книги / Микронапряжения в конструкционных материалах

формирования Q. При известных функции ёр (т0, ai}) и области Q скорость макропластического деформирования определяется квад­ ратурами

a a

Отметим, что интенсивность разрешающих напряжений целе­ сообразно задать в следующей дифференциальной форме!

Заслуживает отдельного рассмотрения и случай т = (т> = т0. Тогда все приведенные соотношения упрощаются и принимают вид

Рассмотрим начальное условие пластичности, вытекающее из сформулированной выше теории. Предположим, что до некото­ рого момента времени t t0 пластическое деформирование отсухствует. При таком допущении интенсивность разрешающих на­ пряжений в момент времен^ t0 оказывается постоянной, т. е. не

Равенство в последнем выражении достигается в момент вре­ мени t = t0 в направлении ai3, совпадающем с направлением на­ чальной микропластичеекой деформации. Очевидно, что такое равенство будет иметь место для тех направлений ai3, для кото-

61

Г

рых правая часть неравенства (3.87) достигает максимума, т. е. при условии коллинеарности девиаторов ац и (ог/):

«г/ = <o’ti>/(V(о'ц) <а'ц>)• Тогда из (3.87) находим

<г0 = У <CTf/> <crJ/>.

Последнее соотношение, как известно, представляет собой условие пластичности Мизеса. Таким образом, начальное условие пластичности, вытекающее из теории микродеформации, есть условие Мизеса, когда микропластическая деформация представ­ ляется девиатором общего вида.

Рассмотрим теперь случай, когда микропластическая дефор­ мация трактуется как сдвиговая, что соответствует представле­ нию девиатора atj в форме диадного произведения (3.78). При таком условии из (3.77), как и выше, находим опг <; т0. Из послед­ него неравенства очевидным образом получаем условие начала микропластического деформирования ашах = т0, где атах — мак­ симальное касательное напряжение. Таким образом, при atj вида (3.78) приходим к условию течения в форме Треска.

3.5.О СВЯЗИ ТЕОРИИ МИКРОДЕФОРМАЦИИ

СТЕОРИЯМИ СКОЛЬЖЕНИЯ

Покажем, что вариант теории микродеформации при дополни­ тельных ограничениях на кинематику развития микропластической деформации приводит к известным вариантам теории пластич­ ности, основанным на концепции скольжения. Предположим, что девиатор есть девиатор сдвига:

62

где F — универсальная функция материала. Тогда из (3.88) получаетея классичеекий вариант теории скольжения [7]. Недо­ статки его очевидны: отсутствие влияния сдвигов в одном направ­ лении на изменение сдвигов в других направлениях и, как след­ ствие, невозможность описания эффекта Баушингера и цикли­ ческого нагружения.

Этот вариант теории предложен в работах школы М. Я. Лео­ нова [106, 1631. Указанная теория учитывает взаимосвязь сдви­ гов. Описание циклических нагружений, однако, в этой трак­ товке возможно только при введении ряда дополнительных до­

Заметим, что правая часть уравнения (3.90) является функ­ цией только пг и не зависит от lt; следовательно, равенства в (3.90) можно достичь только при максимальных по /г значениях левой части уравнения (3.90).

Рассмотрим функцию

Заметим, что М определяемое по формуле (3.92) представляет собой интенсивность средних касательных напряжений s, дей­

63

ствующих на площадке с нормалью пг. Таким образом, из (3.92) получаем

где st — вектор касательного напряжения, действующего на пло­ щадке с нормалью nt.

Следовательно, максимальное значение левой части уравне­

С учетом полученных представлений уравнение (3.90) прини­

Отметим, что при таком подходе ориентация локального сдвига на площадке скольжения совпадает с направлением касательного напряжения, действующего на этой площадке.

Рассмотрим теперь частные случаи представления (3.95).

тогда получится вариант теории скольжения, изложенный в ра­ боте [131 ].

Расчетные примеры, приведенные в работах [93, 120, 131 ], показали, что теории могут давать удовлетворительное согласо­ вание с опытными данными. Опыты на циклическое знакопере­ менное нагружение наименее благоприятны для теории.

Для случая плоской деформации можно так построить функ­ цию # 8 (nt, n't), чтобы система скольжений была плоской [194]. Тогда приходим к теории Леонова—Швайко [107 ], которая в даль­ нейшем была существенно развита в работе [194].

64

Таким образом, в рамках общего предлагаемого подхода можно оценить и сопоставить возможности различных вариантов теории скольжения.

5. Примем в разрешающих уравнениях теории микродеформа­ ции функцию влияния зависящей только от локальных пределов текучести R = R\ (т0, то); тогда легко показать, что микропластическая деформация для частиц, имеющих одинаковый началь­ ный локальный предел текучести, будет одинаковой. В силу этого осреднение в (3.71) и (3.72) будет теперь вестись только по т0, и, как следствие, из (3.71), (3.72) получаем

Записанные соотношения были использованы в работах [73, 75] для описания циклических нагружений.

Если ввести в теорию (3.71) конечное число направлений микропластического деформирования, т. е. заменить интегрирование по области Q конечным суммированием, то возникнет еще один интересный класс теорий. Некоторые из теорий этого класса хорошо известны. Пусть, например, число направлений микропластического деформирования равно N, тогда, введя направляю­ щие девиаторы по формулам

3.6.УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ МИКРОДЕФОРМАЦИИ

(УПРОЩЕННЫЙ ВАРИАНТ)

Воспользуемся гипотезой, приведенной в работе [74]: ai} =

— р</, еit = ерац. Эта гипотеза отвечает случаю плоских, по­ ступательно перемещающихся локальных поверхностей теку­

из (3.97) следует основное разрешающее уравнение теории микро­ деформации

Отметим, что функцию интенсивности разрешающих напряже­ ний можно конкретизировать не только в форме (3.98), задавая функцию влияния Rt (ац, а'С/), но и непосредственно задавая скорость ее изменения. Текущее значение функции Т (atJ, t) при этом будет получаться интегрированием по времени ее ско­ рости изменения.

Зададим скорость изменения разрешающих напряжений

Т(аи, t) в следующем виде:

Т(о«, 0 =

• «ц = —ац,

(3.100)

где а'ц — направление активного микроплаетического деформи­ рования; A t и ф — функции макромер пластического деформи­

рования; (рц) = Аг (ёц).

Построим определяющие соотношения теории микродеформа­ ции. Для этого воспользуемся уравнением (3.99), которое с уче­ том явного выражения для скорости изменения интенсивности разрешающих напряжений (3.100) запишется в следующем виде:

66

ние для построения скорости изменения интенсивности микропластической деформации:

Подставляя полученное выражение в (3.74) и интегрируя, находим скорость средней макропластической деформации

Соотношение (3.103) позволяет полностью решить задачу построения определяющих уравнений теории микродеформации при известной области Q направлений активного микропластического деформирования. Для определения самой области Q необходимо воспользоваться неравенством (3.97) и условием активности процесса микродеформации для направления ai}, которое имеет вид ёр t) > 0. Очевидно, что для исследова­ ния этих неравенств необходимо знать интенсивность разрешаю­ щих напряжений Т (atj, t), которая определяется интегрирова­ нием соотношений (3.100) по времени.

Соотношения (3.100) с учетом явного выражения ёр (ai]t t) для скорости изменения интенсивности микропластических деформа­

ций Т (аф t) можно привести к виду

Зависимости (3.104) дают возможность построить интенсив­ ность разрешающих напряжений для произвольного нагружения и из (3.97), совместно с условием ёр (a^, t) > 0, найти область Q при произвольном нагружении.

Рассмотрим несколько примеров применения теории.

1. Монотонное нагружение. Рассмотрим простейший случай — монотонное нагружение, при котором с некоторого момента вре­ мени tx направление микропластического деформирования ац остается активным во все последующие моменты времени t > /х. Такое нагружение, как будет показано ниже, позволяет опреде­ лить в явном виде функцию интенсивности разрешающих напря­ жений и область активного микропластического деформирования.

Предположим, что в момент времени t множество направле­ ний активного микропластического деформирования занимает область Q (/). Рассмотрим некоторое фиксированное направле­ ние aih принадлежащее этой области. Для этого направления,

+[(o'if (Щ — (v'if (*1»1 Vij-

Здесь принято, что f (аф t) = 0 при t< t0, и (t0) = 0. Подставляя полученное выражение для Т (aijf i) в неравен­

Неравенство (3.106) определено для всех направлений aiJf которые становятся направлениями активного микропласти­ ческого деформирования в момент времени ty. Следовательно, это уравнение определяет границу области направлений Q (^). Соотношение (3.106) представим в следующем виде:

е углом раствора при вершине, равным 2а. Направление оси гиперконуса при этом определяется направлением девиатора активных напряжений.

При известной области й конкретизация определяющих со­ отношений не вызывает затруднений и сводится к вычислению интегралов, входящих в выражения для Fl} и Gi№1. Для вычисле­

68

ния этих интегралов целесообразно использовать свойства области направлений активного микропластического деформирования. С этой целью введем в рассмотрение наряду с фиксированным девиаторным базисом подвижный девиаторный базис, первую ось которого направим вдоль оси гиперконуса полного догружения.

Направляющие девиаторы подвижной системы координат обо­

значим через V?} (т = 1, ..., 5). Тогда любой девиатор можно представить в виде его разложения по базисным девиаторам. В частности, для atj можно записать

5

аи — X amvy-

т=1

Отметим некоторые очевидные свойства направляющих девиаторов:

5

В этом же девиаторном базисе могут быть определены тен­ зоры Ft] и Gim :

При таком выборе системы координат выполняется тожде­ ственно условие нормировки девиатора a.tj (al}ai} = 1).

Дифференциальная форма «телесный угол» в этом случае при­ нимает следующий вид:

С использованием приведенных выше соотношений легко вычисляются элементы матрицы gmn и вектора fm. Опуская про­ межуточные выкладки, запишем их окончательные выражения. Имеем

69

где

Учитывая формулы (3.110) и (3.113) для тензоров Fц и Giikb находим

Ft] = F И vjj\ Gm i = [А (а) - В (а)] vj}4l> + В (а) х х { j t m ---- з"в»8ы)*

Тогда определяющие соотношения для пластической состав­ ляющей деформации в случае монотонного нагружения примут следующий вид:

С (а) = Л (а) — р/72(а)/[ 1 + рй (а)].

Разрешим соотношение (3.115) относительно макропластической деформации. Умножим правую и левую части зависимостей

(3.115) на v}}» и сложим, тогда получим

Ах (в?/) vl}> = С (а) « 0;/) — (ри) v(J ).

70