книги / Микронапряжения в конструкционных материалах

Для упругих составляющих скорости деформации имеем

где

Uijhl =

Для скорости изменения полной деформации на основании (3.116) и (3.118) получаем

\

Соотношения вида (3.119) определяют связь между скоростью деформации при монотонном нагружении. Их можно представить также в виде, разрешенном относительно скоростей изменения напряжений. Имеем

не только при монотонном нагружении, но и при любом другом, приводящем к области S3 (t) рассматриваемого здесь частного вида.

Сформулируем условия монотонности процесса нагружения,

девиатора напряжений и определим допустимую ориентацию

нарушение условия монотонности нагружения при заданной

мулу для скорости микропластической деформации (3.102), можно записать условия монотонности нагружения в следующем' виде:

(«г/ - аи) {ги) > 0; аи = 1 + рй). (3.121)

Введем в рассмотрение направляющие девиаторы v)}' и Положим v|}) = Vi/, vtf = (гц)/г, а девиатор v\f примем орто­

71

тональным к vf]p и расположенным в гиперплоскости, построен­

Учитывая представление для ак, в гиперсферической системе

траектории монотонного нагружения в пространстве активных напряжений (rtj>. Для определения аналогичных условий в про­

Введем теперь угол излома траектории нагружения по отно­ шению к девиатору активных напряжений по формуле

COS 0 = v}]P <0Г(/>/«в'и) (Оц)У/2.

Используя последнее выражение, из -(3.125) находим

r7«<j</> <ог*/>) =

= [1 - A J E (а)]2+ [AID2(а) - 2A2D (а) (1 - А2Е (a)] cos20. Тогда для 0 получаем

COS 0 = [ 1 — А2Е (a)] cos Р {[1 —. л 2(Е (а) + D (а))]2-

— [AID2(а) — 2А2 D (а) (1 — А2 Е (a))] cos2$\~1/2.

Очевидно, что предельный угол монотонности в пространстве

расчеты для монотонного нагружения, определяемого в каждой точке траектории нагружения условием 0 < 0О.

72

2. Знакопеременное нагружение. Рассмотрим в рамках теории микродеформации мягкое циклическое нагружение. Процесс та­ кого нагружения определим следующим образом:

Задача построения зависимости о* ~ е* для закона изменения напряжений (3.127) сводится к интегрированию соотношений (3.119), что, в свою очередь, требует построения области направ­ лений активного микропластического деформирования. Для ре­ шения этой задачи необходимо построить функцию интенсивности разрешающих напряжений.

Рассмотрим некоторое фиксированное значение угла 0х. Обозначим через t% момент времени t начала макроскопического

деформирования на k-u полуцикле нагружения, а через — момент времени t, отвечающий началу микропластического де­

формирования в направлении 0ife) на том же полуцикле. Построим изменение интенсивности разрешающих напряжений в выбран­ ном направлении 0(ft).

где а* — максимальный угол 0}ft) направлений активного микро­ пластического деформирования в момент времени t.

Из этих соотношений после интегрирования по времени на­

73

Формулы (3.128)—(3.130) позволяют вычислить изменение функции интенсивности разрешающих напряжений на любом полуцикле нагружения, а следовательно, построить и саму интен­ сивность разрешающих напряжений на произвольном k-м полуцикле нагружения. При определении суммарного изменения необ­ ходимо учитывать изменение направления нагружения при цик­ лическом нагружении, что в конечном счете приводит к измене­ нию ориентации текущей области направлений активного микропластического деформирования.

В силу того что эти области могут иметь не только различную ориентацию, но и различную величину на каждом полуцикле на­ гружения, построение функции Т (kh, t) в общем случае цикли­ ческого нагружения может быть осуществлено только последова­ тельным построением искомой функции на каждом полуцикле начиная с первого. Полученная таким образом функция интен­ сивности разрешающих напряжений дает возможность опреде­ лить из (3.97) параметр ah, характеризующий размер области

Покажем способ построения Т (ih, t) при произвольном одно­ осном циклическом нагружении. Найдем интенсивность разре­ шающих напряжений на первом полуцикле:

ражение для Т (Ях, t) получается очевидным образом. Оно имеет вид

74

Итак, поеле первого полуцикла нагружения функция интен­ сивности разрешающих напряжений определяетея соотноше­ ниями (3.132)—(3.134).

Рассмотрим теперь второй полуцикл нагружения. Для по­ строения функции Т (Xj, t) на этом полуцикле необходимо учесть

Подставляя последнее выражение в условие течения (3.97), • получаем следующее уравнение для определения текущей области направлений активного микропластического деформирования на втором полуцикле:

(1 + Ч) К + я (Ф) + я (0 — я ( к ) = [га (0 + т)/-! (*х) 1Х,.

(3.137)

Отметим, что уравнение (3.137) справедливо только при вы­ полнении условия а 2 < а х. Когда это условие нарушается, из (3.135) и (3.137) находим

Т (я,2, t) = % 4" И(fl) — ^2pl (^l) + ^2 [р2 (^2^) — Р2 (^2)] +

а 2 = «х. условие, определяющее текущее значение а2, приводится к виду

Отсюда следует, что (3.138) совпадает с (3.107), если в послед­

75

Запишем теперь формулы для Т (Л2, 4) после окончания вто­ рого полуцикла. Выделим два случая: аг ai и “а ®i- ИУСТЬ <4 < «1, тогда

4 ) =

Оа (^а) ^а» 0 ^ 02 ^ GCjj

Формулы (3.139) и (3.140) определяют интенсивность разре­ шающих напряжений после окончания второго полуцикла на­ гружения.

Аналогичным образом можно рассмотреть произвольное ко­ нечное число полуциклов нагружения. Однако, как видно из изложенного выше, с ростом числа полуциклов увеличивается число областей с различными способами задания Т (Xh9 tk) и, следовательно, растут трудности проведения общего анализа. Поэтому для дальнейшего качественного анализа целесообразно ограничиться конкретным видом циклического нагружения и провести соответствующие построения. Такие построения, в част­ ности, ниже проведены для симметричного цикла мягкого нагру­ жения. Там же показано, что принятая выше схема позволяет описать как циклически упрочняющиеся, так и циклически ста­

нагружения при знакопеременном нагружении. Полученные в п. 2 формулы дают возможность исследовать поведение материала при знакопеременном нагружении, следующее из теории микроде­ формации. Построим сначала зависимости для описания эффекта Баушингера. Для этого воспользуемся соотношением (3.137), служащим для определения параметра а2 на втором полуцикле нагружения. Положим в (3.137) а2 = 0, что отвечает началу пластического деформирования на втором полуцикле, тогда по­ лучим

76

где Gl — интенсивность девиатора активных напряжений, отве­ чающих началу пластического деформирования на втором полуцикле.

Из (3.141) следует, что теория микродеформации учитывает эффект Баушингера. Отметим, однако, что принятое в экспери­ ментальных исследованиях определение эффекта Баушингера по допуску на остаточную деформацию может приводить к резуль­ тату, отличающемуся от получаемого по излагаемой здесь теории. Дело в том, что формула (3.141) определяет предел текучести при нулевом допуске на остаточную деформацию, тогда как при обра­ ботке экспериментальных данных принимается конечный допуск и при этом одинаковый для нагружения в обе стороны.

Построим теперь диаграмму а2 ~ е2 при нагружении на вто­ ром полуцикле. Для этого воспользуемся определяющими соот­ ношениями, приведенными в п. 1. Эти соотношения справедливы для произвольного процесса нагружения, в котором область на­ правлений активного микропластического деформирования пред­ ставляет собой гиперконус полного догружения.

На основании формул (3.115) и (3.108) с учетом принятых выше обозначений находим

Параметр ah, входящий в уравнения (3.142), определяется на втором полуцикле из уравнений (3.137) и (3.138).

Предположим, что нам известны универсальные функции ма­ териала А и которые примем зависящими от Qk. На первом полу­

уравнения для построения диаграммы принимают следующий вид:

нагружения. Таким образом, диаграмма одноосного деформиро­ вания на втором полуцикле нагружения получается из диаграммы

77

на первом полуцикле нагружения масштабированием последней на е и смещением по оси а2 на величину Ai = (г\ — 1) г*. Полу­ ченный здесь результат отличается от обобщенного принципа Мазинга в трактовке работы [55]. Согласно принципу Мазинга,

обобщенный принцип Мазинга. Следовательно, в теории микро­ деформации удается достичь уменьшения А при одновременном увеличении коэффициента подобия диаграмм, что может оказаться существенным при описании циклического разупрочнения.

Как было показано выше, начиная с момента времени t9 при

котором а 2 = «ь диаграмму сг2 ~ е2 получают интегрированием уравнений (3.142) с параметром а2, определяемым по формуле (3.138). Из сравнения формул (3.107) и (3.138) следует, что с этого момента времени диаграмма одноосного нагружения на втором полуцикле будет являться продолжением диаграммы, центрально

на втором полуцикле будет повторять диаграмму на первом по­ луцикле.

4. Закономерности циклического нагружения. Рассмотрим малоцикловое нагружение в рамках теории микродеформации. Алгоритм построения области £2 направлений активного микропластического деформирования при произвольном одноосном цик­ лическом нагружении рассмотрен в п. 3. Там же отмечалось, что проведение качественного анализа в общем случае затрудни­ тельно; это связано с ростом от цикла к циклу многообразия пу­ тей накопления функции интенсивности разрешающих напряже­ ний. В настоящее время большое внимание уделяется изучению малоциклового нагружения при конечном числе циклов. Для установления закономерностей такого нагружения в теории микродеформации сделаем дополнительное предположение о мо­ нотонности изменения области от цикла к циклу. Примем, что при циклическом нагружении выполняется условие ah оск__г.

Последнее означает, что область направлений активного микропластического деформирования, достигнутая на k-м полуцикле нагружения, не превосходит соответствующей области, достигну­ той на предыдущем полуцикле.

Для описания циклического нагружения, подчиняющегося этому условию, воспользуемся результатами, полученными в п. 2. В этом случае удается построить общую закономерность измене­ ния функции интенсивности разрешающих напряжений и полу­ чить эту функцию на произвольном k-м полуцикле.

78

Учитывая, что область направлений активного микропластического деформирования в процессе циклического нагружения не увеличивается, можно построить функцию Т (kk, t), исполь­ зуя ее известное значение на (k — 2)-м полуцикле нагружения.

Здесь учтено, что Afe = —Аь_! для фиксированного 0. Тогда на основании (3.129)

Тk—1(A*» t) = AftOft—г (*ft—2) — Wk-i (tk—i) A* + + Л [rft—1(4 —1) A* — x (4 —1)] —

— tpft—1 (h—i) — Pft (tl—1)] Aft + (1 + T]) x (*fc—1) — x (^A—2).

Теперь, учитывая (3.128), для интенсивности разрешающих напряжений на k-ы полуцикле нагружения находим

Т (Aft, t) = AftOft_2(tk-z) — Wft-i (th-i) Ah +

Подставляя последнее выражение в условие течения (3.97),

Уравнение (3.145) приводит к рекурретной зависимости для определения ah на k-ы полуцикле нагружения. Очевидно, что уравнение (3.145) справедливо начиная с третьего полуцикла,

По аналогии с тем, как это сделано в п. 3, можно показать, что диаграмма одноосного деформирования на k-ы полуцикле на­ гружения будет центрально подобна диаграмме на первом полуцикле с коэффициентом подобия е = 2 [<в0 + х (tk-i) У%- Если теперь дополнительно принять, что х не изменяется в процессе нагружения (Л3 = 0), то получим циклически стабильное пове­ дение. Когда же х изменяется, то можно получить случай цикли­ ческого упрочнения или разупрочнения. Однако во всех случаях

79

необходимо проверять выполнимость условия (3.145). Можно показать, что условие (3.145) будет автоматически выполнено при симметричном циклическом нагружении, когда х (/) увеличи­ вается или остается постоянной.

В заключение приведем формулы для функции интенсивности разрешающих напряжений для случая мягкого циклического на­ гружения циклически упрочняющихся (стабильных) материалов на произвольном &-м полуцикле нагружения. Эта функция имеет вид

(3.147)

3.7. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ МИКРОДЕФОРМАЦИИ

В ПРОСТРАНСТВЕ ДЕФОРМАЦИЙ

Из изложенного выше следует, что сформулированные опре­ деляющие соотношения теории микродеформации удобнее исполь­ зовать в случае, когда исследуется мягкое нагружение, т. е. за­ дана траектория нагружения. Когда же заданной является траек­ тория деформирования, возникают определенные трудности, свя­ занные с обращением уравнений состояния. Оказывается, что эти трудности можно преодолеть, если при формулировке теории перейти от пространства напряжений в пространство деформаций.

Обратимся к определяющим уравнениям теории микродефор­ мации (3.71). Перестроим локальный закон течения, сформули­ ровав его в пространстве микродеформаций. Имеем

Для локальных напряжений и деформаций примем спра­

80