростить процесс проведения расчетов для траекто рии меньшей размерности. Легко заметить из приведенных выше соотношений следующее: если фиксированный девиаторный ба зис выбран так, что процесс нагружения (деформирования) будет
101
определен меньшим, чем пять, числом параметров, то соответ ственно уменьшится число кратных интегралов в формулах (3.191).
Так, если траектория нагружения деформирования одномерна, т. е. рассматривается процесс произвольного циклического на гружения, то для Gmn и Fm находим:
D
О
Остальные Gmn и Fm равны нулю.
В случае, когда рассматривается произвольная плоская траек тория нагружения, получаем:
C6i а, (00
a i |
а , (0!) |
|
G22 = 2я J |
J |
sin5 01 cos2 0х sin2 d02 dQг d02; |
|
D |
|
|
ai |
a . (0j) |
Q 0 a xa . (0!)
Q D
«1 a ,(0 i)
0 0
a , (0j)
0 0
«j a ,(0 i)
Остальные Gmn и Fm равны нулю.
102
Если |
траектория |
нагружения (деформирования)' трехмерна, |
||||
то можем записать] |
|
|
||||
|
|
о, ctf (е,) |
а, (б,, е4) |
|
||
Q = |
2л J |
| |
|
f |
sin30х sin202sin 0a d0x d02d08; |
|
|
|
Q O |
|
о |
|
|
|
|
« 1 |
ot, (0,) a, (0„ 0,) |
|||
Fm = |
2л J |
J |
|
J |
Xm sin3 0i sin2 02 sin 0S d0i d02 dQ3; |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
a, |
a, (0i) |
aj (0„ |
0.) |
|
Gmn = |
2л J |
J |
[ |
A,mX,n sin8 0i sin2 0a sin 0S dQt d02 d0s, |
||
|
|
o |
o |
|
о |
|
где m, |
n = 1, 2, |
3. |
Остальные Gmn и Fm равны нулю. |
|||
На |
основании |
приведенных выше формул и описанного ал |
горитма была построена программа расчета мягкого и жесткого нагружений в' случае одно-, двух- и трехмерных траекторий на гружения деформирования. Проверка работоспособности про граммы проводилась на приведенных выше примерах. Во всех без исключения случаях результаты практически совпали с по строенными ранее с использованием специальных алгоритмов.
В дополнение к имеющимся результатам были рассмотрены эксперименты по сложному циклическому нагружению, приве денные в работе [148 ], и эксперименты в случае трехмерной траек тории нагружения [1051.
На рис. 3.18 приведены траектории деформации при простых
инесинфазных циклах, экспериментально осуществленных [148]. Испытывались тонкостенные трубчатые образцы при совместном растяжении (сжатии) осевой силой и кручении.
На рис. 3.19 и 3.20 для сравнения представлены теоретические
иэкспериментальные данные.
При расчетах было принято: G = 77 ГПа; <г0= 154 МПа; Вг — = 2,5; В2 = 0; Ва = 0,002. Приняты следующие обозначения!
103
Is/, МПи
600 -----
/ j.',МПа
m
200
О |
10 |
20 |
JO Я,°/о |
Рис. 3.20
et = ezz\ е8 = 2^ 0/КЗ; ezz, eze — осевая и сдвиговая составляющие!
«г = |
Ozzl |
о, = V 3azei |
|
|
t |
|
t |
L |
= J |
|dejdt \dt; |
%. = J |di»/di \dt. |
|
о |
|
о |
Сплошными линиями представлены результаты расчета (за висимость модуля вектора напряжения от накопленной пластиче ской (или полной) деформации.
На рис. 3.20 использованы обозначения: % — отвечает опыт ным данным с Дем/2 = 0,4 %, а О — опытным данным с Де3/2 = = 0,4 % .
На рис. 3.21 приведены экспериментальные результаты [105] деформирования тонкостенных трубчатых образцов при совмест
ном растяжении, кручении и внутреннем давлении. |
|
|
|||
Траектория |
деформирования — трехзвенная ломаная. Мате |
||||
риал — сталь |
45 в состоянии |
отжига (постоянные |
материала |
||
при расчетах Е = 1,78-108 МПа, у0 = |
13,1 •10-4, Bt = |
2,74, Ва — |
|||
— В3 — 0, щ — l)s S], = ~2~su ; s2 = |
У~3 (s22 — s33); s3 = |
У 3 |
|||
ей, st) — девиаторы деформаций |
и напряжений. |
|
ломаная |
||
Рассматривается в пространстве O h| 2£3 трехзвенная |
ОАВС, показанная на рис. 3.21, а. Для третьего звена вводится
локальный репер |
отсчета х, |
v, Д по формулам |
|
||||
х = cos |
+ sin рё2, |
v = |
— sin pex + cos рё2, |
Д = ё3. |
|||
Вектор напряжения определим его модулем | s | = У si-fsl+ sl, |
|||||||
где h = |
еп ; | 2= |
(е22— е33)/К З; |3 = 2е12/К 3, и |
направляющими |
||||
косинусами I, |
т, |
п в локальном репере х, |
v, Д? |
||||
I = |
cos рs? — sin ps2; |
т = |
sin ps? -f cos ps2; |
|
n = s3, |
||
rfles? = |
Sfc/|s| (k — I, 2, |
3) — направляющие |
косинусы вектора s |
в исходном репере ё1г |
ё2, ё3. |
|
На рис. 3.21, а сплошными линиями представлены результаты |
||
расчетов по описанной |
ранее методике при ОА = |
= 100-10'*, |
104
6) l,rn,n
AB = |з = 20 ■104. Кривая 1 отвечает одноосному нагружению, а кривые 2—4 — сложному нагружению с углами излома р = = 90, 60, 45° соответственно. Соответствующие им эксперименталь ные данные показаны на рис. 3.21, а светлыми кружками, тре угольниками и темными кружками.
На рис. 3.21, б—г представлены результаты сопоставления экспериментальных данных (показаны точками) с расчетными (сплошные линии 1—3). Как видно из приведенных графиков, теория микродеформации удовлетворительно описывает экспе риментальные результаты по сложному нагружению.
3.13. ОБ УЧЕТЕ ФАЗЫ ПОДОБИЯ ДЕВИАТОРОВ
Выше основное внимание было уделено материалам, начальная локальная поверхность текучести которых подчинялась критерию Мизеса. Еще в работе [1891 были намечены пути уточнения теории пластичности за счет введения в уравнение поверхности теку чести третьего инварианта тензора напряжений. Ниже дано развитие теории согласно идее, изложенной в книге В. В. Ново жилова «Теория упругости» (Л.: Судостроение, 1958).
Для описания неупругого поведения материалов будем исполь зовать связь соосных тензоров, учитывающих фазу подобия де-
105
виаторов. Эти соотношения имеют вид
пг> [c o s (ЗР + ш) |
и, |
~[/W sin ® ( и, и. |
I ь я Л 1 |
|||
= 2 0 |
[ |
COS3P |
6 « |
V lkbkl ~ т |
ЬгЧ |
J ’ |
= Ж |
[ |
cos За |
аЧ + |
V.aikakl “ |
Т а* Ч |
\ |
(3.197)
(здесь а’ц, Ь’ц — два соосных девиатора)’,
02 = a’ija'ij, аз = а'ца\ьОк1, Ьз = Ь'цЬ’ц, Ьз = Ь'цЬ^Ь'ьц
2G = У аг/Ь2, |
ю = а —р, |
sin3P = |
-Убь3 |
|
||
^ /2 |
■> |
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
sin За = |
Уб а3 |
Я ^ о ^ |
я |
я ^ |
^ |
я |
я»/» |
т г > Р > - т г . |
т г > « > — |
Г- |
Экспериментально определяемые функции 2G = f\(6а. Р)> © — = /а (^а. Р) полностью решают поставленную задачу, позволяя вы числить a'ij через Ь'ц и, наоборот, Ьц через а ц .
Перестроим соотношения (3.197) следующим образом!
а]) = 2G(cos (ob'ij — sin соЬ*ц)\ Ьц = |
(cos |
+ sin <оац), |
(3.198)
где
W k i
btl cos зр 1 у*.
. У *2 а!*аЛ/ , У “2
у*2 б„ |
. |
sin Зр |
ЬтЛ • |
3 |
1 |
Уб |
°ц I > |
V fl2 |
. |
sin За |
aj/ J. |
3 |
+ |
У б |
Соотношения (3.198) более просты и удобны для практического использования, чем (3.197). (В частности отметим, что тензоры Ьц и Ьц, Oij и а*ц ортогональны друг другу.) Учитывая это обстоя тельство, окончательную форму связи тензоров ац и Ьц будем записывать так:
ац = |
^cos ю |
|
— sin ш y L j ф, (У Ъ ^ р); ю = Ф2(У&2, Р); |
|
Ьц = |
(cosю -^ L - + sin ш |
Ф3(Уог, а); |
||
|
\ |
У аа |
У«а |
) |
(о = |
Ф4(Уа^, |
а); |
со = а — р. |
(3.199) |
106
Отметим, что знание функций Фх, Фа позволяет легко вычислить функции Ф3, Ф4, если иметь в виду, что У К = Фх (У К , р), V К = Ф3 (УК, а). Если же потребовать, чтобы
ten |
|
р)/ар |
|
|
||
|
V*. дФг (УК, р)/д У К ’ |
|
||||
то соотношения (3.199) будут градиентального типа! |
||||||
* |
« - ^ * |
. 0 ^ , |
1»; |
и |
, - |
|
. |
дФ, (У Ь2, |
р) ь*ц . |
л/- у |
, / |
,-г г. |
|
+ |
------ ар---------аГ ’ |
у |
и |
у |
LiiLii' |
Если, в |
частности, |
Фх (К^г. Р) = Ф1 (УКч> (Р)), то |
tg ® = - |
, |
У К ф (Р) = ФГ1(У К ) ~ / (KS5), |
L tl~ г (УК) [ф(Р)1 ^ + ф,(Р) w ] ’
= K v W F W W / t z ' (УЮ 1
Приведенные выше результаты имеют вполне самостоятельное значение, так как они справедливы для любых соосных тензоров.
Применим их к теории течения. Пусть соосны тензоры de?/ и %ц. (Тензор — тензор активных напряжений.) Тогда при выпол нении вспомогательных соотношений
ХИ, — аИ — РФ |
dP’n , |
, |
|
dkйГ + СРИ = а ~Ж~ + Ьг‘ |
|||
имеем |
|
|
|
dzpn = |
d<b (УК, p), |
X = Oi (Ух», p), |
|
dX = |
dfify dzij, |
"У%2==V w l . |
После ряда элементарных преобразований окончательные соот ношения примут следующий вид:
W = C0S(D^ - Sina>^ \
У ^Ф (Р) = /(Х); tg ю = — |
А = |
Ео = а + Ъ -у= ~ ~ с yj= - рц + ^ = = = = = = - .
107
Аналогичные соотношения можно записать и в случае, когда задается тензор активных деформаций. Полученные соотношения позволяют объяснить ряд известных эффектов, обнаруженных при опытах [148, 185]. Высказанные соображения распространяются и на статистические варианты теории течения.
Г Л А В А 4
ОСНОВЫ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ
Процесс деформирования твердого тела в условиях длитель ного нагружения очень важен для техники. Явление медленной текучести твердых тел известно давно. К настоящему времени на копился уже обширный материал по исследованию ползучести. Необратимость части деформации ползучести, нелинейная зави симость скорости ползучести от напряжения, влияние температуры создавали большие трудности при описании явлений, протекаю щих при ползучести. Как известно, теория ползучести долгое время развивалась независимо от теории пластичности, причем, как правило, ползучесть рассматривалась только как проявление нелинейной вязкости твердого тела, сочетающейся с его упруго стью. Все это неизбежно приводило к многовариантности теории ползучести (теория старения, течения, упрочнения, наследствен ные теории и т. д.). Монографии [90, 119, 155, 1601 дают доста точно полное представление о накопившихся к настоящему вре мени опытных фактах и о возможностях ряда феноменологических теорий ползучести.
В данной главе при сохранении общих принципов построения теории пластичности формулируются статистические варианты теории ползучести и устанавливается их тесная связь с класси ческими вариантами теории ползучести.
4.1. О ВЛИЯНИИ СКОРОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НА ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Большое количество контрастных опытов указывает на значи тельную зависимость поведения различных конструкционных ма териалов от скорости деформирования. Хорошо известна концеп ция Рахматуллина—Тейлора—Кармана [158, 178, 861, по которой постулируется существование единой динамической зависимости между напряжением а и полной деформацией е. Диаграмма а (е), отвечающая более медленным нагружениям, трактуется как
108
результат «сползания» о кривой быстрого нагружения. Эта кон цепция позднее была существенно развита Ю. Н. Работновым и
10.В. Суворовой [156]. В противоположность этой точке зрения
В.В. Соколовский [172] и Л. Малверн [118] предложили в ка честве основной использовать в определяющих уравнениях диа грамму медленного (квазистатического) нагружения. Уравнение состояния записывалось так!
e- = *[<r-f(e)], |
(4.1) |
где ен — неупругая деформация.
Н.Кристеску [101] обобщил обе точки зрения, записав соот
ношения между напряжениями и деформациями в виде
в = <р (а, е) а + ф (а, е). |
(4.2) |
Г. С. Шапиро [193] обратил внимание на недостатки этого уравнения и указал конкретный способ определения из опыта входящих в это уравнение функций. Н. И. Анисимов [1 ] предло жил следующую модификацию соотношений»
g (в*) = [о — f (е)]/ф (е), |
(4.3) |
а Л. А. Толоконников и В. Л. Баранов |
[179] уравнение |
вн = Н (а, в) F[o — <р (в, в)]. |
(4.4) |
Е.Кремпль [110] определяющее уравнение связи напряжений
идеформаций представил следующим образом!
ёя = [о — f (е)]/{£<р[а — f (е)]}. |
(4.5) |
Обобщение идей В. В. Соколовского на сложное нагружение проведено впервые П. Пежиной [153]. Его вариант теории запи сывается так!
4 « = - ^ г ф ( ^ - 1 ) ’ |
<4-6 > |
где к — параметр упрочнения, зависящий от энергии пластической деформации (С. Кадисский [226 ] предложил считать, что к зави сит от интенсивности полной деформации).
Согласно работе [82 ], теорию (4.6) можно представить в следую щем виде!
. |
def, |
. |
т * |
* |
1 / |
rfe?/ de1}, |
оа = ч (Х \х - £ - ; |
,(*) = |
1 + Ф-*(*); |
К = |
| / |
-£■ -£■; |
|
dk = У de?/de?/ , |
|
|
|
|
(4.7) |
т. е. трактовать теорию Пежины как теорию Рейсса (и = const), и которой предел текучести зависит от интенсивности скорости пластической деформации.
109
В работах [203, 245] Р. Бейли и Е. Орован предложили ис пользовать при анализе одноосных нагружений следующую группу определяющих соотношений!
b* = f(o — Р); Р = & (р) ёя — г (р). |
(4.8) |
В основу этих уравнений положено условие существования двух одновременно идущих процессов — деформационного упроч нения и термического возврата. Идеи Р. Бейли и Е. Орована выз вали большой поток работ, в которых в том или ином виде кон кретизировались и обобщались соотношения (4.8). Отметим статьи [17, 35, 127, 146, 151, 188, 221, 229, 231, 271]. Суть этих работ состоит в том, что в дифференциальные соотношения вводятся одна или две внутренние переменные (структурные параметры). Определяющие соотношения при этом имеют вид
в = |
а/Е + ён, |
ён = А (ст — <р), |
р -f Вгр = |
В2ён, |
т+Ос —т0)В, = В4ё", |
|
(4.9) |
||
где Вг, |
Вг, Вй, |
В4 — параметры, |
зависящие от о, е", <о, р. |
|
При |
анализе |
соотношений (4.8) можно |
заметить некоторую |
аналогию с поведением одномерных вариантов теории пластиче ского течения. Поэтому, переходя к перечислению последующих вариантов теории ползучести, мы будем давать им свою интерпре тацию, следуя идеям работ [77, 83].
И. 3. Паллей [149] предложил следующую теорию ползучести, обобщающую соотношения (4.8) на сложное нагружение, в которой он пренебрег эффектами возврата:
в?/ = Ф: (^> *) (Oft — р(/); хц = <J(i — pi/; pi/ = фг (<JHi |
*) ё"/« |
После несложных преобразований эти же соотношения можно |
|
записать в виде |
|
«« = «<*• Ч -Ж -. т т - Ж " . . К, «■ § ■ , |
(4.10) |
откуда видно, что теория Паллея — это теория в форме Новожи лова—Арутюняна—Вакуленко [4, 136], в которой предел теку чести и коэффициент упрочнения зависят от интенсивности скорости пластического (неупругого) деформирования. Такая трактовка позволяет по-новому взглянуть на возможности этого и последую щих вариантов теории ползучести. Н. Н. Малинин и Г. М. Хажинский [238] предложили теорию ползучести с анизотропным упрочнением, в которой дополнительно учитывается и возврат механических свойств материала:
= ф{ (ог„т) |
; |
хп = |
ап - pf/; рп = А (а„) ё“/ — |
— Фа К . Ри> |
т)р|/; |
Ри = |
У РиРи ■ |
110